Aufgaben:Aufgabe 2.5: Restredundanz bei LZW-Codierung: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
(Eine dazwischenliegende Version desselben Benutzers wird nicht angezeigt)
Zeile 88: Zeile 88:
  
  
{Welche Werte liefert die Redundanznäherung $r\hspace{0.05cm}'(N)$ für die nicht näher spezifizierte Binärquelle $\rm BQ3$? Insbesondere:
+
{Welche Werte liefert die Redundanznäherung  $r\hspace{0.05cm}'(N)$  für die nicht näher spezifizierte Binärquelle  $\rm BQ3$? Insbesondere:
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$r'(N = 50000)\ =  \ $ { 0.289 3% }
 
$r'(N = 50000)\ =  \ $ { 0.289 3% }
Zeile 95: Zeile 95:
  
  
{Welche Quellenentropie $H$ könnte $\rm BQ3$ nach diesem Ergebnis besitzen? <i>Hinweis:</i> Es ist genau eine Antwort richtig.
+
{Welche Quellenentropie&nbsp; $H$&nbsp; könnte&nbsp; $\rm BQ3$&nbsp; nach diesem Ergebnis besitzen?&nbsp; <i>Hinweis:</i> Es ist genau eine Antwort richtig.
|type="[]"}
+
|type="()"}
 
- $H = 1.00 \ \rm bit/Quellensymbol$,
 
- $H = 1.00 \ \rm bit/Quellensymbol$,
 
- $H = 0.75 \ \rm bit/Quellensymbol$,
 
- $H = 0.75 \ \rm bit/Quellensymbol$,
Zeile 108: Zeile 108:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Die Näherung $r\hspace{0.05cm}'(N)$ stimmt definitionsgemäß für die Eingangsfolgenlänge $N = 10000$ mit der per Simulation ermittelten Restredundanz $r(N) = 0.265$ exakt überein. Damit ist
+
'''(1)'''&nbsp; Die Näherung&nbsp; $r\hspace{0.05cm}'(N)$&nbsp; stimmt per Definition für die Folgenlänge&nbsp; $N = 10000$&nbsp; mit der per Simulation ermittelten Restredundanz&nbsp; $r(N) = 0.265$&nbsp; exakt überein.  
 +
*Damit ist
 
:$$A = 4 \cdot  r(N = 10000) =4 \cdot {0.265} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.06}
 
:$$A = 4 \cdot  r(N = 10000) =4 \cdot {0.265} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.06}
 
\hspace{0.05cm}. $$
 
\hspace{0.05cm}. $$
  
  
'''(2)'''&nbsp; Aus der Beziehung ${A}/{\rm lg}\hspace{0.1cm}(N) &#8804; 0.05$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ${A}/{\rm lg}\hspace{0.1cm}(N) = 0.05$ folgt:
+
 
 +
'''(2)'''&nbsp; Aus der Beziehung&nbsp; ${A}/{\rm lg}\hspace{0.1cm}(N) &#8804; 0.05$ &nbsp;&nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ${A}/{\rm lg}\hspace{0.1cm}(N) = 0.05$&nbsp; folgt:
 
:$${{\rm lg}\hspace{0.1cm}N_{\rm 2}} = \frac{A}{0.05} = 21.2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
 
:$${{\rm lg}\hspace{0.1cm}N_{\rm 2}} = \frac{A}{0.05} = 21.2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
 
N_{\rm 2} = 10^{21.2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.58 \cdot 10^{21}}
 
N_{\rm 2} = 10^{21.2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.58 \cdot 10^{21}}
Zeile 119: Zeile 121:
  
  
'''(3)'''&nbsp; Allgemein gilt &nbsp;$r(N) = 1 - {H}/{K(N)} \hspace{0.05cm}.$ $\rm BQ1$ hat die Entropie $H = 0.5$ bit/Symbol. Daraus folgt wegen &nbsp;$r(N) &asymp; r\hspace{0.05cm}'(N)$ für $K(N_3) = 0.6$:
+
 
 +
'''(3)'''&nbsp; Allgemein gilt &nbsp;$r(N) = 1 - {H}/{K(N)} \hspace{0.05cm}.$&nbsp;
 +
*$\rm BQ1$&nbsp; hat die Entropie&nbsp; $H = 0.5$ bit/Symbol.&nbsp;
 +
*Daraus folgt wegen &nbsp;$r(N) &asymp; r\hspace{0.05cm}'(N)$&nbsp; für&nbsp; $K(N_3) = 0.6$:
 
