Aufgaben:Aufgabe 2.4: Klirrfaktor und Verzerrungsleistung: Unterschied zwischen den Versionen

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Zum Test eines Nachrichtenübertragungssystems wird an seinen Eingang ein Cosinussignal
 
Zum Test eines Nachrichtenübertragungssystems wird an seinen Eingang ein Cosinussignal
$$x_1(t) =  A_x  \cdot \cos(\omega_0 t)$$
+
:$$x_1(t) =  A_x  \cdot \cos(\omega_0 t)$$
  
mit der Amplitude $A_x = 1 \ \rm V$ angelegt. Am Systemausgang tritt dann das folgende Signal auf:
+
mit der Amplitude  $A_x = 1 \ \rm V$  angelegt. Am Systemausgang tritt dann das folgende Signal auf:
$$y_1(t) = {0.992 \,\rm V}  \cdot \cos(\omega_0 t) - {0.062 \,\rm
+
:$$y_1(t) = {0.992 \,\rm V}  \cdot \cos(\omega_0 t) - {0.062 \,\rm
 
V} \cdot \cos(2\omega_0 t)+ \hspace{0.05cm}\text{...}$$
 
V} \cdot \cos(2\omega_0 t)+ \hspace{0.05cm}\text{...}$$
  
In der oberen Grafik sind die Signale $x_1(t)$  und $y_1(t)$ dargestellt. Oberwellen mit Amplituden kleiner als $10 \ \rm mV$ sind hierbei nicht berücksichtigt.
+
In der oberen Grafik sind die Signale  $x_1(t)$  und  $y_1(t)$  dargestellt. Oberwellen mit Amplituden kleiner als  $10 \ \rm mV$  sind hierbei nicht berücksichtigt.
  
Das untere Bild zeigt das Eingangssignal $x_2(t)$ mit der Ampiltude $A_x = 2 \ \rm V$ sowie das dazugehörige Ausgangssignal, wiederum ohne Oberwellen kleiner als $10 \ \rm mV$:
+
 
$$y_2(t) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm}{1.938 \,\rm V}  \cdot \cos(\omega_0 t)\hspace{-0.05cm} -\hspace{-0.05cm} {0.234
+
Das untere Bild zeigt das Eingangssignal  $x_2(t)$  mit der Ampiltude  $A_x = 2 \ \rm V$  sowie das dazugehörige Ausgangssignal, wiederum ohne Oberwellen kleiner als  $10 \ \rm mV$:
 +
:$$y_2(t) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm}{1.938 \,\rm V}  \cdot \cos(\omega_0 t)\hspace{-0.05cm} -\hspace{-0.05cm} {0.234
 
\,\rm V} \cdot \cos(2\omega_0 t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}  {0.058 \,\rm V} \cdot
 
\,\rm V} \cdot \cos(2\omega_0 t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}  {0.058 \,\rm V} \cdot
 
\cos(3\omega_0 t)\hspace{-0.05cm} -\hspace{-0.05cm}{0.018 \,\rm V} \cdot \cos(4\omega_0 t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}
 
\cos(3\omega_0 t)\hspace{-0.05cm} -\hspace{-0.05cm}{0.018 \,\rm V} \cdot \cos(4\omega_0 t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm}
 
\hspace{0.05cm}\text{...}$$
 
\hspace{0.05cm}\text{...}$$
  
Es ist offensichtlich, dass der Index „1” bzw. „2” jeweils die normierte Amplitude des Eingangssignals kennzeichnet.
+
Es ist offensichtlich, dass die Indizes „1” bzw. „2” jeweils die normierte Amplitude des Eingangssignals kennzeichnen.
  
Dieses System soll anhand des im [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen#Quantitatives_Ma.C3.9F_f.C3.BCr_die_Signalverzerrungen| Quantitatives Maß für die Signalverzerrungen]] definierten Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnisses
+
Das System soll anhand des im Abschnitt   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Klassifizierung_der_Verzerrungen#Quantitatives_Ma.C3.9F_f.C3.BCr_die_Signalverzerrungen| Quantitatives Maß für die Signalverzerrungen]]  definierten Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnisses
$$\rho_{\rm V} = { P_{x}}/{P_{\rm V}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}  10 \cdot \lg \hspace{0.1cm}\rho_{\rm V} =
+
:$$\rho_{\rm V} = { P_{x}}/{P_{\rm V}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}  10 \cdot \lg \hspace{0.1cm}\rho_{\rm V} =
 
