Aufgaben:Aufgabe 2.4: Klirrfaktor und Verzerrungsleistung: Unterschied zwischen den Versionen

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:$$x_1(t) =  A_x  \cdot \cos(\omega_0 t)$$
 
:$$x_1(t) =  A_x  \cdot \cos(\omega_0 t)$$
  
mit der Amplitude $A_x = 1 \ \rm V$ angelegt. Am Systemausgang tritt dann das folgende Signal auf:
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mit der Amplitude  $A_x = 1 \ \rm V$  angelegt. Am Systemausgang tritt dann das folgende Signal auf:
 
:$$y_1(t) = {0.992 \,\rm V}  \cdot \cos(\omega_0 t) - {0.062 \,\rm
 
:$$y_1(t) = {0.992 \,\rm V}  \cdot \cos(\omega_0 t) - {0.062 \,\rm
 
V} \cdot \cos(2\omega_0 t)+ \hspace{0.05cm}\text{...}$$
 
V} \cdot \cos(2\omega_0 t)+ \hspace{0.05cm}\text{...}$$
  
In der oberen Grafik sind die Signale $x_1(t)$  und $y_1(t)$ dargestellt. Oberwellen mit Amplituden kleiner als $10 \ \rm mV$ sind hierbei nicht berücksichtigt.
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In der oberen Grafik sind die Signale  $x_1(t)$  und  $y_1(t)$  dargestellt. Oberwellen mit Amplituden kleiner als  $10 \ \rm mV$  sind hierbei nicht berücksichtigt.
<br clear=all>
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Das untere Bild zeigt das Eingangssignal $x_2(t)$ mit der Ampiltude $A_x = 2 \ \rm V$ sowie das dazugehörige Ausgangssignal, wiederum ohne Oberwellen kleiner als $10 \ \rm mV$:
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Das untere Bild zeigt das Eingangssignal&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; mit der Ampiltude&nbsp; $A_x = 2 \ \rm V$&nbsp; sowie das dazugehörige Ausgangssignal, wiederum ohne Oberwellen kleiner als&nbsp; $10 \ \rm mV$:
 
:$$y_2(t) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm}{1.938 \,\rm V}  \cdot \cos(\omega_0 t)\hspace{-0.05cm} -\hspace{-0.05cm} {0.234
 
:$$y_2(t) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm}{1.938 \,\rm V}  \cdot \cos(\omega_0 t)\hspace{-0.05cm} -\hspace{-0.05cm} {0.234
 
\,\rm V} \cdot \cos(2\omega_0 t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}  {0.058 \,\rm V} \cdot
 
\,\rm V} \cdot \cos(2\omega_0 t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}  {0.058 \,\rm V} \cdot
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\hspace{0.05cm}\text{...}$$
 
\hspace{0.05cm}\text{...}$$
  
Es ist offensichtlich, dass der Index &bdquo;1&rdquo; bzw. &bdquo;2&rdquo; jeweils die normierte Amplitude des Eingangssignals kennzeichnet.
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Es ist offensichtlich, dass die Indizes &bdquo;1&rdquo; bzw. &bdquo;2&rdquo; jeweils die normierte Amplitude des Eingangssignals kennzeichnen.
  
Das System soll anhand des im Abschnitt&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen#Quantitatives_Ma.C3.9F_f.C3.BCr_die_Signalverzerrungen| Quantitatives Maß für die Signalverzerrungen]] definierten Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnisses
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Das System soll anhand des im Abschnitt&nbsp;  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen#Quantitatives_Ma.C3.9F_f.C3.BCr_die_Signalverzerrungen| Quantitatives Maß für die Signalverzerrungen]]&nbsp; definierten Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnisses
 
:$$\rho_{\rm V} = { P_{x}}/{P_{\rm V}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}  10 \cdot \lg \hspace{0.1cm}\rho_{\rm V} =
 
:$$\rho_{\rm V} = { P_{x}}/{P_{\rm V}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}  10 \cdot \lg \hspace{0.1cm}\rho_{\rm V} =
 
