Aufgaben:Aufgabe 2.5Z: Rechtecksignale: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Das mit der Zeit $T_0$ periodische Signal $x(t)$ wird durch den einzigen Parameter $\Delta t$ beschrieben; die Amplitude der Rechteckimpulse sei jeweils $1$. Da $ | + | Das mit der Zeit $T_0$ periodische Signal $x(t)$ wird durch den einzigen Parameter $\Delta t$ beschrieben; die Amplitude der Rechteckimpulse sei jeweils $1$. Da $x(t)$ gerade ist, sind alle Sinuskoeffizienten $B_n = 0$. |
| − | Der Gleichsignalkoeffizient ist $A_0 = \Delta t/T_0$ und für die Cosinuskoeffizienten gilt: | + | Der Gleichsignalkoeffizient ist $A_0 = \Delta t/T_0$ und für die Cosinuskoeffizienten gilt: |
:$$A_n=\frac{2}{n\pi}\cdot \sin(n\pi \Delta t/T_0).$$ | :$$A_n=\frac{2}{n\pi}\cdot \sin(n\pi \Delta t/T_0).$$ | ||
| − | In den Teilaufgaben 1) und 2) wird das Signal $x(t)$ für die zwei Parameterwerte $\Delta t/T_0 = 0.5$ bzw. $\Delta t/T_0 = 0.25$ analysiert | + | In den Teilaufgaben '''(1)''' und '''(2)''' wird das Signal $x(t)$ für die zwei Parameterwerte $\Delta t/T_0 = 0.5$ bzw. $\Delta t/T_0 = 0.25$ analysiert. |
| − | + | Danach betrachten wir die beiden ebenfalls in der Abbildung dargestellten Signale $y(t)$ und $z(t)$, jeweils mit $\Delta t/T_0 = 0.25$. Zwischen diesen Signalen und $x(t)$ besteht ein fester Zusammenhang, der zur Berechnung ausgenutzt werden kann. | |
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| − | {Welche Aussagen gelten für das Signal $x(t)$ mit $\Delta t/T_0 = 0.5$? | + | {Welche Aussagen gelten für das Signal $x(t)$ mit $\Delta t/T_0 = 0.5$? |
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| − | + Die Spektralfunktion ${X(f)}$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $f = 0$ mit dem Gewicht $0.5$. | + | + Die Spektralfunktion ${X(f)}$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $f = 0$ mit dem Gewicht $0.5$. |
| − | - Die Spektralfunktion ${X(f)}$ beinhaltet Diraclinien bei allen Vielfachen der Grundfrequenz $f_0 = 1/T_0$. | + | - Die Spektralfunktion ${X(f)}$ beinhaltet Diraclinien bei allen Vielfachen der Grundfrequenz $f_0 = 1/T_0$. |
| − | + Die Spektralfunktion ${X(f)}$ beinhaltet Diraclinien bei ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz $f_0$. | + | + Die Spektralfunktion ${X(f)}$ beinhaltet Diraclinien bei ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz $f_0$. |
| − | - Die Spektrallinie bei $f_0$ hat das Gewicht $2/\pi$. | + | - Die Spektrallinie bei $f_0$ hat das Gewicht $2/\pi = 0.636$. |
| − | + Die Spektrallinie bei $ | + | + Die Spektrallinie bei $–\hspace{-0.1cm}f_0$ hat das Gewicht $1/\pi = 0.318$. |
| − | {Welche Aussagen gelten für das Signal $x(t)$ mit $\Delta t/T_0 = 0.25$? | + | {Welche Aussagen gelten für das Signal $x(t)$ mit $\Delta t/T_0 = 0.25$? |
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| − | + Die Spektralfunktion ${X(f)}$ beinhaltet Diraclinien bei allen ungeraden Vielfachen der Grundfrequenz $f_0$. | + | + Die Spektralfunktion ${X(f)}$ beinhaltet Diraclinien bei allen ungeraden Vielfachen der Grundfrequenz $f_0$. |
| − | + ${X(f)}$ hat Diraclinien bei $\pm2f_0$, $\pm6f_0$, $\pm10f_0$, usw. | + | + ${X(f)}$ hat Diraclinien bei $\pm2f_0$, $\pm6f_0$, $\pm10f_0$, usw. |
| − | - ${X(f)}$ hat Diraclinien bei $\pm4f_0$, $\pm8f_0$, $\pm12f_0$, usw. | + | - ${X(f)}$ hat Diraclinien bei $\pm4f_0$, $\pm8f_0$, $\pm12f_0$, usw. |
| − | + Die Spektrallinie bei $2f_0$ hat das Gewicht $1/(2\pi)$. | + | + Die Spektrallinie bei $2f_0$ hat das Gewicht $1/(2\pi) = 0.159$. |
| − | {Wie groß ist der Gleichanteil des Signals ${y(t)}$? | + | {Wie groß ist der Gleichanteil des Signals ${y(t)}$? |
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| − | + | $y(t)$: $A_0 \ = \ $ { 0.75 3% } | |
| − | {Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Signalen $x(t)$ und ${y(t)}$? Geben Sie mit Hilfe dieser Überlegungen die Fourierkoeffizienten von ${y(t)}$ an. Wie groß sind die Koeffizienten $A_1$ und $A_2$ dieses Signals? | + | {Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Signalen $x(t)$ und ${y(t)}$? Geben Sie mit Hilfe dieser Überlegungen die Fourierkoeffizienten von ${y(t)}$ an. <br>Wie groß sind die Koeffizienten $A_1$ und $A_2$ dieses Signals? |
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| − | + | $y(t)$: $A_1\ = \ $ { -0.46--0.44 } | |