  10 \cdot \lg \hspace{0.1cm}{ P_{x}}/{P_{\rm V}}\hspace{0.3cm}  \left( {\rm in \hspace{0.15cm} dB} \right)$$
 
  10 \cdot \lg \hspace{0.1cm}{ P_{x}}/{P_{\rm V}}\hspace{0.3cm}  \left( {\rm in \hspace{0.15cm} dB} \right)$$
  
sowie des Klirrfaktors $K$ analysiert werden:
+
sowie des Klirrfaktors  $K$  analysiert werden:
* $P_x$  bezeichnet die Leistung des Eingangssignals,
+
* $P_x$  bezeichnet die Leistung des Eingangssignals.
* die so genannte Verzerrungsleistung $P_{\rm V}$ gibt jeweils die Leistung (den quadratischen Mittelwert) des Differenzsignals $\varepsilon(t) = y(t) - x(t)$ an.
+
* Die Verzerrungsleistung  $P_{\rm V}$  gibt jeweils die Leistung  (den quadratischen Mittelwert)  des Differenzsignals  $\varepsilon(t) = y(t) - x(t)$  an.
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 +
 
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Zur Bestimmung der Leistungen  $P_{x}$  und  $P_{\rm V}$  muss jeweils über die quadrierten Signale gemittelt werden.  Einfacher ist in dieser Aufgabe jedoch die Leistungsberechnung im Frequenzbereich.
  
  
Zur Bestimmung dieser Leistungen muss jeweils über die quadrierten Signale gemittelt werden. Einfacher ist in dieser Aufgabe jedoch die Leistungsberechnung im Frequenzbereich.
 
  
  
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''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|Nichtlineare Verzerrungen]].
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|Nichtlineare Verzerrungen]].
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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*Alle hier abgefragten Leistungen beziehen sich auf den Widerstand $R = 1 \ \rm \Omega$ und haben somit die Einheit ${\rm V}^2$
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*Alle hier abgefragten Leistungen beziehen sich auf den Widerstand  $R = 1 \ \rm \Omega$  und haben somit die Einheit  ${\rm V}^2$.
  
  
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Berechnen Sie den Klirrfaktor $K$ für die Eingangsamplitude  $\underline{ A_x = 1\ \rm V}$.
+
{Berechnen Sie den Klirrfaktor&nbsp; $K$&nbsp; für die Eingangsamplitude&nbsp; $\underline{ A_x = 1\ \rm V}$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$K \ = \ $  { 6.25 3% } $\%$
 
$K \ = \ $  { 6.25 3% } $\%$
  
  
{Welcher Klirrfaktor ergibt sich mit der Eingangsamplitude $\underline{ A_x = 2\ \rm V}$?
+
{Welcher Klirrfaktor ergibt sich mit der Eingangsamplitude&nbsp; $\underline{ A_x = 2\ \rm V}$?
 
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$K \ = \ $ { 12.5 3% } $\%$
 
$K \ = \ $ { 12.5 3% } $\%$
  
  
{Welche Aussagen sind für die Signale $x_2(t)$  und $y_2(t)$ zutreffend?
+
{Welche Aussagen sind für die Signale &nbsp;$x_2(t)$&nbsp; und &nbsp;$y_2(t)$&nbsp; zutreffend?
 
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+ Die untere Halbwelle verläuft spitzförmiger als die obere.
 
+ Die untere Halbwelle verläuft spitzförmiger als die obere.
+ Der Maximal&ndash; und Minimalwert von $y_2(t)$ sind unsymmetrisch zu Null.
+
+ Der Maximal&ndash; und Minimalwert von &nbsp;$y_2(t)$&nbsp; sind unsymmetrisch zu Null.
 
- Bei anderer Frequenz würde sich ein anderer Klirrfaktor ergeben.
 
- Bei anderer Frequenz würde sich ein anderer Klirrfaktor ergeben.
  
  
{Wie groß ist die Leistung $P_x$ des Eingangssignals $x_2(t)$ in ${\rm V}^2$, also umgerechnet auf den Bezugswiderstand $R = 1 \ \rm \Omega$?
+
{Wie groß ist die Leistung &nbsp;$P_x$&nbsp; des Eingangssignals &nbsp;$x_2(t)$&nbsp; in &nbsp;${\rm V}^2$,&nbsp; also umgerechnet auf den Bezugswiderstand &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$?
 
