Aufgaben:Aufgabe 2.5: ZSB–AM über einen Gaußkanal: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 6. Dezember 2021, 14:42 Uhr

ZSB-AM über einen verzerrenden Kanal

Das hier betrachtete Übertragungssystem setzt sich aus folgenden Blöcken zusammen:

ZSB–AM ohne Träger mit $f_{\rm T} = 50 \ \rm kHz$ bzw. $f_{\rm T} = 55 \ \rm kHz$:

$$ s(t) = q(t) \cdot \cos (2 \pi f_{\rm T} \hspace{0.05cm} t).$$

Gaußförmiger Bandpass–Kanal; der Betrag $|f|$ im Exponenten bewirkt, dass $H_K(–f) = H_K(f)$ gilt:

$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (({|f| - f_{\rm M}})/{\Delta f_{\rm K}}\right)^2} ,\hspace{0.2cm} f_{\rm M} = 50\,{\rm kHz},\hspace{0.2cm} \Delta f_{\rm K} = 10\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$

Synchrondemodulator mit optimalen Kenngrößen, so dass das Sinkensignal $v(t)$ vollständig mit dem Quellensignal $q(t)$ übereinstimmt, wenn $H_{\rm K}(f) = 1$ ist (idealer Kanal).

Auf der Seite Einfluss linearer Kanalverzerrungen wurde gezeigt, dass das gesamte System durch den resultierenden Frequenzgang

$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \big[ H_{\rm K}(f + f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f - f_{\rm T})\big]$$

ausreichend genau charakterisiert ist. Der Index steht hierbei für $\rm M$odulator – $\rm K$anal – $\rm D$emodulator.

Das Quellensignal $q(t)$ setzt sich aus zwei Cosinus-Schwingungen zusammen:

$$q(t) = 2\,{\rm V}\cdot \cos (2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)+ 3\,{\rm V}\cdot \cos (2 \pi \cdot 5\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Synchrondemodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Einfluss linearer Kanalverzerrungen.

Fragebogen

$|H_{\rm MKD} (f = 1\ \rm kHz)| \ = \ $

$|H_{\rm MKD} (f = 5\ \rm kHz)| \ = \ $

$A_1 \ = \ $

$\ \text{ V }$

$A_5 \ = \ $

$\ \text{ V }$

$|H_{\rm MKD} (f = 1\ \rm kHz)| \ = \ $

$|H_{\rm MKD} (f = 5\ \rm kHz)| \ = \ $

$A_1 \ = \ $

$\ \text{ V }$

$A_5 \ = \ $

$\ \text{ V }$

	Ja,
	Nein.

Musterlösung

Resulierender Basisbandfrequenzgang für $f_{\rm T} = f_{\rm M}$

(1) Die angegebene Gleichung besagt, dass der BP–Frequenzgang $H_{\rm K}(f)$ jeweils um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ nach links und rechts verschoben und die beiden Anteile aufaddiert werden müssen.

Es ist noch der Faktor $1/2$ zu berücksichtigen (siehe Skizze).

Bei niedrigen Frequenzen ergibt sich dann eine Gaußfunktion um die Mittenfrequenz „0”:

$$H_{\rm MKD}(f) = {\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left ({f}/{\Delta f_{\rm K}}\right)^2} \hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Anteile bei $±2f_{\rm T}$ müssen nicht weiter betrachtet werden. Für die zwei gesuchten Frequenzen $f_1 = 1\ \rm kHz$ und $f_5 = 5 \ \rm kHz$ erhält man:

$$ H_{\rm MKD}(f = f_1) = {\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{1\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2} = {\rm e}^{-\pi/100}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.969} \hspace{0.05cm},$$

$$H_{\rm MKD}(f = f_5) = {\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{5\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2} = {\rm e}^{-\pi/4} \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.456} \hspace{0.05cm}.$$

(2) Mit $ω_1 = 2π · 1\ \rm kHz$ und $ω_5 = 2π · 5 \ \rm kHz$ gilt:

$$ v(t) = 0.969 \cdot 2\,{\rm V}\cdot \cos (\omega_1 \cdot t)+ 0.456 \cdot 3\,{\rm V}\cdot \cos (\omega_5 \cdot t) = \underline { 1.938\,{\rm V}}\cdot \cos (\omega_1 \cdot t) + \hspace{0.15cm}\underline {1.368\,{\rm V}}\cdot \cos (\omega_5 \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$