  10 \cdot \lg \hspace{0.1cm}{ P_{x}}/{P_{\rm V}}\hspace{0.3cm}  \left( {\rm in \hspace{0.15cm} dB} \right)$$
 
  10 \cdot \lg \hspace{0.1cm}{ P_{x}}/{P_{\rm V}}\hspace{0.3cm}  \left( {\rm in \hspace{0.15cm} dB} \right)$$
  
sowie des Klirrfaktors $K$ analysiert werden:
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sowie des Klirrfaktors&nbsp; $K$&nbsp; analysiert werden:
* $P_x$  bezeichnet die Leistung des Eingangssignals.
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* $P_x$&nbsp; bezeichnet die Leistung des Eingangssignals.
* Die  Verzerrungsleistung $P_{\rm V}$ gibt jeweils die Leistung (den quadratischen Mittelwert) des Differenzsignals $\varepsilon(t) = y(t) - x(t)$ an.
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* Die  Verzerrungsleistung&nbsp; $P_{\rm V}$&nbsp; gibt jeweils die Leistung&nbsp; (den quadratischen Mittelwert)&nbsp; des Differenzsignals&nbsp; $\varepsilon(t) = y(t) - x(t)$&nbsp; an.
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Zur Bestimmung der Leistungen&nbsp; $P_{x}$&nbsp; und&nbsp; $P_{\rm V}$&nbsp; muss jeweils über die quadrierten Signale gemittelt werden.&nbsp; Einfacher ist in dieser Aufgabe jedoch die Leistungsberechnung im Frequenzbereich.
  
  
Zur Bestimmung der Leistungen $P_{x}$ und $P_{\rm V}$ muss jeweils über die quadrierten Signale gemittelt werden. Einfacher ist in dieser Aufgabe jedoch die Leistungsberechnung im Frequenzbereich.
 
  
  
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Berechnen Sie den Klirrfaktor $K$ für die Eingangsamplitude  $\underline{ A_x = 1\ \rm V}$.
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{Berechnen Sie den Klirrfaktor&nbsp; $K$&nbsp; für die Eingangsamplitude&nbsp; $\underline{ A_x = 1\ \rm V}$.
 
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$K \ = \ $  { 6.25 3% } $\%$
 
$K \ = \ $  { 6.25 3% } $\%$
  
  
{Welcher Klirrfaktor ergibt sich mit der Eingangsamplitude $\underline{ A_x = 2\ \rm V}$?
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{Welcher Klirrfaktor ergibt sich mit der Eingangsamplitude&nbsp; $\underline{ A_x = 2\ \rm V}$?
 
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$K \ = \ $ { 12.5 3% } $\%$
 
$K \ = \ $ { 12.5 3% } $\%$
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{Wie groß ist die Leistung &nbsp;$P_x$&nbsp; des Eingangssignals &nbsp;$x_2(t)$&nbsp; in &nbsp;${\rm V}^2$, also umgerechnet auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$?
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{Wie groß ist die Leistung &nbsp;$P_x$&nbsp; des Eingangssignals &nbsp;$x_2(t)$&nbsp; in &nbsp;${\rm V}^2$,&nbsp; also umgerechnet auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$?
 
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$P_x \ = \ $  { 2 1% } $\ {\rm V}^2$
 
$P_x \ = \ $  { 2 1% } $\ {\rm V}^2$
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{Wie groß ist das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis in ${\rm dB}$?
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{Wie groß ist das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis in&nbsp; ${\rm dB}$?
 
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$10 \cdot {\rm lg} \ \rho_{\rm V} \ = \ $ { 18.1 3% } $\ {\rm dB}$
 
$10 \cdot {\rm lg} \ \rho_{\rm V} \ = \ $ { 18.1 3% } $\ {\rm dB}$
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{Welche der folgenden Aussagen treffen bei cosinusförmigem Eingangssignal zu?
 