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$P_x \ = \ $  { 2 1% } $\ {\rm V}^2$
 
$P_x \ = \ $  { 2 1% } $\ {\rm V}^2$
  
  
{Wie groß ist die &bdquo;Leistung&rdquo; $P_{\rm V}$ des Differenzsignals $\varepsilon_2(t)$? ''Hinweis:'' $P_{\rm V}$ wird in diesem Tutorial auch als &bdquo;Verzerrungsleistung&rdquo; bezeichnet.
+
{Wie groß ist die &bdquo;Leistung&rdquo; &nbsp;$P_{\rm V}$&nbsp; des Differenzsignals &nbsp;$\varepsilon_2(t)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;Verzerrungsleistung&rdquo;?
 
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$P_{\rm V} \ = \ $  { 0.031 3% } $\ {\rm V}^2$
 
$P_{\rm V} \ = \ $  { 0.031 3% } $\ {\rm V}^2$
  
  
{Wie groß ist das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis in ${\rm dB}$?
+
{Wie groß ist das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis in&nbsp; ${\rm dB}$?
 
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$10 \cdot {\rm lg} \ \rho_{\rm V} \ = \ $ { 18.1 3% } $\ {\rm dB}$
 
$10 \cdot {\rm lg} \ \rho_{\rm V} \ = \ $ { 18.1 3% } $\ {\rm dB}$
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{Welche der folgenden Aussagen treffen bei cosinusförmigem Eingangssignal zu?
 
{Welche der folgenden Aussagen treffen bei cosinusförmigem Eingangssignal zu?
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
+ Der Klirrfaktor kann allein aus den Koeffizienten $A_1$, $A_2$, $A_3$, ... der Ausgangsgröße berechnet werden.
+
+ Der Klirrfaktor kann allein aus den Koeffizienten &nbsp;$A_1$,&nbsp; $A_2$,&nbsp; $A_3$,&nbsp; ...&nbsp; der Ausgangsgröße berechnet werden.
- Das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis $10 \cdot {\rm lg} \ \rho_{\rm V}$ ist allein aus den Koeffizienten $A_1$, $A_2$, $A_3$, ...  der Ausgangsgröße berechenbar.
+
- Das Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \ \rho_{\rm V}$&nbsp; ist allein aus den Koeffizienten &nbsp;$A_1$,&nbsp; $A_2$,&nbsp; $A_3$,&nbsp; ...&nbsp; berechenbar.
+ Für den Sonderfall $A_1 = A_x$ &nbsp;&rArr;&nbsp; keine Veränderung der Grundwelle &nbsp; können $\rho_{\rm V}$ und $K$ direkt ineinander umgerechnet werden.
+
+ Für den Sonderfall&nbsp; $A_1 = A_x$ &nbsp; &rArr; &nbsp; keine Veränderung der Grundwelle]&nbsp; können &nbsp;$\rho_{\rm V}$&nbsp; und &nbsp;$K$&nbsp; direkt ineinander umgerechnet werden.
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Mit der Eingangsamplitude $A_x = 1 \ \rm V$ entsprechend der oberen Skizze liefert nur der Klirrfaktor zweiter Ordnung einen relevanten Beitrag. Deshalb gilt:
+
'''(1)'''&nbsp; Mit der Eingangsamplitude&nbsp; $A_x = 1 \ \rm V$&nbsp; entsprechend der oberen Skizze liefert nur der Klirrfaktor zweiter Ordnung einen relevanten Beitrag. Deshalb gilt:
$$K \approx K_2 = \frac{0.062 \,\,{\rm V}}{0.992 \,\,{\rm V}}
+
:$$K \approx K_2 = \frac{0.062 \,\,{\rm V}}{0.992 \,\,{\rm V}}
 
\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.25 \%}.$$
 
\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.25 \%}.$$
  
  
'''(2)'''&nbsp; Für die Eingangsamplitude $A_x = 2 \ \rm V$ (untere Skizze) lauten die verschiedenen Klirrfaktoren:
+
 
$$K_2 = \frac{0.234 \,\,{\rm V}}{1.938 \,\,{\rm V}} \approx 0.121,
+
'''(2)'''&nbsp; Für die Eingangsamplitude&nbsp; $A_x = 2 \ \rm V$&nbsp; (untere Skizze) lauten die verschiedenen Klirrfaktoren:
 +
:$$K_2 = \frac{0.234 \,\,{\rm V}}{1.938 \,\,{\rm V}} \approx 0.121,
 