Man erkennt, dass nun – im Gegensatz zum Quellensignal $q(t)$ – der Anteil bei $1 \ \rm kHz$ ⇒ $A_1 = 1.938 \ \rm V$ größer ist als der $5 \ \rm kHz$–Anteil ⇒ $A_5 = 1.368 \ \rm V$, da der Kanal die Frequenzen $49 \ \rm kHz$ und $51 \ \rm kHz$ weniger dämpft als die Spektralanteile bei $45 \ \rm kHz$ und $55 \ \rm kHz$.

(3) Die beiden um $±f_{\rm T}$ verschobenen Spektralfunktionen kommen nun nicht mehr direkt übereinander zu liegen, sondern sind um $10 \ \rm kHz$ gegeneinander versetzt.

Der resultierende Frequenzgang $H_{\rm MKD}(f)$ ist somit nicht mehr gaußförmig, sondern es gilt entsprechend der unteren Skizze:

$$H_{\rm MKD}(f ) = {1}/{2}\cdot \left[{\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{f - 5\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2}+{\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{f + 5\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2}\right]\hspace{0.05cm}.$$

Für die Frequenzen $f_1$ und $f_5$ erhält man:

$$H_{\rm MKD}(f = 1\,{\rm kHz}) = \frac{1}{2} \cdot \left[ H_{\rm K}(f = 56\,{\rm kHz}) + H_{\rm K}(f = -54\,{\rm kHz})\right]=$$

$$\hspace{1.25cm}= \frac{1}{2}\cdot \left[{\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{56\, {\rm kHz}- 50\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2}+{\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{-54\, {\rm kHz}+ 50\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2}\right] = 0.161 + 0.302 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.463}\hspace{0.05cm},$$

$$H_{\rm MKD}(f = 5\,{\rm kHz}) = \frac{1}{2} \cdot \left[ H_{\rm K}(f = 60\,{\rm kHz}) + H_{\rm K}(f = -50\,{\rm kHz})\right]= \hspace{0.75cm}$$

$$\hspace{1.25cm}= \frac{1}{2}\cdot \left[{\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{60\, {\rm kHz}- 50\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2}+{\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{-50\, {\rm kHz}+ 50\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2}\right] = 0.022 + 0.500 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.521}\hspace{0.05cm}.$$

Resulierender Basisbandfrequenzgang für $f_{\rm T} \ne f_{\rm M}$

Während bei $f_{\rm T} = f_{\rm M} = 50 \ \rm kHz$ der Synchrondemodulator die Information über das Nachrichtensignal aus beiden Seitenbändern in gleicher Weise gewinnt, liefert mit $f_{\rm T} = 55\ \rm kHz$ das untere Seitenband (USB) den größeren Beitrag.

Zum Beispiel liegt das USB des $5 \ \rm kHz$–Anteils nun genau bei $f_{\rm M} = 50 \ \rm kHz$ und wird ungedämpft übertragen, während das OSB bei $60 \ \rm kHz$ starken Dämpfungen unterliegt.

(4) Mit dem Ergebnis der letzten Teilaufgabe erhält man:

$$ A_1 = 0.463 \cdot 2\,{\rm V}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.926\,{\rm V}}\hspace{0.05cm},$$

$$A_5 = 0.521 \cdot 3\,{\rm V} \hspace{0.15cm}\underline {= 1.563\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

In diesem Fall sind die linearen Verzerrungen sogar weniger stark, da nun auch der $1 \ \rm kHz$–Anteil stärker gedämpft wird.

(5) Richtig ist JA:

Mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = f_{\rm M} = 50 \ \rm kHz$ wird der $5 \ \rm kHz$–Anteil stärker gedämpft als der $1 \ \rm kHz$–Anteil, während mit $f_{\rm T} = 55 \ {\rm kHz} \ne f_{\rm M}$ der $1 \ \rm kHz$–Anteil etwas mehr gedämpft wird.
Wählt man nun zum Beispiel $f_{\rm T} \approx 54.5 \ \rm kHz$, so werden beide Anteile gleich gedämpft $($etwa um den Faktor $0.53)$ und es gibt keine / weniger Verzerrungen.
Dieses Ergebnis gilt allerdings nur für das betrachtete Quellensignal. Ein anderes $q(t)$ mit ebenfalls zwei Spektralanteilen würde eine andere „optimale Trägerfrequenz” erfordern. Bei einem Nachrichtensignal mit drei oder mehr Spektrallinien würde es stets zu linearen Verzerrungen kommen.