{Welche der folgenden Aussagen treffen bei cosinusförmigem Eingangssignal zu?
 
|type="[]"}
 
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+ Der Klirrfaktor kann allein aus den Koeffizienten &nbsp;$A_1$, $A_2$, $A_3$, ...&nbsp; der Ausgangsgröße berechnet werden.
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+ Der Klirrfaktor kann allein aus den Koeffizienten &nbsp;$A_1$,&nbsp; $A_2$,&nbsp; $A_3$,&nbsp; ...&nbsp; der Ausgangsgröße berechnet werden.
- Das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis $10 \cdot {\rm lg} \ \rho_{\rm V}$ ist allein aus den Koeffizienten &nbsp;$A_1$, $A_2$, $A_3$, ...&nbsp;  berechenbar.
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- Das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \ \rho_{\rm V}$&nbsp; ist allein aus den Koeffizienten &nbsp;$A_1$,&nbsp; $A_2$,&nbsp; $A_3$,&nbsp; ...&nbsp;  berechenbar.
+ Für den Sonderfall $A_1 = A_x$ &nbsp; &rArr; &nbsp; keine Veränderung der Grundwelle9 können &nbsp;$\rho_{\rm V}$&nbsp; und &nbsp;$K$&nbsp; direkt ineinander umgerechnet werden.
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+ Für den Sonderfall&nbsp; $A_1 = A_x$ &nbsp; &rArr; &nbsp; keine Veränderung der Grundwelle]&nbsp; können &nbsp;$\rho_{\rm V}$&nbsp; und &nbsp;$K$&nbsp; direkt ineinander umgerechnet werden.
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Mit der Eingangsamplitude $A_x = 1 \ \rm V$ entsprechend der oberen Skizze liefert nur der Klirrfaktor zweiter Ordnung einen relevanten Beitrag. Deshalb gilt:
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'''(1)'''&nbsp; Mit der Eingangsamplitude&nbsp; $A_x = 1 \ \rm V$&nbsp; entsprechend der oberen Skizze liefert nur der Klirrfaktor zweiter Ordnung einen relevanten Beitrag. Deshalb gilt:
 
:$$K \approx K_2 = \frac{0.062 \,\,{\rm V}}{0.992 \,\,{\rm V}}
 
:$$K \approx K_2 = \frac{0.062 \,\,{\rm V}}{0.992 \,\,{\rm V}}
 
\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.25 \%}.$$
 
\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.25 \%}.$$
  
  
'''(2)'''&nbsp; Für die Eingangsamplitude $A_x = 2 \ \rm V$ (untere Skizze) lauten die verschiedenen Klirrfaktoren:
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'''(2)'''&nbsp; Für die Eingangsamplitude&nbsp; $A_x = 2 \ \rm V$&nbsp; (untere Skizze) lauten die verschiedenen Klirrfaktoren:
 
:$$K_2 = \frac{0.234 \,\,{\rm V}}{1.938 \,\,{\rm V}} \approx 0.121,
 
:$$K_2 = \frac{0.234 \,\,{\rm V}}{1.938 \,\,{\rm V}} \approx 0.121,
 
\hspace{0.5cm} K_3 = \frac{0.058 \,\,{\rm V}}{1.938 \,\,{\rm V}}
 
\hspace{0.5cm} K_3 = \frac{0.058 \,\,{\rm V}}{1.938 \,\,{\rm V}}
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\,\,{\rm V}} \approx 0.009.$$
 
\,\,{\rm V}} \approx 0.009.$$
  
Somit lautet der Gesamtklirrfaktor:
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*Somit lautet der Gesamtklirrfaktor:
 
:$$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2 + K_4^2 +\text{ ...} }\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 12.5 \%}.$$
 
:$$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2 + K_4^2 +\text{ ...} }\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 12.5 \%}.$$
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'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
 