\hspace{0.5cm} K_3 = \frac{0.058 \,\,{\rm V}}{1.938 \,\,{\rm V}}
 
\hspace{0.5cm} K_3 = \frac{0.058 \,\,{\rm V}}{1.938 \,\,{\rm V}}
 
\approx 0.030, \hspace{0.5cm}K_4 = \frac{0.018 \,\,{\rm V}}{1.938
 
\approx 0.030, \hspace{0.5cm}K_4 = \frac{0.018 \,\,{\rm V}}{1.938
 
\,\,{\rm V}} \approx 0.009.$$
 
\,\,{\rm V}} \approx 0.009.$$
  
Somit lautet der Gesamtklirrfaktor:
+
*Somit lautet der Gesamtklirrfaktor:
$$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2 + K_4^2 + ... }\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 12.5 \%}.$$
+
:$$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2 + K_4^2 +\text{ ...} }\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 12.5 \%}.$$
  
  
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind hier  <u>die beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
 
*Hier bewirken die nichtlinearen Verzerrungen, dass die untere Halbwelle spitzförmiger verläuft als die obere. Da zudem $y(t)$ gleichsignalfrei ist, gilt $y_{\rm max} = 1.75 \ \rm V$ und $y_{\rm min} = -2.25 \ \rm V$. Die Symmetrie bezüglich der Nulllinie ist somit nicht mehr gegeben.
 
*Bei einem nichtlinearen System ist der Klirrfaktor $K$ unabhängig von der Frequenz des cosinusförmigen Eingangssignals, aber stark abhängig von dessen Amplitude.
 
  
 +
'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
 +
*Hier bewirken die nichtlinearen Verzerrungen, dass die untere Halbwelle spitzförmiger verläuft als die obere.
 +
*Da zudem&nbsp; $y(t)$&nbsp; gleichsignalfrei ist, gilt&nbsp; $y_{\rm max} = 1.75 \ \rm V$&nbsp; und&nbsp; $y_{\rm min} = -2.25 \ \rm V$. Die Symmetrie bezüglich der Nulllinie ist somit nicht mehr gegeben.
 +
*Bei einem nichtlinearen System ist der Klirrfaktor&nbsp; $K$&nbsp; unabhängig von der Frequenz des cosinusförmigen Eingangssignals, aber stark abhängig von der Amplitude.
  
'''(4)'''&nbsp; Der Effektivwert eines Cosinussignals ist bekanntlich das $\sqrt{0.5}$&ndash;fache der Amplitude. Das Quadrat hiervon bezeichnet man als die Leistung:
 
$$P_x = \frac{A_x^2}{2} = \frac{(2 \,{\rm V})^2}{2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2\,{\rm V^2}}.$$
 
  
Eigentlich hängt die Leistung ja auch vom Bezugswiderstand $R$ ab und besitzt die Einheit &bdquo;Watt&rdquo;. Mit $R = 1 \ \rm \Omega$ ergibt sich $P_x =  2 \ \rm W$, also der geanau gleiche Zahlenwert wie bei dieser einfacheren Berechnung.
 
  
 +
'''(4)'''&nbsp; Der Effektivwert eines Cosinussignals ist bekanntlich das&nbsp; $\sqrt{0.5}$&ndash;fache der Amplitude. Das Quadrat hiervon ergibt die &bdquo;Leistung&rdquo;:
 +
:$$P_x = \frac{A_x^2}{2} = \frac{(2 \,{\rm V})^2}{2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2\,{\rm V^2}}.$$
  
'''(5)'''&nbsp; Bezeichnet man mit $A_1$ die Amplitude der Grundwelle von $y_2(t)$ und mit $A_2$, $A_3$ und $A_4$ die so genannten Oberwellen, so erhält man für die Verzerrungsleistung durch Berechnung im Frequenzbereich:
+
*Eigentlich hängt die Leistung ja auch vom Bezugswiderstand &nbsp;$R$&nbsp; ab und besitzt die Einheit &bdquo;Watt&rdquo;.
$$P_{\rm V} = \frac{1}{2} \cdot \left[ (A_1 - A_x)^2 + A_2^2+
+
*Mit &nbsp;$R = 1 \ \rm \Omega$&nbsp; ergibt sich &nbsp;$P_x =  2 \ \rm W$,&nbsp; also der genau gleiche Zahlenwert wie bei dieser einfacheren Berechnung.
A_3^2+ A_4^2\right] =  \frac{1}{2} \cdot \left[ (-2
+
 