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 [[Datei:P_ID1010__Mod_A_2_5.png|right|frame|ZSB-AM über einen verzerrenden Kanal]]
 Das hier betrachtete Übertragungssystem setzt sich aus folgenden Blöcken zusammen:
-*ZSB–AM ohne Träger mit $f_{\rm T} = 50 \ \rm  kHz$ bzw. $f_{\rm T} = 55 \ \rm  kHz$:
+*ZSB–AM ohne Träger mit &nbsp;$f_{\rm T} = 50 \ \rm  kHz$&nbsp; bzw. &nbsp;$f_{\rm T} = 55 \ \rm  kHz$:
 :$$ s(t) = q(t) \cdot \cos (2 \pi f_{\rm T} \hspace{0.05cm} t).$$
-* Gaußförmiger Bandpass–Kanalfrequenzgang (der Betrag $|f|$ im Exponenten berücksichtigt, dass $H_K(–f) = H_K(f)$ gilt):
+* Gaußförmiger Bandpass–Kanal;&nbsp; der Betrag &nbsp;$|f|$&nbsp; im Exponenten bewirkt,&nbsp; dass &nbsp;$H_K(–f) = H_K(f)$&nbsp; gilt:
-:$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{|f| - f_{\rm M}}{\Delta f_{\rm K}}\right)^2} ,\hspace{0.2cm} f_{\rm M} = 50\,{\rm kHz},\hspace{0.2cm} \Delta f_{\rm K} = 10\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (({|f| - f_{\rm M}})/{\Delta f_{\rm K}}\right)^2} ,\hspace{0.2cm} f_{\rm M} = 50\,{\rm kHz},\hspace{0.2cm} \Delta f_{\rm K} = 10\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
-* Synchrondemodulator mit optimalen Kenngrößen, so dass das Sinkensignal $v(t)$ vollständig mit dem Quellensignal $q(t)$ übereinstimmt, wenn $H_{\rm K}(f) = 1$ ist.
+* Synchrondemodulator mit optimalen Kenngrößen,&nbsp; so dass das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; vollständig mit dem Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; übereinstimmt,&nbsp; wenn &nbsp;$H_{\rm K}(f) = 1$&nbsp; ist&nbsp; (idealer Kanal).
-Auf der Seite [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Einfluss_linearer_Kanalverzerrungen| Einfluss linearer Kanalverzerrungen]] wurde gezeigt, dass das gesamte System durch den resultierenden Frequenzgang
+Auf der Seite &nbsp;[[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Einfluss_linearer_Kanalverzerrungen| Einfluss linearer Kanalverzerrungen]]&nbsp; wurde gezeigt,&nbsp; dass das gesamte System durch den resultierenden Frequenzgang
-:$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \left[ H_{\rm K}(f + f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f - f_{\rm T})\right]$$
+:$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \big[ H_{\rm K}(f + f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f - f_{\rm T})\big]$$
-ausreichend genau charakterisiert ist. Der Index steht hierbei für „'''M'''odulator–'''K'''anal–'''D'''emodulator”.
+ausreichend genau charakterisiert ist.&nbsp; Der Index steht hierbei für&nbsp; $\rm M$odulator &ndash; $\rm K$anal &ndash; $\rm D$emodulator.
-Das Quellensignal $q(t)$ setzt sich aus zwei Cosinus-Schwingungen zusammen:
+Das Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; setzt sich aus zwei Cosinus-Schwingungen zusammen:
 :$$q(t) = 2\,{\rm V}\cdot \cos (2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t)+ 3\,{\rm V}\cdot \cos (2 \pi \cdot 5\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation|Synchrondemodulation]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Einfluss_linearer_Kanalverzerrungen|Einfluss linearer Kanalverzerrungen]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Synchrondemodulation#Einfluss_linearer_Kanalverzerrungen|Einfluss linearer Kanalverzerrungen]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den resultierenden Frequenzgang $H_{\rm MKD}(f)$ für $f_{\rm T} = 50 \ \rm  kHz$.