| − | + | $\hspace{1cm}A_2 \ = \ $ { -0.325--0.315 } | |
| − | {Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Signalen ${y(t)}$ und ${z(t)}$? Wie groß sind die Koeffizienten $A_1$ und $A_2$ des Signals ${z(t)}$? Überprüfen Sie das Ergebnis anhand der angebenen Koeffizienten des Signals $x(t)$. | + | {Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Signalen ${y(t)}$ und ${z(t)}$? Wie groß sind die Koeffizienten $A_1$ und $A_2$ des Signals ${z(t)}$? <br>Überprüfen Sie das Ergebnis anhand der angebenen Koeffizienten des Signals $x(t)$. |
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| − | + | $z(t)$: $A_1 \ = \ $ { 0.45 3% } | |
| − | + | $\hspace{1cm}A_2 \ = \ $ { -0.325--0.315 } | |
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| − | '''1 | + | '''(1)''' Richtig sind die <u>Aussagen 1, 3 und 5</u>: |
| + | *Die Spektralfunktion beinhaltet eine Diracfunktion bei $f = 0$ mit dem Gewicht $0.5$ (Gleichanteil) sowie weitere Spektrallinien bei ungeradzahligen Vielfachen ($n = \pm1, \pm3, \pm5,\text{...}$) von $f_0$. | ||
| + | *Die Gewichte bei $\pm f_0$ sind jeweils $A_1/2 = 1/\pi = 0.318$. | ||
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| − | '''3 | + | '''(2)''' Richtig sind die <u>Aussagen 1, 2 und 4</u>: |
| + | *Bei allen ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz existieren Spektrallinien, zusätzlich noch bei den $2–{\rm fachen}$, $6–{\rm fachen}$ und $10–{\rm fachen}$. | ||
| + | *Beispielsweise gilt $A_1 = 1/\pi = 0.450$. Die Spektrallinie bei $2f_0$ hat somit das Gewicht $A_2/2 = 1/(2\pi) = 0.159$. | ||
| + | *Für $n = 4$, $n = 8$, usw. sind dagegen die Koeffizienten $A_n = 0$, da für die Sinusfunktion gilt: $\sin(\pi) = \sin(2\pi) =\text{ ...} = 0$. | ||
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| + | '''(3)''' Aus der grafischen Darstellung des Signals ${y(t)}$ wird deutlich, dass $A_0 = 0.75$ gelten muss. Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Beziehung: | ||
:$$A_0^{(y)}=1-A_0^{(x)}=1-0.25\hspace{0.15cm}\underline{=0.75}.$$ | :$$A_0^{(y)}=1-A_0^{(x)}=1-0.25\hspace{0.15cm}\underline{=0.75}.$$ | ||
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| − | '''5 | + | '''(4)''' Es gilt ${y(t)} = 1 - x(t)$. Für $n \neq 0$ ergeben sich somit die gleichen Fourierkoeffizienten wie für $x(t)$, jedoch mit negativen Vorzeichen. Inbesondere gilt: |
| − | :$$z(t)=A_0+A_1^{(y)}\cos(\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0(t-\frac{T_0}{2})) | + | :$$A_1^{(y)} = -A_1^{(x)}=-{2}/{\pi} \cdot \sin({\pi}/{4})= -{\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.450},$$ |
| − | :$$\Rightarrow \quad z(t)=A_0-A_1^{(y)}\cos(\omega_0 t)+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0 t)-A_3^{(y)}\cos(3\omega_0 t)+\ | + | :$$A_2^{(y)} = -A_2^{(x)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx - 0.318}.$$ |
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| + | '''(5)''' Es gilt ${z(t)} = y(t - T_0/2)$. Mit der Fourierreihendarstellung von ${y(t)}$ folgt daraus: | ||
| + | :$$z(t)=A_0+A_1^{(y)}\cos(\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_3^{(y)}\cos(3\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+\ldots$$ | ||
| + | :$$\Rightarrow \quad z(t)=A_0-A_1^{(y)}\cos(\omega_0 t)+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0 t)-A_3^{(y)}\cos(3\omega_0 t)+\text{...}$$ | ||
Damit erhält man: | Damit erhält man: | ||
| − | :$$A_1^{(z)}=-A_1^{(y)}= | + | :$$A_1^{(z)}=-A_1^{(y)}={\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=+0.450}, \hspace {0.5cm} A_2^{(z)}=A_2^{(y)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=-0.318}.$$ |
| − | Das gleiche Ergebnis erhält man ausgehend von den gegebenen Koeffizienten mit $\Delta t/T_0 = 0.75$: | + | Das gleiche Ergebnis erhält man ausgehend von den gegebenen Koeffizienten mit $\Delta t/T_0 = 0.75$: |
:$$A_1^{(z)}={2}/{\pi} \cdot \sin({3}/{4}\cdot \pi)={\sqrt2}/{\pi}, | :$$A_1^{(z)}={2}/{\pi} \cdot \sin({3}/{4}\cdot \pi)={\sqrt2}/{\pi}, | ||
\hspace {0.5cm}A_2^{(z)}= | \hspace {0.5cm}A_2^{(z)}= | ||
Aktuelle Version vom 16. April 2021, 13:12 Uhr
Verschiedene Rechtecksignale
Das mit der Zeit $T_0$ periodische Signal $x(t)$ wird durch den einzigen Parameter $\Delta t$ beschrieben; die Amplitude der Rechteckimpulse sei jeweils $1$. Da $x(t)$ gerade ist, sind alle Sinuskoeffizienten $B_n = 0$.