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 +
 
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'''(5)'''&nbsp; Bezeichnet man  
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*mit&nbsp; $A_1$&nbsp; die Amplitude der Grundwelle von&nbsp; $y_2(t)$, und  
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*mit&nbsp; $A_2$,&nbsp; $A_3$&nbsp; und&nbsp; $A_4$&nbsp; die so genannten Oberwellen,  
 +
 
 +
 
 +
so erhält man für die Verzerrungsleistung durch Berechnung im Frequenzbereich:
 +
:$$P_{\rm V} = \frac{1}{2} \cdot \big[ (A_1 - A_x)^2 + A_2^2+
 +
A_3^2+ A_4^2\big] =  \frac{1}{2} \cdot \big[ (-2
 
\,{\rm V} \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}1.938 \,{\rm V} )^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.234 \,{\rm V})^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.058 \,{\rm V})^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.018
 
\,{\rm V} \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}1.938 \,{\rm V} )^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.234 \,{\rm V})^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.058 \,{\rm V})^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.018
\,{\rm V})^2 \right] \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.031 \,{\rm V}^2}.$$
+
\,{\rm V})^2 \big] \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.031 \,{\rm V}^2}.$$
 +
 
 +
Hierbei bezeichnet&nbsp; $A_x$&nbsp; die Amplitude des Eingangssignals. Die Vorzeichen der Oberwellen spielen bei dieser Berechnung keine Rolle.
  
Hierbei bezeichnet $A_x$ die Amplitude des Eingangssignals. Die Vorzeichen der Oberwellen spielen bei dieser Berechnung keine Rolle.
 
  
  
'''(6)'''&nbsp; Mit den Ergebnissen der Unterpunkte (4) und (5) erhält man:
+
'''(6)'''&nbsp; Mit den Ergebnissen der Unterpunkte&nbsp; '''(4)'''&nbsp; und&nbsp; '''(5)'''&nbsp; erhält man:
$$10 \cdot \lg \rho_{V} =  10 \cdot \lg \frac{P_x}{P_{\rm V}}=  10
+
:$$10 \cdot \lg \rho_{V} =  10 \cdot \lg \frac{P_x}{P_{\rm V}}=  10
 
\cdot \lg \frac{2.000\,{\rm V^2}}{0.031 \,{\rm V}^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 18.10
 
\cdot \lg \frac{2.000\,{\rm V^2}}{0.031 \,{\rm V}^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 18.10
 
\,{\rm dB}}.$$
 
\,{\rm dB}}.$$
  
'''(7)'''&nbsp; Die erste Aussage ist richtig, denn es gilt:
+
 
 +
'''(7)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
 +
*Die erste Aussage ist richtig, denn es gilt  
 
:$$K^2 = \frac{A_2^2 + A_3^2 + A_4^2 + ... }{A_1^2}.$$
 
:$$K^2 = \frac{A_2^2 + A_3^2 + A_4^2 + ... }{A_1^2}.$$
  
Dagegen gilt für den Kehrwert des Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnisses:
+
*Dagegen gilt für den Kehrwert des Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnisses:
$${1}/{\rho_{\rm V}} = \frac{(A_1 - A_x)^2+A_2^2 + A_3^2 + A_4^2
+
:$${1}/{\rho_{\rm V}} = \frac{(A_1 - A_x)^2+A_2^2 + A_3^2 + A_4^2
+ ... }{A_x^2}.$$
+
+ \text{...} }{A_x^2}.$$
  
Bei der Berechnung der Verzerrungsleistung $P_{\rm V}$  wird auch eine Verfälschung der Grundwellenamplitude (diese ist nun $A_1$ anstelle von $A_x$ berücksichtigt. Außerdem wird die Verzerrungsleistung nicht auf $A_1^2$,  sondern auf $A_x^2$ bezogen.  
+
*Bei der Berechnung der Verzerrungsleistung&nbsp; $P_{\rm V}$&nbsp; wird auch eine Verfälschung der Grundwellenamplitude&nbsp; $($diese ist nun&nbsp; $A_1$&nbsp; anstelle von&nbsp; $A_x)$&nbsp; berücksichtigt. Außerdem wird die Verzerrungsleistung nicht auf&nbsp; $A_1^2$,  sondern auf&nbsp; $A_x^2$&nbsp; bezogen.  
  