+{Berechnen Sie den resultierenden Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; für &nbsp;$f_{\rm T} = 50 \ \rm  kHz$.&nbsp;
-<br>Welche Werte ergeben sich für $f = 1 \ \rm  kHz$ und $f = 5 \ \rm  kHz$?
+Welche Werte ergeben sich für &nbsp;$f = 1 \ \rm  kHz$&nbsp; und &nbsp;$f = 5 \ \rm  kHz$?
 |type="{}"}
 $|H_{\rm MKD} (f = 1\ \rm  kHz)| \ = \ $ { 0.969 3% }
 $|H_{\rm MKD} (f = 5\ \rm  kHz)| \ = \ $ { 0.456 3% }
-{Berechnen Sie das Sinkensignal $v(t)$. Geben Sie die Amplituden $A_1$ und $A_5$ des $1\ \rm kHz$– bzw. $5\ \rm kHz$–Anteils an.
+{Berechnen Sie das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$.&nbsp; Geben Sie die Amplituden &nbsp;$A_1$&nbsp; und &nbsp;$A_5$&nbsp; des &nbsp;$1\ \rm kHz$–&nbsp; bzw. &nbsp;$5\ \rm kHz$–Anteils an.
 |type="{}"}
 $A_1 \ = \ $ { 1.938 3% } $\ \text{ V }$
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-{Berechnen Sie den resultierenden Frequenzgang $H_{\rm MKD}(f)$ für $f_{\rm T} = 55 \ \rm  kHz$. Welche Werte ergeben sich nun für $f = 1 \ \rm  kHz$ und $f = 5 \ \rm  kHz$?
+{Berechnen Sie den resultierenden Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; für &nbsp;$f_{\rm T} = 55 \ \rm  kHz$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich nun für &nbsp;$f = 1 \ \rm  kHz$&nbsp; und &nbsp;$f = 5 \ \rm  kHz$?
 |type="{}"}
 $|H_{\rm MKD} (f = 1\ \rm  kHz)| \ = \ $ { 0.463 3% }
-$|H_{\rm MKD} (f = 5\ \rm  kHz)| \ = \ $ { 0.521  3% }
+$|H_{\rm MKD} (f = 5\ \rm  kHz)| \ = \ $ { 0.521 3% }
-{Berechnen Sie das Sinkensignal $υ(t)$. Geben Sie hierfür die Amplituden $A_1$ und $A_5$ des $1\ \rm kHz$– bzw. $5\ \rm kHz$–Anteils an.
+{Berechnen Sie das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$.&nbsp; Geben Sie hierfür die Amplituden &nbsp;$A_1$&nbsp; und &nbsp;$A_5$&nbsp; der beiden  Anteile an.
 |type="{}"}
 $A_1 \ = \ $ { 0.926 3% } $\ \text{ V }$
 $A_5 \ = \ $ { 1.563 3% } $\ \text{ V }$
-{Gibt es eine Trägerfrequenz $f_{\rm T}$, die bei dem gegebenen Quellensignal und dem gegebenen Kanal zu keinen Verzerrungen führt? Begründen Sie Ihre Antwort.
+{Gibt es eine Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T}$,&nbsp; die bei dem gegebenen Quellensignal und dem gegebenen Kanal zu keinen Verzerrungen führt?&nbsp; Begründen Sie Ihre Antwort.
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + Ja,
 - Nein.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''Die angegebene Gleichung besagt, dass der gegebene Bandpass–Frequenzgang $H_K(f)$ jeweils um die Trägerfrequenz $f_T$ nach links und rechts verschoben und die beiden Anteile aufaddiert werden müssen. Außerdem ist noch der Faktor 1/2 zu berücksichtigen, wie die nachfolgende Skizze zeigt.
+[[Datei:P_ID1011__Mod_A_2_5_a.png|right|frame|Resulierender Basisbandfrequenzgang für&nbsp; $f_{\rm T} = f_{\rm M}$]]
+'''(1)'''&nbsp; Die angegebene Gleichung besagt, dass der BP–Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm K}(f)$&nbsp; jeweils um die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; nach links und rechts verschoben und die beiden Anteile aufaddiert werden müssen.&nbsp;
+*Es ist noch der Faktor&nbsp; $1/2$&nbsp; zu berücksichtigen (siehe Skizze).
+*Bei niedrigen Frequenzen ergibt sich dann eine Gaußfunktion um die Mittenfrequenz „0”:
+:$$H_{\rm MKD}(f) = {\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left ({f}/{\Delta f_{\rm K}}\right)^2} \hspace{0.05cm}.$$
+*Die beiden Anteile bei&nbsp; $±2f_{\rm T}$&nbsp; müssen nicht weiter betrachtet werden.&nbsp; Für die zwei gesuchten Frequenzen&nbsp; $f_1 = 1\ \rm  kHz$&nbsp; und&nbsp; $f_5 = 5 \ \rm kHz$&nbsp; erhält man:
+:$$ H_{\rm MKD}(f = f_1) = {\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{1\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2} = {\rm e}^{-\pi/100}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.969} \hspace{0.05cm},$$
+:$$H_{\rm MKD}(f = f_5) = {\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{5\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2} = {\rm e}^{-\pi/4} \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.456} \hspace{0.05cm}.$$
-Bei niedrigen Frequenzen ergibt sich dann eine Gaußfunktion um die Mittenfrequenz „0”:
-[[Datei:P_ID1011__Mod_A_2_5_a.png|right|]]
-$$H_{\rm MKD}(f) = {\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left ({f}/{\Delta f_{\rm K}}\right)^2} \hspace{0.05cm}.$$
-Die beiden Anteile bei $±2f_T$ müssen nicht weiter betrachtet werden. Für die zwei gesuchten Frequenzen $f_1 = 1 kHz$ und $f_5 = 5 kHz$ erhält man:
-$$ H_{\rm MKD}(f = f_1) = {\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{1\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2} = {\rm e}^{-\pi/100}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.969} \hspace{0.05cm},$$ $$H_{\rm MKD}(f = f_5) = {\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{5\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2} = {\rm e}^{-\pi/4} \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.456} \hspace{0.05cm}.$$
+'''(2)'''&nbsp; Mit&nbsp; $ω_1 = 2π · 1\ \rm   kHz$&nbsp; und&nbsp; $ω_5 = 2π · 5 \ \rm  kHz$&nbsp; gilt:
+:$$ v(t)  =  0.969 \cdot 2\,{\rm V}\cdot \cos (\omega_1 \cdot t)+ 0.456 \cdot 3\,{\rm V}\cdot \cos (\omega_5 \cdot t) =  \underline { 1.938\,{\rm V}}\cdot \cos (\omega_1 \cdot t) + \hspace{0.15cm}\underline {1.368\,{\rm V}}\cdot \cos (\omega_5 \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
+*Man erkennt, dass nun –&nbsp; im Gegensatz zum Quellensignal&nbsp; $q(t)$&nbsp; – der Anteil bei&nbsp; $1 \ \rm kHz$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $A_1 = 1.938 \ \rm V$&nbsp; größer ist als der&nbsp;  $5 \ \rm kHz$–Anteil &nbsp; &rArr; &nbsp; $A_5 = 1.368 \ \rm V$, da der Kanal die Frequenzen&nbsp; $49 \ \rm kHz$&nbsp; und&nbsp; $51 \ \rm kHz$&nbsp; weniger dämpft als die Spektralanteile bei&nbsp; $45 \ \rm kHz$&nbsp; und&nbsp; $55 \ \rm kHz$.
-'''2.''' Mit $ω_1 = 2π · 1 kHz$ und $ω_5 = 2π · 5 kHz$ gilt:
-$$ v(t)  =  0.969 \cdot 2\,{\rm V}\cdot \cos (\omega_1 \cdot t)+ 0.456 \cdot 3\,{\rm V}\cdot \cos (\omega_5 \cdot t) =$$
-$$=  \underline { 1.938\,{\rm V}}\cdot \cos (\omega_1 \cdot t) + \hspace{0.15cm}\underline {1.368\,{\rm V}}\cdot \cos (\omega_5 \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
-Man erkennt, dass nun – im Gegensatz zum Quellensignal $q(t)$ – der Anteil bei 1 kHz größer ist als der  5 kHz–Anteil, da der Kanal die Frequenzen 49 kHz und 51 kHz weniger dämpft als die Spektralanteile bei 45 kHz und 55 kHz
+'''(3)'''&nbsp; Die beiden um&nbsp; $±f_{\rm T}$&nbsp; verschobenen Spektralfunktionen kommen nun nicht mehr direkt übereinander zu liegen, sondern sind um&nbsp; $10 \ \rm kHz$&nbsp; gegeneinander versetzt.