:$$r(N_{\rm c}) = 1 - \frac{0.5}{0.6} = 0.167 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}  
 
:$$r(N_{\rm c}) = 1 - \frac{0.5}{0.6} = 0.167 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm}  
 
{\rm lg}\hspace{0.1cm}N_{\rm 3} = \frac{A}{0.167} = 6.36
 
{\rm lg}\hspace{0.1cm}N_{\rm 3} = \frac{A}{0.167} = 6.36
Zeile 127: Zeile 132:
  
  
[[Datei:P_ID2447__Inf_A_2_5d.png|right|frame|Ergebnisse für  $\rm BQ2$]]
+
 
'''(4)'''&nbsp; Für $N = 10000$ gilt &nbsp;$r(N) &asymp; r\hspace{0.05cm}'(N) = 0.19$:
+
[[Datei:P_ID2447__Inf_A_2_5d.png|right|frame|Ergebnisse für&nbsp; $\rm BQ2$]]
 +
'''(4)'''&nbsp; Für&nbsp; $N = 10000$&nbsp; gilt &nbsp;$r(N) &asymp; r\hspace{0.05cm}'(N) = 0.19$:
 
:$$\frac{A}{{\rm lg}\hspace{0.1cm}10000} = 0.19 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
 
:$$\frac{A}{{\rm lg}\hspace{0.1cm}10000} = 0.19 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}
 
A = 0.19 \cdot 4 = 0.76 \hspace{0.05cm}. $$
 
A = 0.19 \cdot 4 = 0.76 \hspace{0.05cm}. $$
Die Ergebnisse sind in nebenstehender Tabelle zusammengefasst. Man erkennt die sehr gute Übereinstimmung zwischen &nbsp;$r(N)$ und  &nbsp;$r\hspace{0.05cm}'(N)$. Die gesuchten Zahlenwerte sind in der Tabelle rot markiert:
+
*Die Ergebnisse sind in nebenstehender Tabelle zusammengefasst.  
 +
*Man erkennt die sehr gute Übereinstimmung zwischen&nbsp; &nbsp;$r(N)$&nbsp; und  &nbsp;$r\hspace{0.05cm}'(N)$.  
 +
*Die gesuchten Zahlenwerte sind in der Tabelle rot markiert:
 
$$r'(N = 50000)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.162},\hspace{0.3cm}r'(N = 10^{6})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.127},\hspace{0.3cm}
 
$$r'(N = 50000)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.162},\hspace{0.3cm}r'(N = 10^{6})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.127},\hspace{0.3cm}
 
r'(N = 10^{12})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.063}.$$
 
r'(N = 10^{12})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.063}.$$
  
Für den Komprimierungsfaktor gilt (der Apostroph weist darauf hin, dass von der Näherung $r\hspace{0.05cm}'(N)$ ausgegangen wurde):
+
*Für den Komprimierungsfaktor gilt (der Apostroph weist darauf hin, dass von der Näherung &nbsp;$r\hspace{0.05cm}'(N)$&nbsp; ausgegangen wurde):
 
:$$K\hspace{0.05cm}'(N) = \frac{1}{1 - r\hspace{0.05cm}'(N)}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$K\hspace{0.05cm}'(N) = \frac{1}{1 - r\hspace{0.05cm}'(N)}\hspace{0.05cm}.$$
Damit gilt für die Länge des LZW&ndash;Ausgabestrings:
+
*Damit gilt für die Länge des LZW&ndash;Ausgabestrings:
 
:$$L\hspace{0.05cm}'(N) = K\hspace{0.05cm}'(N) \cdot N  = \frac{N}{1 - r\hspace{0.05cm}'(N)}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$L\hspace{0.05cm}'(N) = K\hspace{0.05cm}'(N) \cdot N  = \frac{N}{1 - r\hspace{0.05cm}'(N)}\hspace{0.05cm}.$$
  
[[Datei:P_ID2448__Inf_A_2_5e.png|right|frame|Ergebnisse für $\rm BQ3$]]
 
'''(5)'''&nbsp; Nach ähnlicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe '''(4)''' erhält man für die Binärquelle $\rm BQ3$ den Anpassungsparameter $A = 1.36$ und daraus die Ergebnisse gemäß der blau hinterlegten Tabelle.
 