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
*Hier bewirken die nichtlinearen Verzerrungen, dass die untere Halbwelle spitzförmiger verläuft als die obere. Da zudem $y(t)$ gleichsignalfrei ist, gilt $y_{\rm max} = 1.75 \ \rm V$ und $y_{\rm min} = -2.25 \ \rm V$. Die Symmetrie bezüglich der Nulllinie ist somit nicht mehr gegeben.
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*Hier bewirken die nichtlinearen Verzerrungen, dass die untere Halbwelle spitzförmiger verläuft als die obere.  
*Bei einem nichtlinearen System ist der Klirrfaktor $K$ unabhängig von der Frequenz des cosinusförmigen Eingangssignals, aber stark abhängig von dessen Amplitude.  
+
*Da zudem&nbsp; $y(t)$&nbsp; gleichsignalfrei ist, gilt&nbsp; $y_{\rm max} = 1.75 \ \rm V$&nbsp; und&nbsp; $y_{\rm min} = -2.25 \ \rm V$. Die Symmetrie bezüglich der Nulllinie ist somit nicht mehr gegeben.
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*Bei einem nichtlinearen System ist der Klirrfaktor&nbsp; $K$&nbsp; unabhängig von der Frequenz des cosinusförmigen Eingangssignals, aber stark abhängig von der Amplitude.  
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'''(4)'''&nbsp; Der Effektivwert eines Cosinussignals ist bekanntlich das $\sqrt{0.5}$&ndash;fache der Amplitude. Das Quadrat hiervon bezeichnet man als die Leistung:
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'''(4)'''&nbsp; Der Effektivwert eines Cosinussignals ist bekanntlich das&nbsp; $\sqrt{0.5}$&ndash;fache der Amplitude. Das Quadrat hiervon ergibt die &bdquo;Leistung&rdquo;:
 
:$$P_x = \frac{A_x^2}{2} = \frac{(2 \,{\rm V})^2}{2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2\,{\rm V^2}}.$$
 
:$$P_x = \frac{A_x^2}{2} = \frac{(2 \,{\rm V})^2}{2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2\,{\rm V^2}}.$$
  
Eigentlich hängt die Leistung ja auch vom Bezugswiderstand $R$ ab und besitzt die Einheit &bdquo;Watt&rdquo;. Mit $R = 1 \ \rm \Omega$ ergibt sich $P_x =  2 \ \rm W$, also der geanau gleiche Zahlenwert wie bei dieser einfacheren Berechnung.
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*Eigentlich hängt die Leistung ja auch vom Bezugswiderstand &nbsp;$R$&nbsp; ab und besitzt die Einheit &bdquo;Watt&rdquo;.  
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*Mit &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$&nbsp; ergibt sich &nbsp;$P_x =  2 \ \rm W$,&nbsp; also der genau gleiche Zahlenwert wie bei dieser einfacheren Berechnung.
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'''(5)'''&nbsp; Bezeichnet man
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*mit&nbsp; $A_1$&nbsp; die Amplitude der Grundwelle von&nbsp; $y_2(t)$, und
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*mit&nbsp; $A_2$,&nbsp; $A_3$&nbsp; und&nbsp; $A_4$&nbsp; die so genannten Oberwellen,
  
  
'''(5)'''&nbsp; Bezeichnet man mit $A_1$ die Amplitude der Grundwelle von $y_2(t)$ und mit $A_2$, $A_3$ und $A_4$ die so genannten Oberwellen, so erhält man für die Verzerrungsleistung durch Berechnung im Frequenzbereich:
+
so erhält man für die Verzerrungsleistung durch Berechnung im Frequenzbereich:
:$$P_{\rm V} = \frac{1}{2} \cdot \left[ (A_1 - A_x)^2 + A_2^2+
+
:$$P_{\rm V} = \frac{1}{2} \cdot \big[ (A_1 - A_x)^2 + A_2^2+
A_3^2+ A_4^2\right] =  \frac{1}{2} \cdot \left[ (-2
+
A_3^2+ A_4^2\big] =  \frac{1}{2} \cdot \big[ (-2
 
\,{\rm V} \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}1.938 \,{\rm V} )^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.234 \,{\rm V})^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.058 \,{\rm V})^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.018
 
\,{\rm V} \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}1.938 \,{\rm V} )^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.234 \,{\rm V})^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.058 \,{\rm V})^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.018
\,{\rm V})^2 \right] \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.031 \,{\rm V}^2}.$$
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\,{\rm V})^2 \big] \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.031 \,{\rm V}^2}.$$
  
Hierbei bezeichnet $A_x$ die Amplitude des Eingangssignals. Die Vorzeichen der Oberwellen spielen bei dieser Berechnung keine Rolle.
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Hierbei bezeichnet&nbsp; $A_x$&nbsp; die Amplitude des Eingangssignals. Die Vorzeichen der Oberwellen spielen bei dieser Berechnung keine Rolle.
  
