Aufgaben:Aufgabe 2.4: Gleichgerichteter Cosinus: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein Cosinussignal $x(t)$ mit der Amplitude 1V und der Frequenz $f_0$ = 10 kHz wird an den Eingang eines Doppelweggleichrichters gelegt. An dessen Ausgang ergibt sich das Signal $y(t)$, das in der Grafik ebenfalls dargestellt ist.
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Ein Cosinussignal  $x(t)$  mit der Amplitude  $1\,\rm{V}$  und der Frequenz  $f_0= 10\,\rm{kHz}$  wird an den Eingang eines Doppelweggleichrichters gelegt.  An dessen Ausgang ergibt sich das Signal  $y(t)$, das in der Grafik unten dargestellt ist.
Bei den Teilaufgaben 6) und 7) wird auch das Fehlersignal $\epsilon_3(t) = y_3(t) – y(t)$ verwendet. Dieses beschreibt die Differenz zwischen der auf lediglich $N = 3$ Koeffizienten begrenzten Fourierreihe  ⇒  $y_3(t)$ und dem tatsächlichen Ausgangssignal $y(t)$.
 
  
Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 2.4. Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie im folgenden Lernvideo:
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Bei den Teilaufgaben  '''(6)'''  und  '''(7)'''  wird auch das Fehlersignal  $\varepsilon_3(t) = y_3(t) - y(t)$  verwendet.  Dieses beschreibt die Differenz zwischen der auf lediglich  $N = 3$  Koeffizienten begrenzten Fourierreihe    ⇒   $y_3(t)$    und dem tatsächlichen Ausgangssignal  $y(t)$.
Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten (Dauer 3:50)
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Zur Lösung der Aufgabe können Sie das folgende bestimmte Integral benutzen ($n$ sei ganzzahlig):
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]].
 
   
 
   
$$\int ^{\pi /2}_{-\pi /2}\cos(u)\cdot\cos(2nu)\,{\rm d}u  =  (-1)^{n+1}\cdot\frac{2}{4n^2-1}.$$
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*Zur Lösung der Aufgabe können Sie das folgende bestimmte Integral benutzen  $(n$ sei ganzzahlig$)$:
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:$$\int ^{\pi /2}_{-\pi /2}\cos(u)\cdot\cos(2nu)\,{\rm d}u  =  (-1)^{n+1}\cdot\frac{2}{4n^2-1}.$$
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*Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie im Lernvideo  [[Zur_Berechnung_der_Fourierkoeffizienten_(Lernvideo)|Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten]].
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Welche der nachfolgenden Aussagen sind für das Signal $x(t)$ zutreffend?
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{Welche der folgenden Aussagen sind für das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; zutreffend?
 
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+ Die Periodendauer beträgt 100 Mikrosekunden.
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+ Die Periodendauer ist&nbsp;  $T_0 = 100 \,&micro;{\rm s}$.
+ Der Gleichsignalkoeffizient $A_0$ ist 0.
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+ Der Gleichsignalkoeffizient ist&nbsp; $A_0 = 0$.
+ Von allen Cosinuskoeffizienten $A_n$ ist nur einer ungleich 0.
+
+ Von allen Cosinuskoeffizienten&nbsp; $A_n$&nbsp; ist genau einer ungleich Null.
- Von allen Sinuskoeffizienten $B_n$ ist nur einer ungleich 0.
+
- Von allen Sinuskoeffizienten&nbsp; $B_n$&nbsp; ist genau einer ungleich Null.
+ Die Fourierreihe weicht nicht vom tatsächlichen Signal $x(t)$ ab.
+
+ Die Fourierreihe&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; weicht nicht vom tatsächlichen Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; ab.
  
{Wie groß ist die Periodendauer des Signals $y(t)$?
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{Wie groß ist die Periodendauer des Signals&nbsp; $y(t)$?
 
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$T_0$ = { 0.05 3% } ms
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$T_0\ = \ $ { 50 3% } &nbsp; ${\rm &micro;s}$
  
{Berechnen Sie den Gleichsignalanteil des Signals $y(t)$.
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{Berechnen Sie den Gleichsignalanteil des Signals&nbsp; $y(t)$.
 
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$A_0$ = { 0.637 } V
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$A_0\ = \ $ { 0.637 3% } &nbsp; ${\rm V}$
  
{Wie lauten die Sinuskoeffizienten $B_n$? Begründen Sie Ihr Ergebnis. Geben Sie zur Kontrolle den Koeffizienten $B_2$ ein.
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{Wie lauten die Sinuskoeffizienten&nbsp; $B_n$?&nbsp; Begründen Sie Ihr Ergebnis.&nbsp; Geben Sie zur Kontrolle den Koeffizienten&nbsp; $B_2$&nbsp; ein.
 