Allgemein gilt zwischen dem Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis und dem Klirrfaktor folgender Zusammenhang:
+
*Allgemein gilt zwischen dem Signal&ndash;zu&ndash;Verzerrungs&ndash;Leistungsverhältnis und dem Klirrfaktor folgender Zusammenhang:
$${\rho_{\rm V}} = \frac{A_x^2}{(A_1 - A_x)^2 + K^2 \cdot A_1^2}.$$
+
:$${\rho_{\rm V}} = \frac{A_x^2}{(A_1 - A_x)^2 + K^2 \cdot A_1^2}.$$
  
Mit $A_1 = A_x$ vereinfacht sich diese Gleichung wie folgt:
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*Mit&nbsp; $A_1 = A_x$&nbsp; vereinfacht sich diese Gleichung wie folgt:
 
:$${\rho_{\rm V}} = {1}/{ K^2 }.$$
 
:$${\rho_{\rm V}} = {1}/{ K^2 }.$$
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''Anmerkungen:''
 
''Anmerkungen:''
*Ein Klirrfaktor von $1\%$ entspricht in diesem Fall dem Ergebnis $10 \cdot \lg \rho_{V} = 40 \,{\rm dB}$.
+
*Ein Klirrfaktor von&nbsp; $1\%$&nbsp; entspricht in diesem Fall dem Ergebnis&nbsp; $10 \cdot \lg \rho_{\rm V} = 40 \,{\rm dB}$.
*Mit dem Klirrfaktor $K = 0.125$ aus Teilaufgabe /2) hätte man mit der Näherung $A_1 \approx A_x$ sofort $10 \cdot \lg \rho_{\rm V} = 18.06 \,{\rm dB}$ erhalten.  
+
*Mit dem Klirrfaktor&nbsp; $K = 0.125$&nbsp; aus Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; hätte man mit der Näherung&nbsp; $A_1 \approx A_x$&nbsp; sofort&nbsp; $10 \cdot \lg \rho_{\rm V} = 18.06 \,{\rm dB}$&nbsp; erhalten.  
*Der unter Punkt (7) errechnete tatsächliche Wert ($18.10 \ \rm dB$) weicht hiervon nicht all zu sehr ab.  
+
*Der unter Punkt&nbsp; '''(7)'''&nbsp; errechnete tatsächliche Wert&nbsp; $(18.10 \ \rm dB)$&nbsp; weicht hiervon nur unwesentlich ab.  
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Richtig sind also <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
 
 
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Aktuelle Version vom 1. Oktober 2021, 11:11 Uhr

Zur Bedeutung des Klirrfaktors

Zum Test eines Nachrichtenübertragungssystems wird an seinen Eingang ein Cosinussignal

$$x_1(t) = A_x \cdot \cos(\omega_0 t)$$

mit der Amplitude  $A_x = 1 \ \rm V$  angelegt. Am Systemausgang tritt dann das folgende Signal auf:

$$y_1(t) = {0.992 \,\rm V} \cdot \cos(\omega_0 t) - {0.062 \,\rm V} \cdot \cos(2\omega_0 t)+ \hspace{0.05cm}\text{...}$$

In der oberen Grafik sind die Signale  $x_1(t)$  und  $y_1(t)$  dargestellt. Oberwellen mit Amplituden kleiner als  $10 \ \rm mV$  sind hierbei nicht berücksichtigt.


Das untere Bild zeigt das Eingangssignal  $x_2(t)$  mit der Ampiltude  $A_x = 2 \ \rm V$  sowie das dazugehörige Ausgangssignal, wiederum ohne Oberwellen kleiner als  $10 \ \rm mV$:

$$y_2(t) \hspace{-0.05cm}=\hspace{-0.05cm}{1.938 \,\rm V} \cdot \cos(\omega_0 t)\hspace{-0.05cm} -\hspace{-0.05cm} {0.234 \,\rm V} \cdot \cos(2\omega_0 t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} {0.058 \,\rm V} \cdot \cos(3\omega_0 t)\hspace{-0.05cm} -\hspace{-0.05cm}{0.018 \,\rm V} \cdot \cos(4\omega_0 t) \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} \hspace{0.05cm}\text{...}$$

Es ist offensichtlich, dass die Indizes „1” bzw. „2” jeweils die normierte Amplitude des Eingangssignals kennzeichnen.