  
'''(6)'''&nbsp; Mit den Ergebnissen der Unterpunkte (4) und (5) erhält man:
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 +
'''(6)'''&nbsp; Mit den Ergebnissen der Unterpunkte&nbsp; '''(4)'''&nbsp; und&nbsp; '''(5)'''&nbsp; erhält man:
 
:$$10 \cdot \lg \rho_{V} =  10 \cdot \lg \frac{P_x}{P_{\rm V}}=  10
 
:$$10 \cdot \lg \rho_{V} =  10 \cdot \lg \frac{P_x}{P_{\rm V}}=  10
 
\cdot \lg \frac{2.000\,{\rm V^2}}{0.031 \,{\rm V}^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 18.10
 
\cdot \lg \frac{2.000\,{\rm V^2}}{0.031 \,{\rm V}^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 18.10
 
\,{\rm dB}}.$$
 
\,{\rm dB}}.$$
  
'''(7)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
+
 
 +
'''(7)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
 
*Die erste Aussage ist richtig, denn es gilt  
 
*Die erste Aussage ist richtig, denn es gilt  
 
:$$K^2 = \frac{A_2^2 + A_3^2 + A_4^2 + ... }{A_1^2}.$$
 
:$$K^2 = \frac{A_2^2 + A_3^2 + A_4^2 + ... }{A_1^2}.$$
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+ \text{...} }{A_x^2}.$$
 
+ \text{...} }{A_x^2}.$$
  
*Bei der Berechnung der Verzerrungsleistung $P_{\rm V}$  wird auch eine Verfälschung der Grundwellenamplitude (diese ist nun $A_1$ anstelle von $A_x$) berücksichtigt. Außerdem wird die Verzerrungsleistung nicht auf $A_1^2$,  sondern auf $A_x^2$ bezogen.  
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*Bei der Berechnung der Verzerrungsleistung&nbsp; $P_{\rm V}$&nbsp; wird auch eine Verfälschung der Grundwellenamplitude&nbsp; $($diese ist nun&nbsp; $A_1$&nbsp; anstelle von&nbsp; $A_x)$&nbsp; berücksichtigt. Außerdem wird die Verzerrungsleistung nicht auf&nbsp; $A_1^2$,  sondern auf&nbsp; $A_x^2$&nbsp; bezogen.  
  
 
*Allgemein gilt zwischen dem Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis und dem Klirrfaktor folgender Zusammenhang:
 
*Allgemein gilt zwischen dem Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis und dem Klirrfaktor folgender Zusammenhang:
 
:$${\rho_{\rm V}} = \frac{A_x^2}{(A_1 - A_x)^2 + K^2 \cdot A_1^2}.$$
 
:$${\rho_{\rm V}} = \frac{A_x^2}{(A_1 - A_x)^2 + K^2 \cdot A_1^2}.$$
  
*Mit $A_1 = A_x$ vereinfacht sich diese Gleichung wie folgt:
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*Mit&nbsp; $A_1 = A_x$&nbsp; vereinfacht sich diese Gleichung wie folgt:
 
:$${\rho_{\rm V}} = {1}/{ K^2 }.$$
 
:$${\rho_{\rm V}} = {1}/{ K^2 }.$$
  
  
 
''Anmerkungen:''
 