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$B_2$ = { 0 } V
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$B_2\ = \ $ { 0. } &nbsp; ${\rm V}$
  
{Berechnen Sie nun die Cosinuskoeffizienten $A_n$. Geben Sie zur Kontrolle den Koeffizienten $A_2$ ein.
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{Berechnen Sie nun die Cosinuskoeffizienten&nbsp; $A_n$.&nbsp; Geben Sie zur Kontrolle den Koeffizienten&nbsp; $A_2$&nbsp; ein.
 
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$A_2$ = { -0.085 3% } V
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$A_2\ = \ $ { -0.087--0.083 } &nbsp; ${\rm V}$
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{Geben Sie die Fourierreihe $y_3(t)$ analytisch an (Begrenzung auf je $N = 3$ Sinus– bzw. Cosinuskoeffizienten). Wie groß ist der Fehler zwischen dieser endlichen Fourierreihe und dem tatsächlichen Signalwert bei $t = 0$?
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{Geben Sie die Fourierreihe&nbsp; $y_3(t)$&nbsp; analytisch an (Begrenzung auf je&nbsp; $N = 3$&nbsp; Sinus– bzw. Cosinuskoeffizienten).  
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<br>Wie groß ist der Fehler zwischen dieser endlichen Fourierreihe und dem tatsächlichen Signalwert bei&nbsp; $t = 0$?
 
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$\epsilon_3(t=0)$ = { 0.0125 3% } V
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$\varepsilon_3(t= 0)\ = \ $ { 0.0125 3% } ${\rm V}$
  
{Berechnen Sie nun den Fehler ε3(t = 25 µs). Interpretieren Sie diesen Wert im Vergleich zum Ergebnis aus 6).
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{Berechnen Sie nun den Fehler&nbsp; $\varepsilon_3(t= 25 \,&micro;{\rm s})$.&nbsp; Interpretieren Sie diesen Wert im Vergleich zum Ergebnis aus&nbsp; '''(6)'''.
 
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$\epsilon_3(t=25\text{\mu s})$ = { 0.091 3% } V
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$\varepsilon_3(t= 25 \,&micro;{\rm s})\ = \ $ { 0.091 3% } ${\rm V}$
  
 
</quiz>
 
</quiz>
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.''' Aus der Signalfrequenz $f_0$ = 10 kHz folgt $T_0 = 1/f_0 = 100\mu\text{s}$. Das Cosinussignal ist gleichsignalfrei ($A_0 = 0$) und wird durch einen einzigen Cosinuskoeffizienten – nämlich $A_1$ – vollständig beschrieben. Alle Sinuskoeffizienten $B_n$ sind identisch 0, da $x(t)$ eine gerade Funktion ist. Die Fourierreihendarstellung bildet $x(t)$ fehlerfrei nach.  
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind hier alle Lösungsvorschläge außer dem Vierten:
Richtig sind somit alle Lösungsvorschläge außer dem Vierten.
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*Aus der Signalfrequenz&nbsp; $f_0= 10\,\rm{kHz}$&nbsp; folgt&nbsp; $T_0 = 1/f_0 = 100\,&micro;\text{s}$.  
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*Das Cosinussignal ist gleichsignalfrei&nbsp; $(A_0 = 0)$&nbsp; und wird durch einen einzigen Cosinuskoeffizienten – nämlich&nbsp; $A_1$&nbsp; – vollständig beschrieben.  
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*Alle Sinuskoeffizienten sind&nbsp; $B_n \equiv 0$, da&nbsp; $x(t)$&nbsp; eine gerade Funktion ist.  
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*Die Fourierreihendarstellung&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; bildet&nbsp; $x(t)$&nbsp; fehlerfrei nach.  
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'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der Doppelweggleichrichtung ergibt sich für die Periodendauer nunmehr der halbe Wert:&nbsp; $T_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 50\,&micro;\text{s}}$.
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*Bei allen nachfolgenden Punkten bezieht sich die Angabe&nbsp; $T_0$&nbsp; auf diesen Wert, also auf die Periodendauer des Signals&nbsp; $y(t)$.
  
'''2.''' Aufgrund der Doppelweggleichrichtung ergibt sich für die Periodendauer nunmehr der halbe Wert: $T_0 = 50\mu\text{s} = 0.05\text{ms}$. Bei allen nachfolgenden Punkten bezieht sich $T_0$ auf diesen Wert, also auf die Periodendauer des Signals $y(t)$.
 