Das System soll anhand des im Abschnitt  Quantitatives Maß für die Signalverzerrungen  definierten Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnisses

$$\rho_{\rm V} = { P_{x}}/{P_{\rm V}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot \lg \hspace{0.1cm}\rho_{\rm V} = 10 \cdot \lg \hspace{0.1cm}{ P_{x}}/{P_{\rm V}}\hspace{0.3cm} \left( {\rm in \hspace{0.15cm} dB} \right)$$

sowie des Klirrfaktors  $K$  analysiert werden:

  • $P_x$  bezeichnet die Leistung des Eingangssignals.
  • Die Verzerrungsleistung  $P_{\rm V}$  gibt jeweils die Leistung  (den quadratischen Mittelwert)  des Differenzsignals  $\varepsilon(t) = y(t) - x(t)$  an.


Zur Bestimmung der Leistungen  $P_{x}$  und  $P_{\rm V}$  muss jeweils über die quadrierten Signale gemittelt werden.  Einfacher ist in dieser Aufgabe jedoch die Leistungsberechnung im Frequenzbereich.





Hinweise:

  • Alle hier abgefragten Leistungen beziehen sich auf den Widerstand  $R = 1 \ \rm \Omega$  und haben somit die Einheit  ${\rm V}^2$.


Fragebogen

1

Berechnen Sie den Klirrfaktor  $K$  für die Eingangsamplitude  $\underline{ A_x = 1\ \rm V}$.

$K \ = \ $

$\%$

2

Welcher Klirrfaktor ergibt sich mit der Eingangsamplitude  $\underline{ A_x = 2\ \rm V}$?

$K \ = \ $

$\%$

3

Welche Aussagen sind für die Signale  $x_2(t)$  und  $y_2(t)$  zutreffend?

Die untere Halbwelle verläuft spitzförmiger als die obere.
Der Maximal– und Minimalwert von  $y_2(t)$  sind unsymmetrisch zu Null.
Bei anderer Frequenz würde sich ein anderer Klirrfaktor ergeben.

4

Wie groß ist die Leistung  $P_x$  des Eingangssignals  $x_2(t)$  in  ${\rm V}^2$,  also umgerechnet auf den Bezugswiderstand  $R = 1 \ \rm \Omega$?

$P_x \ = \ $

$\ {\rm V}^2$

5

Wie groß ist die „Leistung”  $P_{\rm V}$  des Differenzsignals  $\varepsilon_2(t)$   ⇒   „Verzerrungsleistung”?

$P_{\rm V} \ = \ $

$\ {\rm V}^2$

6

Wie groß ist das Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis in  ${\rm dB}$?

$10 \cdot {\rm lg} \ \rho_{\rm V} \ = \ $

$\ {\rm dB}$

7

Welche der folgenden Aussagen treffen bei cosinusförmigem Eingangssignal zu?

Der Klirrfaktor kann allein aus den Koeffizienten  $A_1$,  $A_2$,  $A_3$,  ...  der Ausgangsgröße berechnet werden.
Das Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis  $10 \cdot {\rm lg} \ \rho_{\rm V}$  ist allein aus den Koeffizienten  $A_1$,  $A_2$,  $A_3$,  ...  berechenbar.
Für den Sonderfall  $A_1 = A_x$   ⇒   keine Veränderung der Grundwelle]  können  $\rho_{\rm V}$  und  $K$  direkt ineinander umgerechnet werden.


Musterlösung

(1)  Mit der Eingangsamplitude  $A_x = 1 \ \rm V$  entsprechend der oberen Skizze liefert nur der Klirrfaktor zweiter Ordnung einen relevanten Beitrag. Deshalb gilt:

$$K \approx K_2 = \frac{0.062 \,\,{\rm V}}{0.992 \,\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.25 \%}.$$


(2)  Für die Eingangsamplitude  $A_x = 2 \ \rm V$  (untere Skizze) lauten die verschiedenen Klirrfaktoren:

$$K_2 = \frac{0.234 \,\,{\rm V}}{1.938 \,\,{\rm V}} \approx 0.121, \hspace{0.5cm} K_3 = \frac{0.058 \,\,{\rm V}}{1.938 \,\,{\rm V}} \approx 0.030, \hspace{0.5cm}K_4 = \frac{0.018 \,\,{\rm V}}{1.938 \,\,{\rm V}} \approx 0.009.$$
  • Somit lautet der Gesamtklirrfaktor:
$$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2 + K_4^2 +\text{ ...} }\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 12.5 \%}.$$


(3)  Richtig sind die beiden ersten Lösungsvorschläge:

  • Hier bewirken die nichtlinearen Verzerrungen, dass die untere Halbwelle spitzförmiger verläuft als die obere.
  • Da zudem  $y(t)$  gleichsignalfrei ist, gilt  $y_{\rm max} = 1.75 \ \rm V$  und  $y_{\rm min} = -2.25 \ \rm V$. Die Symmetrie bezüglich der Nulllinie ist somit nicht mehr gegeben.
  • Bei einem nichtlinearen System ist der Klirrfaktor  $K$  unabhängig von der Frequenz des cosinusförmigen Eingangssignals, aber stark abhängig von der Amplitude.