  
<u>Hinweis:</u> &nbsp; Die letzte Spalte dieser Tabelle ist nur bei Kenntnis der Teilaufgabe '''(6)''' verständlich. Dort wird gezeigt, dass die  Quelle $\rm BQ3$ die Entropie $H = 0.25$ bit/Quellensymbol besitzt.
 
  
In diesem Fall gilt für den Komprimierungsfaktor:
+
[[Datei:P_ID2448__Inf_A_2_5e.png|right|frame|Ergebnisse für&nbsp; $\rm BQ3$]]
 +
'''(5)'''&nbsp; Nach ähnlicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; erhält man für die Binärquelle&nbsp; $\rm BQ3$&nbsp; den Anpassungsparameter&nbsp; $A = 1.36$&nbsp; und daraus die Ergebnisse gemäß der blau hinterlegten Tabelle.
 +
 
 +
<u>Hinweis:</u> &nbsp; Die letzte Spalte dieser Tabelle ist nur bei Kenntnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(6)'''&nbsp; verständlich. Dort wird gezeigt, dass die  Quelle&nbsp; $\rm BQ3$&nbsp; die Entropie&nbsp; $H = 0.25$ bit/Quellensymbol besitzt.
 +
 
 +
*In diesem Fall gilt für den Komprimierungsfaktor:
 
:$$K\hspace{0.05cm}'(N) = \frac{H}{1 - r\hspace{0.05cm}'(N)} = \frac{0.25}{1 - r'(N)} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$K\hspace{0.05cm}'(N) = \frac{H}{1 - r\hspace{0.05cm}'(N)} = \frac{0.25}{1 - r'(N)} \hspace{0.05cm}.$$
Damit erhält man für die gesuchten Werte der Restredundanz:
+
*Damit erhält man für die gesuchten Werte der Restredundanz:
 
:$$r\hspace{0.05cm}'(N = 50000)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.289},\hspace{0.3cm}r\hspace{0.05cm}'(N = 10^{6})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.227},\hspace{0.3cm}
 
:$$r\hspace{0.05cm}'(N = 50000)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.289},\hspace{0.3cm}r\hspace{0.05cm}'(N = 10^{6})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.227},\hspace{0.3cm}
 
r\hspace{0.05cm}'(N = 10^{12})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.113}.$$
 
r\hspace{0.05cm}'(N = 10^{12})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.113}.$$
Für $N = 10^{12}$ weicht also der Komprimierungsfaktor $(0.282)$ noch deutlich von der Entropie $(0.25)$ ab, die für $N \to \infty$ erreicht werden kann (Quellencodierungstheorem).
+
*Für&nbsp; $N = 10^{12}$&nbsp; weicht also der Komprimierungsfaktor&nbsp; $(0.282)$&nbsp; noch deutlich von der Entropie&nbsp; $(0.25)$&nbsp; ab, die erst  für&nbsp; $N \to \infty$&nbsp; erreicht werden kann (Quellencodierungstheorem).
 +
 
 +
 
  
  
'''(6)'''&nbsp; Die einzelnen Näherungen $r\hspace{0.05cm}'(N)$ unterscheiden sich nur durch den Parameter $A$. Dabei haben wir festgestellt:
+
'''(6)'''&nbsp; Die einzelnen Näherungen&nbsp; $r\hspace{0.05cm}'(N)$&nbsp; unterscheiden sich nur durch den Parameter&nbsp; $A$.&nbsp; Dabei haben wir festgestellt:
* Quelle $\rm BQ1$ mit $H = 0.50$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $A = 1.06$ &nbsp; &rArr; &nbsp; entsprechend dem Angabenblatt,
+
# Quelle&nbsp; $\rm BQ1$&nbsp; mit&nbsp; $H = 0.50$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $A = 1.06$ &nbsp; &rArr; &nbsp; entsprechend dem Angabenblatt,
* Quelle $\rm BQ2$ mit $H = 1.00$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $A = 0.76$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe '''(4)''',
+
# Quelle&nbsp; $\rm BQ2$&nbsp; mit&nbsp; $H = 1.00$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $A = 0.76$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe&nbsp; '''(4)''',
* Quelle $\rm BQ3$ ($H$ unbekannt): $A = 4 &middot; 0.34 =1.36$ &nbsp; &rArr; &nbsp; entsprechend der letzten Spalte in der Tabelle.
+
# Quelle&nbsp; $\rm BQ3$&nbsp; $(H$ unbekannt$)$: $A = 4 &middot; 0.34 =1.36$ &nbsp; &rArr; &nbsp; entsprechend der letzten Spalte in der Tabelle.
  