+*Der resultierende Frequenzgang&nbsp; $H_{\rm MKD}(f)$&nbsp; ist somit nicht mehr gaußförmig, sondern es gilt entsprechend der unteren Skizze:
+:$$H_{\rm MKD}(f ) = {1}/{2}\cdot \left[{\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{f - 5\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2}+{\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{f + 5\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2}\right]\hspace{0.05cm}.$$
-'''3.'''Die beiden um $±f_T$ verschobenen Spektralfunktionen kommen nun nicht mehr direkt übereinander zu liegen, sondern sind um 10 kHz gegeneinander versetzt. Der resultierende Frequenzgang $H_{MKD}(f)$ ist somit nicht mehr gaußförmig, sondern es gilt entsprechend der folgenden SDkizze:
+*Für die Frequenzen&nbsp; $f_1$&nbsp; und&nbsp; $f_5$&nbsp; erhält man:
-$$H_{\rm MKD}(f ) = {1}/{2}\cdot \left[{\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{f - 5\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2}+{\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{f + 5\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2}\right]\hspace{0.05cm}.$$
-Für die Frequenzen $f_1$ und $f_5$ erhält man:
+:$$H_{\rm MKD}(f = 1\,{\rm kHz}) = \frac{1}{2} \cdot \left[ H_{\rm K}(f = 56\,{\rm kHz}) + H_{\rm K}(f = -54\,{\rm kHz})\right]=$$
-[[Datei:P_ID1012__Mod_A_2_5_c.png]]
+:$$\hspace{1.25cm}= \frac{1}{2}\cdot \left[{\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{56\, {\rm kHz}- 50\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2}+{\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{-54\, {\rm kHz}+ 50\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2}\right] = 0.161 + 0.302 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.463}\hspace{0.05cm},$$
-$$H_{\rm MKD}(f = 1\,{\rm kHz}) = \frac{1}{2} \cdot \left[ H_{\rm K}(f = 56\,{\rm kHz}) + H_{\rm K}(f = -54\,{\rm kHz})\right]=\hspace{0.75cm}$$
+:$$H_{\rm MKD}(f = 5\,{\rm kHz}) = \frac{1}{2} \cdot \left[ H_{\rm K}(f = 60\,{\rm kHz}) + H_{\rm K}(f = -50\,{\rm kHz})\right]= \hspace{0.75cm}$$
-$$= \frac{1}{2}\cdot \left[{\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{56 {\rm kHz}- 50\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2}+{\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{-54 {\rm kHz}+ 50\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2}\right] = 0.161 + 0.302 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.463}\hspace{0.05cm},$$
+:$$\hspace{1.25cm}= \frac{1}{2}\cdot \left[{\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{60\, {\rm kHz}- 50\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2}+{\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{-50\, {\rm kHz}+ 50\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2}\right] = 0.022 + 0.500 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.521}\hspace{0.05cm}.$$
+[[Datei:P_ID1012__Mod_A_2_5_c.png|right|frame|Resulierender Basisbandfrequenzgang für $f_{\rm T} \ne f_{\rm M}$]]
+*Während bei&nbsp; $f_{\rm T} = f_{\rm M} = 50 \ \rm kHz$&nbsp; der Synchrondemodulator die Information über das Nachrichtensignal aus beiden Seitenbändern in gleicher Weise gewinnt, liefert mit&nbsp; $f_{\rm T} = 55\ \rm  kHz$&nbsp; das untere Seitenband (USB) den größeren Beitrag.
-$$H_{\rm MKD}(f = 5\,{\rm kHz}) = \frac{1}{2} \cdot \left[ H_{\rm K}(f = 60\,{\rm kHz}) + H_{\rm K}(f = -50\,{\rm kHz})\right]= \hspace{0.75cm}$$