(4)  Der Effektivwert eines Cosinussignals ist bekanntlich das  $\sqrt{0.5}$–fache der Amplitude. Das Quadrat hiervon ergibt die „Leistung”:

$$P_x = \frac{A_x^2}{2} = \frac{(2 \,{\rm V})^2}{2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2\,{\rm V^2}}.$$
  • Eigentlich hängt die Leistung ja auch vom Bezugswiderstand  $R$  ab und besitzt die Einheit „Watt”.
  • Mit  $R = 1 \ \rm \Omega$  ergibt sich  $P_x = 2 \ \rm W$,  also der genau gleiche Zahlenwert wie bei dieser einfacheren Berechnung.


(5)  Bezeichnet man

  • mit  $A_1$  die Amplitude der Grundwelle von  $y_2(t)$, und
  • mit  $A_2$,  $A_3$  und  $A_4$  die so genannten Oberwellen,


so erhält man für die Verzerrungsleistung durch Berechnung im Frequenzbereich:

$$P_{\rm V} = \frac{1}{2} \cdot \big[ (A_1 - A_x)^2 + A_2^2+ A_3^2+ A_4^2\big] = \frac{1}{2} \cdot \big[ (-2 \,{\rm V} \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm}1.938 \,{\rm V} )^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.234 \,{\rm V})^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.058 \,{\rm V})^2 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} (0.018 \,{\rm V})^2 \big] \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.031 \,{\rm V}^2}.$$

Hierbei bezeichnet  $A_x$  die Amplitude des Eingangssignals. Die Vorzeichen der Oberwellen spielen bei dieser Berechnung keine Rolle.


(6)  Mit den Ergebnissen der Unterpunkte  (4)  und  (5)  erhält man:

$$10 \cdot \lg \rho_{V} = 10 \cdot \lg \frac{P_x}{P_{\rm V}}= 10 \cdot \lg \frac{2.000\,{\rm V^2}}{0.031 \,{\rm V}^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 18.10 \,{\rm dB}}.$$


(7)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 1 und 3:

  • Die erste Aussage ist richtig, denn es gilt
$$K^2 = \frac{A_2^2 + A_3^2 + A_4^2 + ... }{A_1^2}.$$
  • Dagegen gilt für den Kehrwert des Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnisses:
$${1}/{\rho_{\rm V}} = \frac{(A_1 - A_x)^2+A_2^2 + A_3^2 + A_4^2 + \text{...} }{A_x^2}.$$
  • Bei der Berechnung der Verzerrungsleistung  $P_{\rm V}$  wird auch eine Verfälschung der Grundwellenamplitude  $($diese ist nun  $A_1$  anstelle von  $A_x)$  berücksichtigt. Außerdem wird die Verzerrungsleistung nicht auf  $A_1^2$, sondern auf  $A_x^2$  bezogen.
  • Allgemein gilt zwischen dem Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis und dem Klirrfaktor folgender Zusammenhang:
$${\rho_{\rm V}} = \frac{A_x^2}{(A_1 - A_x)^2 + K^2 \cdot A_1^2}.$$
  • Mit  $A_1 = A_x$  vereinfacht sich diese Gleichung wie folgt:
$${\rho_{\rm V}} = {1}/{ K^2 }.$$


Anmerkungen:

  • Ein Klirrfaktor von  $1\%$  entspricht in diesem Fall dem Ergebnis  $10 \cdot \lg \rho_{\rm V} = 40 \,{\rm dB}$.
  • Mit dem Klirrfaktor  $K = 0.125$  aus Teilaufgabe  (2)  hätte man mit der Näherung  $A_1 \approx A_x$  sofort  $10 \cdot \lg \rho_{\rm V} = 18.06 \,{\rm dB}$  erhalten.
  • Der unter Punkt  (7)  errechnete tatsächliche Wert  $(18.10 \ \rm dB)$  weicht hiervon nur unwesentlich ab.