  
Je kleiner die Entropie $H$ ist, um so größer ist offensichtlich der Anpassungsfaktor $A$ (und umgekehrt). <br>
+
*Je kleiner die Entropie&nbsp; $H$&nbsp; ist, um so größer ist offensichtlich der Anpassungsfaktor&nbsp; $A$&nbsp; (und umgekehrt).  
Da genau eine Lösung möglich ist, muss $H = 0.25$ bit/Quellensymbol richtig sein &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <u>Antwort 4</u>.
+
*Da genau eine Lösung möglich ist, muss&nbsp; $H = 0.25$&nbsp; bit/Quellensymbol richtig sein &nbsp;&nbsp;&#8658;&nbsp;&nbsp; <u>Antwort 4</u>.
  
Tatsächlich wurden bei der Simulation für die Quelle $\rm BQ3$ die Wahrscheinlichkeiten &nbsp;$p_{\rm A} = 0.96$ und &nbsp;$p_{\rm B} = 0.04$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $H &asymp; 0.25$ verwendet.
+
*Tatsächlich wurden bei der Simulation für die Quelle&nbsp; $\rm BQ3$&nbsp; die Wahrscheinlichkeiten &nbsp;$p_{\rm A} = 0.96$&nbsp; und &nbsp;$p_{\rm B} = 0.04$&nbsp; &nbsp; &#8658; &nbsp; $H &asymp; 0.25$ verwendet.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Aktuelle Version vom 24. Januar 2020, 14:12 Uhr

Restredundanz  $r(N)$  & Näherung  $r\hspace{0.05cm}'(N)$  dreier Binärquellen

Wir gehen hier von einer binären Eingangsfolge der Länge  $N$  aus und betrachten drei verschiedene binäre Nachrichtenquellen:

  • $\rm BQ1$:   Symbolwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A} = 0.89$  und  $p_{\rm B} = 0.11$, also unterschiedlich
      ⇒   Entropie  $H = 0.5\text{ bit/Quellensymbol}$   ⇒   die Quelle ist redundant.
  • $\rm BQ2$:   $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$  (gleichwahrscheinlich)
      ⇒   Entropie  $H = 1\text{ bit/Quellensymbol}$   ⇒   die Quelle ist redundanzfrei.
  • $\rm BQ3$:   Hier gibt es keine konkreten Angaben zur Statistik. 
    In der Teilaufgabe  (6)  sollen Sie die Entropie  $H$  dieser Quelle abschätzen.


Für diese drei Quellen wurden per Simulation die jeweilige Restredundanz  $r(N)$  ermittelt, die nach der  Lempel–Ziv–Welch–Codierung  in der Binärfolge verbleibt. 

Die Ergebnisse sind in der jeweils ersten Spalte obiger Tabelle für die Quellen

  • $\rm BQ1$  (gelbe Hinterlegung),
  • $\rm BQ2$  (grüne Hinterlegung) und
  • $\rm BQ3$  (blaue Hinterlegung)


eingetragen, wobei wir uns bei der Simulation auf Folgenlängen  $N ≤ 50000$  beschränkt haben.

Die relative Redundanz der Ausgangsfolge – vereinfachend Restredundanz genannt – kann aus

  • der Länge  $N$  der Eingangsfolge,
  • der Länge  $L(N)$  der Ausgangsfolge und
  • der Entropie  $H$


in folgender Weise berechnet werden:

$$r(N) = \frac{L(N) - N \cdot H}{L(N)}= 1 - \frac{ N \cdot H}{L(N)}\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass bei perfekter Quellencodierung die Länge der Ausgangsfolge bis auf den Wert  $L_{\rm min} = N · H$  herabgesenkt werden könnte.

  • Bei nichtperfekter Quellencodierung gibt  $L(n) - N · H$  die verbleibende Redundanz (mit der Pseudo–Einheit „bit”) an.
  • Nach Division durch  $L(n)$  erhält man die relative Redundanz  $r(n)$  mit dem Wertebereich zwischen Null und Eins; $r(n)$ sollte möglichst klein sein.