  
'''3.''' Im Bereich von $–T_0/2 bis T_0/2 (–25\mu\text{s} ... 25\mu\text{s})$ ist $y(t) = x(t)$. Mit $f_x$ = 10 kHz = $1/(2T_0)$ gilt deshalb für diesen Abschnitt:
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'''(3)'''&nbsp; Im Bereich von&nbsp; $–T_0/2$&nbsp; bis&nbsp; $+T_0/2 \ (–25\,&micro;\text{s} \ \text{...}  +25\,&micro;\text{s})$&nbsp; ist&nbsp; $y(t) = x(t)$.&nbsp; Mit&nbsp; $f_x= 10\,\rm{kHz} = 1/(2T_0)$&nbsp; gilt deshalb für diesen Abschnitt:
 
   
 
   
$$y(t)={\rm 1V}\cdot\cos(2{\pi} f_0\hspace{0.05cm}t)={\rm 1V}\cdot\cos(\pi\frac{t}{T_0}).$$
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:$$y(t)={\rm 1V}\cdot\cos(2{\pi} f_0\hspace{0.05cm}t)={\rm 1V}\cdot\cos(\pi \cdot {t}/{T_0}).$$
  
Daraus ergibt sich für den Gleichsignalanteil:
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*Daraus ergibt sich für den Gleichsignalanteil:
 
   
 
   
$$A_0=\frac{1}{T_0}\int^{T_0/2}_{-T_0/2}y(t)\,{\rm d} t=\frac{1}{T_0}\int^{T_0/2}_{-T_0/2}{\rm 1V}\cdot\cos(\pi\frac{t}{T_0})\,{\rm d}t.$$
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:$$A_0=\frac{1}{T_0}\int^{T_0/2}_{-T_0/2}y(t)\,{\rm d} t=\frac{1}{T_0}\int^{T_0/2}_{-T_0/2}{\rm 1V}\cdot\cos(\pi\cdot {t}/{T_0})\,{\rm d}t.$$
  
Mit der Substitution $u = \pi \cdot t/T_0$ erhält man
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*Mit der Substitution&nbsp; $u = \pi \cdot t/T_0$&nbsp; erhält man schließlich:
 
   
 
   
$$A_0=\left. \frac{ {\rm 1V}}{\pi}\int_{-\pi /2}^{\pi/2}\cos(u)\,{\rm d}u=\frac{ {\rm 1V}}{\pi}\sin(u)\; \right| _{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac{ {\rm 1V}\cdot 2}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.637\;{\rm V}}.$$
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:$$A_0=\left. \frac{ {\rm 1V}}{\pi}\int_{-\pi /2}^{\pi/2}\cos(u)\,{\rm d}u=\frac{ {\rm 1V}}{\pi}\sin(u)\; \right| _{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac{ {\rm 1V}\cdot 2}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.637\;{\rm V}}.$$
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'''(4)'''&nbsp; Da&nbsp; $y(–t) = y(t)$&nbsp; gilt, sind alle Sinuskoeffizienten&nbsp; $B_n = 0$.&nbsp; Damit ist auch&nbsp; $B_2 \hspace{0.1cm}\underline{= 0}$.
  
'''4.''' Da $y(–t) = y(t)$ gilt, sind alle Sinuskoeffizienten $B_n = 0$. Insbesondere ist $B_2 = 0$.
 
  
'''5.''' Für die Koeffizienten $A_n$ gilt mit der Substitution $u = \pi \cdot t/T_0$ entsprechend dem angegebenen Integral:
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'''(5)'''&nbsp;  Für die Koeffizienten&nbsp; $A_n$&nbsp; gilt mit der Substitution&nbsp; $u = \pi \cdot t/T_0$&nbsp; entsprechend dem angegebenen Integral:
 
   
 
   
$$A_n  = \frac{2{\rm V}}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\cos(\pi\frac{t}{T_0})\cdot \cos(n\cdot 2\pi\frac{t}{T_0})\,{\rm d}t  = \frac{2{\rm V}}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(u)\cdot \cos(2n u)\,{\rm d}u \\
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:$$A_n  = \frac{2{\rm V}}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\cos(\pi\frac{t}{T_0})\cdot \cos(n\cdot 2\pi\frac{t}{T_0})\,{\rm d}t  = \frac{2{\rm V}}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(u)\cdot \cos(2n u)\,{\rm d}u \quad
 
\Rightarrow  \quad A_n  = \left( { - 1} \right)^{n + 1} \frac{{4\;{\rm{V}}}}{{{\rm{\pi }}\left( {4n^2  - 1} \right)}}.$$
 
\Rightarrow  \quad A_n  = \left( { - 1} \right)^{n + 1} \frac{{4\;{\rm{V}}}}{{{\rm{\pi }}\left( {4n^2  - 1} \right)}}.$$
  