''Anmerkungen:''
*Ein Klirrfaktor von $1\%$ entspricht in diesem Fall dem Ergebnis $10 \cdot \lg \rho_{\rm V} = 40 \,{\rm dB}$.
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*Ein Klirrfaktor von&nbsp; $1\%$&nbsp; entspricht in diesem Fall dem Ergebnis&nbsp; $10 \cdot \lg \rho_{\rm V} = 40 \,{\rm dB}$.
*Mit dem Klirrfaktor $K = 0.125$ aus Teilaufgabe /2) hätte man mit der Näherung $A_1 \approx A_x$ sofort $10 \cdot \lg \rho_{\rm V} = 18.06 \,{\rm dB}$ erhalten.  
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*Mit dem Klirrfaktor&nbsp; $K = 0.125$&nbsp; aus Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; hätte man mit der Näherung&nbsp; $A_1 \approx A_x$&nbsp; sofort&nbsp; $10 \cdot \lg \rho_{\rm V} = 18.06 \,{\rm dB}$&nbsp; erhalten.  
*Der unter Punkt (7) errechnete tatsächliche Wert $(18.10 \ \rm dB)$ weicht hiervon nicht all zu sehr ab.  
+
*Der unter Punkt&nbsp; '''(7)'''&nbsp; errechnete tatsächliche Wert&nbsp; $(18.10 \ \rm dB)$&nbsp; weicht hiervon nur unwesentlich ab.  
  
  

Aktuelle Version vom 1. Oktober 2021, 11:11 Uhr

Zur Bedeutung des Klirrfaktors

Zum Test eines Nachrichtenübertragungssystems wird an seinen Eingang ein Cosinussignal

$$x_1(t) = A_x \cdot \cos(\omega_0 t)$$

mit der Amplitude  $A_x = 1 \ \rm V$  angelegt. Am Systemausgang tritt dann das folgende Signal auf:

$$y_1(t) = {0.992 \,\rm V} \cdot \cos(\omega_0 t) - {0.062 \,\rm V} \cdot \cos(2\omega_0 t)+ \hspace{0.05cm}\text{...}$$

In der oberen Grafik sind die Signale  $x_1(t)$  und  $y_1(t)$  dargestellt. Oberwellen mit Amplituden kleiner als  $10 \ \rm mV$  sind hierbei nicht berücksichtigt.


Das untere Bild zeigt das Eingangssignal  $x_2(t)$  mit der Ampiltude  $A_x = 2 \ \rm V$  sowie das dazugehörige Ausgangssignal, wiederum ohne Oberwellen kleiner als  $10 \ \rm mV$:

$$y_2(t) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm}{1.938 \,\rm V} \cdot \cos(\omega_0 t)\hspace{-0.05cm} -\hspace{-0.05cm} {0.234 \,\rm V} \cdot \cos(2\omega_0 t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} {0.058 \,\rm V} \cdot \cos(3\omega_0 t)\hspace{-0.05cm} -\hspace{-0.05cm}{0.018 \,\rm V} \cdot \cos(4\omega_0 t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} \hspace{0.05cm}\text{...}$$

Es ist offensichtlich, dass die Indizes „1” bzw. „2” jeweils die normierte Amplitude des Eingangssignals kennzeichnen.

Das System soll anhand des im Abschnitt  Quantitatives Maß für die Signalverzerrungen  definierten Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnisses

$$\rho_{\rm V} = { P_{x}}/{P_{\rm V}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot \lg \hspace{0.1cm}\rho_{\rm V} = 10 \cdot \lg \hspace{0.1cm}{ P_{x}}/{P_{\rm V}}\hspace{0.3cm} \left( {\rm in \hspace{0.15cm} dB} \right)$$

sowie des Klirrfaktors  $K$  analysiert werden:

  • $P_x$  bezeichnet die Leistung des Eingangssignals.
  • Die Verzerrungsleistung  $P_{\rm V}$  gibt jeweils die Leistung  (den quadratischen Mittelwert)  des Differenzsignals  $\varepsilon(t) = y(t) - x(t)$  an.


Zur Bestimmung der Leistungen  $P_{x}$  und  $P_{\rm V}$  muss jeweils über die quadrierten Signale gemittelt werden.  Einfacher ist in dieser Aufgabe jedoch die Leistungsberechnung im Frequenzbereich.