Eine zweite Kenngröße zur Effizienzmessung der LZW–Codierung ist der  Komprimierungsfaktor  $K(N)$, der als der Quotient der Längen von Ausgangs– und Eingangsfolge ebenfalls klein sein sollte:

$$K(N) = {L(N) }/{N} \hspace{0.05cm},$$

Im  Theorieteil  wurde gezeigt, dass die Restredundanz  $r(n)$  oft durch die Funktion

$$r\hspace{0.05cm}'(N) =\frac {A}{{\rm lg}\hspace{0.1cm}(N)} \hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} A = 4 \cdot {r(N = 10000)} \hspace{0.05cm}.$$

gut angenähert wird.

  • Diese Näherung  $r\hspace{0.05cm}'(N)$  ist für  $\rm BQ1$  in der zweiten Spalte obiger Tabelle angegeben.
  • In den Teilaufgaben  (4)  und  (5)  sollen Sie die Approximation für die Quellen  $\rm BQ2$  und  $\rm BQ3$  vornehmen.





Hinweise:

Restredrundanz als Maß für die Effizienz von Codierverfahren,
Effizienz der Lempel-Ziv-Codierung sowie
Quantitative Aussagen zur asymptotischen Optimalität.
  • Die Beschreibungsgrößen  $K(N)$  und  $r(N)$  hängen deterministisch zusammen.


Fragebogen

1

Mit welchem Parameter  $A$  wurde die Näherung  $r\hspace{0.05cm}'(N)$  der Restredundanz für die Binärquelle  $\rm BQ1$  erstellt?

$A \ = \ $

2

Wie groß muss  $N = N_2$  bei  $\rm BQ1$  mindestens sein, damit die Restredundanz die Bedingung  $r(N) ≈ r\hspace{0.05cm}'(N) \le 5\%$  erfüllt?

$N_{2} \ = \ $

$\ \cdot 10^{21}$

3

Wie groß muss  $N = N_3$  bei  $\rm BQ1$  mindestens sein, damit der Komprimierungsfaktor  $K(N)= L(N)/N$  nicht größer ist als  $0.6$?

$N_{3} \ = \ $

$\ \cdot 10^{6}$

4

Bestimmen Sie nun die Redundanznäherung  $r\hspace{0.05cm}'(N)$  für die redundanzfreie Binärquelle $\rm BQ2$, insbesondere:

$r'(N = 50000)\ = \ $

$r'(N = 10^6)\ = \ $

$r'(N = 10^{12})\ = \ $

5

Welche Werte liefert die Redundanznäherung  $r\hspace{0.05cm}'(N)$  für die nicht näher spezifizierte Binärquelle  $\rm BQ3$? Insbesondere:

$r'(N = 50000)\ = \ $

$r'(N = 10^6)\ = \ $

$r'(N = 10^{12})\ = \ $

6

Welche Quellenentropie  $H$  könnte  $\rm BQ3$  nach diesem Ergebnis besitzen?  Hinweis: Es ist genau eine Antwort richtig.

$H = 1.00 \ \rm bit/Quellensymbol$,
$H = 0.75 \ \rm bit/Quellensymbol$,
$H = 0.50 \ \rm bit/Quellensymbol$,
$H = 0.25 \ \rm bit/Quellensymbol$.


Musterlösung

(1)  Die Näherung  $r\hspace{0.05cm}'(N)$  stimmt per Definition für die Folgenlänge  $N = 10000$  mit der per Simulation ermittelten Restredundanz  $r(N) = 0.265$  exakt überein.

  • Damit ist
$$A = 4 \cdot r(N = 10000) =4 \cdot {0.265} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.06} \hspace{0.05cm}. $$


(2)  Aus der Beziehung  ${A}/{\rm lg}\hspace{0.1cm}(N) ≤ 0.05$    ⇒    ${A}/{\rm lg}\hspace{0.1cm}(N) = 0.05$  folgt:

$${{\rm lg}\hspace{0.1cm}N_{\rm 2}} = \frac{A}{0.05} = 21.2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} N_{\rm 2} = 10^{21.2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.58 \cdot 10^{21}} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Allgemein gilt  $r(N) = 1 - {H}/{K(N)} \hspace{0.05cm}.$ 

  • $\rm BQ1$  hat die Entropie  $H = 0.5$ bit/Symbol. 
  • Daraus folgt wegen  $r(N) ≈ r\hspace{0.05cm}'(N)$  für  $K(N_3) = 0.6$:
$$r(N_{\rm c}) = 1 - \frac{0.5}{0.6} = 0.167 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm} {\rm lg}\hspace{0.1cm}N_{\rm 3} = \frac{A}{0.167} = 6.36 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm} N_{\rm 3} = 10^{6.36} \hspace{0.15cm}\underline{= 2.29 \cdot 10^{6}} \hspace{0.05cm}.$$