-$$= \frac{1}{2}\cdot \left[{\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{60 {\rm kHz}- 50\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2}+{\rm e}^{-\pi \cdot \hspace{0.05cm} \left (\frac{-50 {\rm kHz}+ 50\,{\rm kHz}}{10\,{\rm kHz}}\right)^2}\right] = 0.022 + 0.500 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.521}\hspace{0.05cm}.$$
+*Zum Beispiel liegt das USB des&nbsp; $5 \ \rm kHz$–Anteils nun genau bei&nbsp; $f_{\rm M} = 50 \ \rm kHz$&nbsp; und wird ungedämpft übertragen, während das OSB bei&nbsp; $60 \ \rm kHz$&nbsp; starken Dämpfungen unterliegt.
-Während bei $f_T = f_M = 50 kHz$ der Synchrondemodulator die Information über das Nachrichtensignal aus beiden Seitenbändern in gleicher Weise gewinnt, liefert mit $f_T = 55 kHz$ das untere Seitenband (USB) den größeren Beitrag. Zum Beispiel liegt das USB des 5 kHz–Anteils nun genau bei $f_M = 50 kHz$ und wird ungedämpft übertragen, während das OSB bei 60 kHz starken Dämpfungen unterliegt.
-'''4.'''Mit den Ergebnissen aus c) erhält man:
-$$ A_1  = 0.463 \cdot 2\,{\rm V}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.926\,{\rm V}}\hspace{0.05cm},$$
-$$A_5  = 0.521 \cdot 3\,{\rm V} \hspace{0.15cm}\underline {= 1.563\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
-In diesem Fall sind die linearen Verzerrungen sogar weniger stark, da auch der 1 kHz–Anteil stärker gedämpft wird.
+'''(4)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis der letzten Teilaufgabe erhält man:
+:$$ A_1  = 0.463 \cdot 2\,{\rm V}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.926\,{\rm V}}\hspace{0.05cm},$$
+:$$A_5  = 0.521 \cdot 3\,{\rm V} \hspace{0.15cm}\underline {= 1.563\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
+*In diesem Fall sind die linearen Verzerrungen sogar weniger stark, da nun auch der&nbsp; $1 \ \rm kHz$–Anteil stärker gedämpft wird.
-'''5.'''Mit der Trägerfrequenz $f_T = 50 kHz$ wird der 5 kHz–Anteil stärker gedämpft als der 1 kHz–Anteil, während mit $f_T = 55 kHz$ der 1 kHz–Anteil etwas mehr gedämpft wird. Wählt man nun $f_T = 54.5 kHz$, so werden beide Anteile gleich gedämpft (etwa um den Faktor 0.53) und es gibt keine Verzerrungen. Richtig ist also JA.
-Dieses Ergebnis gilt allerdings nur für das betrachtete Quellensignal. Ein anderes $q(t)$ mit ebenfalls zwei Spektralanteilen würde eine andere „optimale Trägerfrequenz” erfordern. Bei einem Nachrichtensignal mit drei oder mehr Spektrallinien würde es stets zu linearen Verzerrungen kommen.
+'''(5)'''&nbsp; Richtig ist JA:
+*Mit der Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T} = f_{\rm M} = 50 \ \rm kHz$&nbsp; wird der&nbsp; $5 \ \rm kHz$–Anteil stärker gedämpft als der&nbsp; $1 \ \rm kHz$–Anteil, während mit&nbsp; $f_{\rm T}  = 55 \ {\rm kHz} \ne f_{\rm M}$&nbsp; der&nbsp; $1 \ \rm kHz$–Anteil etwas mehr gedämpft wird.
+*Wählt man nun zum Beispiel&nbsp; $f_{\rm T}  \approx 54.5 \ \rm kHz$, so werden beide Anteile gleich gedämpft&nbsp; $($etwa um den Faktor $0.53)$&nbsp; und es gibt keine / weniger Verzerrungen.
+*Dieses Ergebnis gilt allerdings nur für das betrachtete Quellensignal.&nbsp; Ein anderes&nbsp; $q(t)$&nbsp; mit ebenfalls zwei Spektralanteilen würde eine andere „optimale Trägerfrequenz” erfordern.&nbsp; Bei einem Nachrichtensignal mit drei oder mehr Spektrallinien würde es stets zu linearen Verzerrungen kommen.
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