Aufgaben:Aufgabe 2.6: Einheiten bei GWSSUS

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GWSSUS–Funktionen

Der Mobilfunkkanal kann in sehr allgemeinen Form durch vier Systemfunktionen beschrieben werden, wobei der Zusammenhang zwischen je zwei Funktionen durch

• die Fouriertransformation bzw.
• die Fourierrücktransformation

gegeben ist.

Wir bezeichnen die Funktionen einheitlich mit $\eta_{12}$. Die Indizes seien wie folgt vereinbart:

• V steht für Verzögerung $\tau$ (Index „1”),
• F steht für die Frequenz $f$ (Index „1”),
• Z steht für die Zeit $t$ (Index „2”),
• D ist die Dopplerfrequenz $f$ (Index „2”).

Der Zusammenhang zwischen den Funktionen ist in der oberen Grafik (gelbe Hinterlegung) dargestellt. Fourierkorrespondenzen sind grün eingezeichnet:

• Der Übergang von einem weiß gefüllten zu einem grün gefüllten Kreis entspricht einer Fouriertransformation.
• Der Übergang von einem grün gefüllten zu einem weiß gefüllten Kreis (Gegenrichtung) entspricht einer Fourierrücktransformation.

Beispielsweise gilt:

$$\eta_{\rm VZ}(\tau, t) \hspace{0.2cm} \stackrel{\tau, \hspace{0.02cm}f}{\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm FZ}(f,t)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}\eta_{\rm FZ}(f,t) \hspace{0.2cm} \stackrel{f, \hspace{0.02cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VZ}(\tau, t)\hspace{0.05cm}.$$

Die hieraus abgeleitete Korrelationsfunktion „$\varphi_{12}$” und das Leistungsdichtespektrum „$\it \Phi_{12}$” werden mit den gleichen Indizes versehen wie die Systemfunktion $\eta_{12}$. Korrelationsfunktionen erkennt man in der unteren Grafik an der roten Schrift und alle Leistungsdichtespektren sind blau beschriftet. Es wird stets vom GWSSUS–Modell ausgegangen.

Betrachten wir hier die Systemfunktion $\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$, also die zeitvariante Impulsantwort $h(\tau, t)$. Für diese ergeben sich folgende Beschreibungsgrößen:

$$\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, t_1, \tau_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau_1, t_1) \cdot \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm},$$

$$\Delta \tau = \tau_2 - \tau_1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \Delta t = t_2 - t_1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}, $$

$$\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) = \delta(\Delta \tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}.$$

$${\it \Phi}_{\rm V}(\tau) = {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t = 0)\hspace{0.05cm}. $$

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Das GWSUS–Kanalmodell.

Fragebogen

1

Stimmen die angegebenen Einheiten der Systemfunktionen?

	$\eta_{\rm VZ}(\tau, t)$ hat die Einheit $[1/\rm s]$.
	$\eta_{\rm FZ}(f, t)$ hat keine Einheit.
	$\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ hat keine Einheit.
	$\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D})$ hat die Einheit $[1/\rm Hz]$.

2

Stimmen die Einheiten der folgenden Funktionen?

	$\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t)$ hat die Einheit $[1/\rm s]$.
	$\it \Phi_{\rm VZ}(\tau, {\rm \Delta} t)$ hat die Einheit $[1/\rm s]$.
	$\it \Phi_{\rm V}(\tau)$ hat die Einheit $[1/\rm s]$.

3

Stimmen die Einheiten der weiteren Funktionen?

	$\varphi_{\rm FZ}(\Delta f, \Delta t), \varphi_{\rm F}(\Delta f)$ und $\varphi_{\rm Z}(\Delta t)$ haben keine Einheit.
	$\it \Phi_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ hat die Einheit $[1/\rm s]$.
	$\it \Phi_{\rm FD}(\Delta f, f_{\rm D})$ und $\it \Phi_{\rm D}(f_{\rm D})$ haben die Einheit $[1/\rm Hz]$.

Musterlösung

Musterlösung

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