Ergebnisse für  $\rm BQ2$

(4)  Für  $N = 10000$  gilt  $r(N) ≈ r\hspace{0.05cm}'(N) = 0.19$:

$$\frac{A}{{\rm lg}\hspace{0.1cm}10000} = 0.19 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} A = 0.19 \cdot 4 = 0.76 \hspace{0.05cm}. $$
  • Die Ergebnisse sind in nebenstehender Tabelle zusammengefasst.
  • Man erkennt die sehr gute Übereinstimmung zwischen   $r(N)$  und  $r\hspace{0.05cm}'(N)$.
  • Die gesuchten Zahlenwerte sind in der Tabelle rot markiert:

$$r'(N = 50000)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.162},\hspace{0.3cm}r'(N = 10^{6})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.127},\hspace{0.3cm} r'(N = 10^{12})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.063}.$$

  • Für den Komprimierungsfaktor gilt (der Apostroph weist darauf hin, dass von der Näherung  $r\hspace{0.05cm}'(N)$  ausgegangen wurde):
$$K\hspace{0.05cm}'(N) = \frac{1}{1 - r\hspace{0.05cm}'(N)}\hspace{0.05cm}.$$
  • Damit gilt für die Länge des LZW–Ausgabestrings:
$$L\hspace{0.05cm}'(N) = K\hspace{0.05cm}'(N) \cdot N = \frac{N}{1 - r\hspace{0.05cm}'(N)}\hspace{0.05cm}.$$


Ergebnisse für  $\rm BQ3$

(5)  Nach ähnlicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe  (4)  erhält man für die Binärquelle  $\rm BQ3$  den Anpassungsparameter  $A = 1.36$  und daraus die Ergebnisse gemäß der blau hinterlegten Tabelle.

Hinweis:   Die letzte Spalte dieser Tabelle ist nur bei Kenntnis der Teilaufgabe  (6)  verständlich. Dort wird gezeigt, dass die Quelle  $\rm BQ3$  die Entropie  $H = 0.25$ bit/Quellensymbol besitzt.

  • In diesem Fall gilt für den Komprimierungsfaktor:
$$K\hspace{0.05cm}'(N) = \frac{H}{1 - r\hspace{0.05cm}'(N)} = \frac{0.25}{1 - r'(N)} \hspace{0.05cm}.$$
  • Damit erhält man für die gesuchten Werte der Restredundanz:
$$r\hspace{0.05cm}'(N = 50000)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.289},\hspace{0.3cm}r\hspace{0.05cm}'(N = 10^{6})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.227},\hspace{0.3cm} r\hspace{0.05cm}'(N = 10^{12})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.113}.$$
  • Für  $N = 10^{12}$  weicht also der Komprimierungsfaktor  $(0.282)$  noch deutlich von der Entropie  $(0.25)$  ab, die erst für  $N \to \infty$  erreicht werden kann (Quellencodierungstheorem).



(6)  Die einzelnen Näherungen  $r\hspace{0.05cm}'(N)$  unterscheiden sich nur durch den Parameter  $A$.  Dabei haben wir festgestellt:

  1. Quelle  $\rm BQ1$  mit  $H = 0.50$   ⇒   $A = 1.06$   ⇒   entsprechend dem Angabenblatt,
  2. Quelle  $\rm BQ2$  mit  $H = 1.00$   ⇒   $A = 0.76$   ⇒   siehe Teilaufgabe  (4),
  3. Quelle  $\rm BQ3$  $(H$ unbekannt$)$: $A = 4 · 0.34 =1.36$   ⇒   entsprechend der letzten Spalte in der Tabelle.


  • Je kleiner die Entropie  $H$  ist, um so größer ist offensichtlich der Anpassungsfaktor  $A$  (und umgekehrt).
  • Da genau eine Lösung möglich ist, muss  $H = 0.25$  bit/Quellensymbol richtig sein   ⇒   Antwort 4.
  • Tatsächlich wurden bei der Simulation für die Quelle  $\rm BQ3$  die Wahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A} = 0.96$  und  $p_{\rm B} = 0.04$    ⇒   $H ≈ 0.25$ verwendet.