Hinweise:

  • Alle hier abgefragten Leistungen beziehen sich auf den Widerstand  $R = 1 \ \rm \Omega$  und haben somit die Einheit  ${\rm V}^2$.


Fragebogen

1

Berechnen Sie den Klirrfaktor  $K$  für die Eingangsamplitude  $\underline{ A_x = 1\ \rm V}$.

$K \ = \ $

$\%$

2

Welcher Klirrfaktor ergibt sich mit der Eingangsamplitude  $\underline{ A_x = 2\ \rm V}$?

$K \ = \ $

$\%$

3

Welche Aussagen sind für die Signale  $x_2(t)$  und  $y_2(t)$  zutreffend?

Die untere Halbwelle verläuft spitzförmiger als die obere.
Der Maximal– und Minimalwert von  $y_2(t)$  sind unsymmetrisch zu Null.
Bei anderer Frequenz würde sich ein anderer Klirrfaktor ergeben.

4

Wie groß ist die Leistung  $P_x$  des Eingangssignals  $x_2(t)$  in  ${\rm V}^2$,  also umgerechnet auf den Bezugswiderstand  $R = 1 \ \rm \Omega$?

$P_x \ = \ $

$\ {\rm V}^2$

5

Wie groß ist die „Leistung”  $P_{\rm V}$  des Differenzsignals  $\varepsilon_2(t)$   ⇒   „Verzerrungsleistung”?

$P_{\rm V} \ = \ $

$\ {\rm V}^2$

6

Wie groß ist das Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis in  ${\rm dB}$?

$10 \cdot {\rm lg} \ \rho_{\rm V} \ = \ $

$\ {\rm dB}$

7

Welche der folgenden Aussagen treffen bei cosinusförmigem Eingangssignal zu?

Der Klirrfaktor kann allein aus den Koeffizienten  $A_1$,  $A_2$,  $A_3$,  ...  der Ausgangsgröße berechnet werden.
Das Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis  $10 \cdot {\rm lg} \ \rho_{\rm V}$  ist allein aus den Koeffizienten  $A_1$,  $A_2$,  $A_3$,  ...  berechenbar.
Für den Sonderfall  $A_1 = A_x$   ⇒   keine Veränderung der Grundwelle]  können  $\rho_{\rm V}$  und  $K$  direkt ineinander umgerechnet werden.


Musterlösung

(1)  Mit der Eingangsamplitude  $A_x = 1 \ \rm V$  entsprechend der oberen Skizze liefert nur der Klirrfaktor zweiter Ordnung einen relevanten Beitrag. Deshalb gilt:

$$K \approx K_2 = \frac{0.062 \,\,{\rm V}}{0.992 \,\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.25 \%}.$$


(2)  Für die Eingangsamplitude  $A_x = 2 \ \rm V$  (untere Skizze) lauten die verschiedenen Klirrfaktoren:

$$K_2 = \frac{0.234 \,\,{\rm V}}{1.938 \,\,{\rm V}} \approx 0.121, \hspace{0.5cm} K_3 = \frac{0.058 \,\,{\rm V}}{1.938 \,\,{\rm V}} \approx 0.030, \hspace{0.5cm}K_4 = \frac{0.018 \,\,{\rm V}}{1.938 \,\,{\rm V}} \approx 0.009.$$
  • Somit lautet der Gesamtklirrfaktor:
$$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2 + K_4^2 +\text{ ...} }\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 12.5 \%}.$$


(3)  Richtig sind die beiden ersten Lösungsvorschläge:

  • Hier bewirken die nichtlinearen Verzerrungen, dass die untere Halbwelle spitzförmiger verläuft als die obere.
  • Da zudem  $y(t)$  gleichsignalfrei ist, gilt  $y_{\rm max} = 1.75 \ \rm V$  und  $y_{\rm min} = -2.25 \ \rm V$. Die Symmetrie bezüglich der Nulllinie ist somit nicht mehr gegeben.
  • Bei einem nichtlinearen System ist der Klirrfaktor  $K$  unabhängig von der Frequenz des cosinusförmigen Eingangssignals, aber stark abhängig von der Amplitude.


