Aufgaben:Aufgabe 2.5Z: Mehrwege-Szenario

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Mobilfunk–Szenario mit 3 Pfaden

In Aufgabe A2.5 war die Verzögerungs–Doppler–Funktion vorgegeben. Daraus sollte man die anderen Systemfunktionen berechnen und interpretieren. Die Vorgabe für die Scatterfunktion $s(\tau_0, f_{\rm D})$ lautete:

$$s(\tau_0, f_{\rm D}) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau_0) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz})$$

$$\hspace{-0.2cm} \ - \ \hspace{-0.2cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau_0 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}50\,{\rm Hz})$$

$$\hspace{-0.2cm} \ - \ \hspace{-0.2cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau_0 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D}\hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm}50\,{\rm Hz}) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweis: In unserem Lerntutorial wird $s(\tau_0, f_{\rm D})$ auch mit $\eta_{\rm VD}(\tau_0, f_{\rm D})$ bezeichnet.

Wir haben hier die Verzögerungsvariable $\tau$ durch $\tau_0$ ersetzt. Dabei beschreibt die neue Variable $\tau_0$ die Differenz zwischen der Laufzeit eines Pfades und der Laufzeit $\tau_1$ des Hauptpfades. Der Hauptpfad ist somit in obiger Gleichung durch $\tau_0 = 0$ gekennzeichnet.

Nun wird versucht, ein Mobilfunkszenario zu finden, bei dem tatsächlich dieses Scatterfunktion auftreten würde. Die Grundstruktur ist dabei oben als Draufsicht skizziert, und es gilt:

• Gesendet wird eine einzige Frequenz $f_{\rm S} = 2 \ \rm GHz$.
• Der mobile Empfänger (E) ist hier durch einen gelben Punkt dargestellt. Nicht bekannt ist, ob das Fahrzeugt steht, sich auf den Sender (S) zu bewegt oder sich von diesem entfernt.
• Das Signal gelangt über einen Hauptpfad (rot) und zwei Nebenpfaden (blau und grün) zum Empfänger. Reflexionen an den Hindernissen führen jeweils zu Phasendrehungen um $\pi$.
• ${\rm S}_2$ und ${\rm S}_3$ sind hier als fiktive Sender zu verstehen, aus deren Lage die Auftreffwinkel $\alpha_2$ und $\alpha_3$ der Nebenpfade ermittelt werden können.
• Für die Dopplerfrequenz gilt mit der Signalfrequenz $f_{\rm S}$, dem Winkel $\alpha$, der Geschwindigkeit $\upsilon$ und der Lichtgeschwindigkeit $c = 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s$:

$$f_{\rm D}= {v}/{c} \cdot f_{\rm S} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$

• Die Dämpfungsfaktoren $k_1$, $k_2$ und $k_3$ sind umgekehrt proportional zu den Pfadlängen $d_1$, $d_2$ und $d_3$. Dies entspricht dem Pfadverlustexponenten $\gamma = 2$: Die Signalleistung nimmt quadratisch mit der Distanz $d$ ab und dementsprechend die Signalamplitude linear mit $d$.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Das GWSSUS–Kanalmodell und bezieht sich auf das Pfadverlustmodell und den Dopplereffekt.

Fragebogen

1

Betrachten Sie zunächst nur die Diracfunktion bei $\tau = 0$, $f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz$. Welche Aussagen gelten für den Empfänger?

	Der Empfänger steht.
	Der Empfänger fährt direkt auf den Sender zu.
	Der Empfänger entfernt sich in Gegenrichtung zum Sender.

2

Wie groß ist die Fahrzeuggeschwindigkeit?

$\upsilon \ = \ $ $\ \rm km/h$

3

Welche Aussagen gelten für den Dirac bei $\tau_0 = 1 \ \rm \mu s$, $f_{\rm D} = +50 \ \rm Hz$?

	Dieser Dirac stammt vom blauen Pfad.
	Dieser Dirac stammt vom grünen Pfad.
	Der Winkel $\alpha_2$ (siehe Grafik) beträgt $30°$.
	Der Winkel $\alpha_2$ (siehe Grafik) beträgt $60°$.

4

Welche Aussagen gelten für den grünen Pfad?

	Für diesen gilt $\tau_0 = 1 \ \rm \mu s$ und $f_{\rm D} = \, –50 \ \rm Hz$.
	Der Winkel $\alpha_3$ beträgt $60°$.
	Der Winkel $\alpha_3$ beträgt $240°$.

5

Welche Relationen bestehen zwischen den beiden Nebenpfaden?

	Es gilt $d_3 = d_2$.
	Es gilt $k_3 = k_2$.
	Es gilt $\tau_3 = \tau_2$.

6

Wie groß ist die Laufzeitdifferenz $\Delta d = d_2 \, – d_1$?

$\Delta d \ = \ $ $\ \rm m$

7

Welches Verhältnis besteht zwischen $d_2$ und $d_1$?

$d_2/d_1 \ = \ $

8

Geben Sie die Distanzen $d_1$ und $d_2$ an.

$d_1 \ = \ $ $\ \rm m$

$d_2 \ = \ $ $\ \rm m$

Musterlösung

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