Der Gleichsignalkoeffizient ist $A_0 = \Delta t/T_0$ und für die Cosinuskoeffizienten gilt:
- $$A_n=\frac{2}{n\pi}\cdot \sin(n\pi \Delta t/T_0).$$
In den Teilaufgaben (1) und (2) wird das Signal $x(t)$ für die zwei Parameterwerte $\Delta t/T_0 = 0.5$ bzw. $\Delta t/T_0 = 0.25$ analysiert.
Danach betrachten wir die beiden ebenfalls in der Abbildung dargestellten Signale $y(t)$ und $z(t)$, jeweils mit $\Delta t/T_0 = 0.25$. Zwischen diesen Signalen und $x(t)$ besteht ein fester Zusammenhang, der zur Berechnung ausgenutzt werden kann.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fourierreihe.
- Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Aussagen 1, 3 und 5:
- Die Spektralfunktion beinhaltet eine Diracfunktion bei $f = 0$ mit dem Gewicht $0.5$ (Gleichanteil) sowie weitere Spektrallinien bei ungeradzahligen Vielfachen ($n = \pm1, \pm3, \pm5,\text{...}$) von $f_0$.
- Die Gewichte bei $\pm f_0$ sind jeweils $A_1/2 = 1/\pi = 0.318$.
(2) Richtig sind die Aussagen 1, 2 und 4:
- Bei allen ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz existieren Spektrallinien, zusätzlich noch bei den $2–{\rm fachen}$, $6–{\rm fachen}$ und $10–{\rm fachen}$.
- Beispielsweise gilt $A_1 = 1/\pi = 0.450$. Die Spektrallinie bei $2f_0$ hat somit das Gewicht $A_2/2 = 1/(2\pi) = 0.159$.
- Für $n = 4$, $n = 8$, usw. sind dagegen die Koeffizienten $A_n = 0$, da für die Sinusfunktion gilt: $\sin(\pi) = \sin(2\pi) =\text{ ...} = 0$.
(3) Aus der grafischen Darstellung des Signals ${y(t)}$ wird deutlich, dass $A_0 = 0.75$ gelten muss. Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Beziehung:
- $$A_0^{(y)}=1-A_0^{(x)}=1-0.25\hspace{0.15cm}\underline{=0.75}.$$
(4) Es gilt ${y(t)} = 1 - x(t)$. Für $n \neq 0$ ergeben sich somit die gleichen Fourierkoeffizienten wie für $x(t)$, jedoch mit negativen Vorzeichen. Inbesondere gilt:
- $$A_1^{(y)} = -A_1^{(x)}=-{2}/{\pi} \cdot \sin({\pi}/{4})= -{\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.450},$$
- $$A_2^{(y)} = -A_2^{(x)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx - 0.318}.$$
(5) Es gilt ${z(t)} = y(t - T_0/2)$. Mit der Fourierreihendarstellung von ${y(t)}$ folgt daraus:
- $$z(t)=A_0+A_1^{(y)}\cos(\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+A_3^{(y)}\cos(3\omega_0(t-\frac{T_0}{2}))+\ldots$$
- $$\Rightarrow \quad z(t)=A_0-A_1^{(y)}\cos(\omega_0 t)+A_2^{(y)}\cos(2\omega_0 t)-A_3^{(y)}\cos(3\omega_0 t)+\text{...}$$
Damit erhält man:
- $$A_1^{(z)}=-A_1^{(y)}={\sqrt2}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=+0.450}, \hspace {0.5cm} A_2^{(z)}=A_2^{(y)}=-{1}/{\pi}\hspace{0.15cm}\underline{=-0.318}.$$
Das gleiche Ergebnis erhält man ausgehend von den gegebenen Koeffizienten mit $\Delta t/T_0 = 0.75$:
- $$A_1^{(z)}={2}/{\pi} \cdot \sin({3}/{4}\cdot \pi)={\sqrt2}/{\pi}, \hspace {0.5cm}A_2^{(z)}= {1}/{\pi} \cdot \sin({3}/{2} \cdot \pi) =-{1}/{\pi}.$$