(4)  Der Effektivwert eines Cosinussignals ist bekanntlich das  $\sqrt{0.5}$–fache der Amplitude. Das Quadrat hiervon ergibt die „Leistung”:

$$P_x = \frac{A_x^2}{2} = \frac{(2 \,{\rm V})^2}{2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2\,{\rm V^2}}.$$
  • Eigentlich hängt die Leistung ja auch vom Bezugswiderstand  $R$  ab und besitzt die Einheit „Watt”.
  • Mit  $R = 1 \ \rm \Omega$  ergibt sich  $P_x = 2 \ \rm W$,  also der genau gleiche Zahlenwert wie bei dieser einfacheren Berechnung.


(5)  Bezeichnet man

  • mit  $A_1$  die Amplitude der Grundwelle von  $y_2(t)$, und
  • mit  $A_2$,  $A_3$  und  $A_4$  die so genannten Oberwellen,


so erhält man für die Verzerrungsleistung durch Berechnung im Frequenzbereich:

$$P_{\rm V} = \frac{1}{2} \cdot \big[ (A_1 - A_x)^2 + A_2^2+ A_3^2+ A_4^2\big] = \frac{1}{2} \cdot \big[ (-2 \,{\rm V} \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}1.938 \,{\rm V} )^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.234 \,{\rm V})^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.058 \,{\rm V})^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.018 \,{\rm V})^2 \big] \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.031 \,{\rm V}^2}.$$

Hierbei bezeichnet  $A_x$  die Amplitude des Eingangssignals. Die Vorzeichen der Oberwellen spielen bei dieser Berechnung keine Rolle.


(6)  Mit den Ergebnissen der Unterpunkte  (4)  und  (5)  erhält man:

$$10 \cdot \lg \rho_{V} = 10 \cdot \lg \frac{P_x}{P_{\rm V}}= 10 \cdot \lg \frac{2.000\,{\rm V^2}}{0.031 \,{\rm V}^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 18.10 \,{\rm dB}}.$$


(7)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Die erste Aussage ist richtig, denn es gilt
$$K^2 = \frac{A_2^2 + A_3^2 + A_4^2 + ... }{A_1^2}.$$
  • Dagegen gilt für den Kehrwert des Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnisses:
$${1}/{\rho_{\rm V}} = \frac{(A_1 - A_x)^2+A_2^2 + A_3^2 + A_4^2 + \text{...} }{A_x^2}.$$
  • Bei der Berechnung der Verzerrungsleistung  $P_{\rm V}$  wird auch eine Verfälschung der Grundwellenamplitude  $($diese ist nun  $A_1$  anstelle von  $A_x)$  berücksichtigt. Außerdem wird die Verzerrungsleistung nicht auf  $A_1^2$, sondern auf  $A_x^2$  bezogen.
  • Allgemein gilt zwischen dem Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis und dem Klirrfaktor folgender Zusammenhang:
$${\rho_{\rm V}} = \frac{A_x^2}{(A_1 - A_x)^2 + K^2 \cdot A_1^2}.$$
  • Mit  $A_1 = A_x$  vereinfacht sich diese Gleichung wie folgt:
$${\rho_{\rm V}} = {1}/{ K^2 }.$$


Anmerkungen:

  • Ein Klirrfaktor von  $1\%$  entspricht in diesem Fall dem Ergebnis  $10 \cdot \lg \rho_{\rm V} = 40 \,{\rm dB}$.
  • Mit dem Klirrfaktor  $K = 0.125$  aus Teilaufgabe  (2)  hätte man mit der Näherung  $A_1 \approx A_x$  sofort  $10 \cdot \lg \rho_{\rm V} = 18.06 \,{\rm dB}$  erhalten.
  • Der unter Punkt  (7)  errechnete tatsächliche Wert  $(18.10 \ \rm dB)$  weicht hiervon nur unwesentlich ab.