Der Koeffizient $A_2$ ist damit gleich $–4 \text{V}/(15\pi) \approx –0.085 \text{V}$.
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Der Koeffizient&nbsp; $A_2$&nbsp; ist damit gleich&nbsp; $-4 \,\text{V}/(15\pi) \hspace{0.1cm}\underline{\approx -\hspace{0.05cm}0.085 \, \text{V}}$.
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'''6.''' Für die endliche Fourierreihe mit $N = 3$ gilt allgemein:
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'''(6)'''&nbsp; Für die endliche Fourierreihe mit&nbsp; $N = 3$&nbsp; gilt allgemein:
 
   
 
   
$$y_3(t)=\frac{2{\rm V}}{\pi} \cdot \left [ 1+{2}/{3} \cdot \cos(\omega_0t)-{2}/{15}\cdot \cos(2\omega_0t)+{2}/{35}\cdot \cos(3\omega_0t) \right ].$$
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:$$y_3(t)=\frac{2{\rm V}}{\pi} \cdot \left [ 1+{2}/{3} \cdot \cos(\omega_0t)-{2}/{15}\cdot \cos(2\omega_0t)+{2}/{35}\cdot \cos(3\omega_0t) \right ].$$
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Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; ist&nbsp; $y_3(0) \approx 1.0125 \ \rm V$; damit ergibt sich der Fehler zu&nbsp; $\varepsilon_3(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.0125 \,\text{V}}$ .
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Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist $y_3(0) \approx$ 1.0125 V; damit ergibt sich der Fehler zu $\epsilon_3(t = 0) =$ 0.0125 V.
 
  
'''7.''' Die Zeit $t = 25\text{\mu s}$ entspricht der halben Periodendauer. Hierfür gilt wegen $\omega_0 \cdot T_0 = 2\pi$:
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'''(7)'''&nbsp; Die Zeit&nbsp; $t = 25\,&micro;\text{s}$&nbsp;  entspricht der halben Periodendauer des Signals&nbsp; $y(t)$.&nbsp; Hierfür gilt wegen&nbsp; $\omega_0 \cdot T_0 = 2\pi$:
 
   
 
   
$$\begin{align*} y_3(T_0/2) & = \frac{2{\rm V}}{\pi} \left [1+\frac{2}{3} \cdot \cos({\pi}) -\frac{2}{15}\cdot \cos(2\pi)+\frac{2}{35}\cdot \cos(3\pi)\right ] \\ &  =  \frac{2{\rm V}}{\pi}\left [1-\frac{2}{3}-\frac{2}{15}-\frac{2}{35}\right ]   =  \frac{2{\rm V}}{7\pi}\approx 0.091{\rm V}\end{align*} . $$
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:$$y_3(T_0/2) = \frac{2{\rm V}}{\pi} \left [1+\frac{2}{3} \cdot \cos({\pi}) -\frac{2}{15}\cdot \cos(2\pi)+\frac{2}{35}\cdot \cos(3\pi)\right ]=  \frac{2{\rm V}}{\pi}\left [1-\frac{2}{3}-\frac{2}{15}-\frac{2}{35}\right ] =  \frac{2{\rm V}}{7\pi}\approx 0.091{\rm V}.$$
  
Da $y(T_0/2) = 0$ ist, ergibt sich für $\epsilon_3(T_0/2)$ ebenfalls 0.091 V. Dieser Fehler ist um mehr als den Faktor 7 größer als der Fehler bei $t = 0$, da das Signal $y(t)$ bei $t = T_0/2$ mehr hochfrequente Anteile besitzt (spitzförmiger Verlauf). Wird gefordert, dass der Fehler $\epsilon_3(T_0/2)$ kleiner als 0.01 sein soll, dann müssten mindestens 32 Fourierkoeffizienten berücksichtigt werden.
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*Da&nbsp; $y(T_0/2) = 0$&nbsp; ist, ergibt sich auch&nbsp; $\varepsilon_3(T_0/2) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.091\,{\rm V}}$.  
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*Dieser Fehler ist um mehr als den Faktor $7$ größer als der Fehler bei&nbsp; $t = 0$, da&nbsp; $y(t)$&nbsp; bei&nbsp; $t = T_0/2$&nbsp; mehr hochfrequente Anteile besitzt (spitzförmiger Verlauf).  
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*Wird gefordert, dass der Fehler&nbsp; $\varepsilon_3(T_0/2)$&nbsp; kleiner als&nbsp; $0.01$&nbsp; sein soll, dann müssten mindestens&nbsp; $32$&nbsp; Fourierkoeffizienten berücksichtigt werden.
  
 
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[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^Kapitelx^]]
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[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^2. Periodische Signale^]]

Aktuelle Version vom 15. April 2021, 13:00 Uhr

Gleichgerichteter Cosinus

Ein Cosinussignal  $x(t)$  mit der Amplitude  $1\,\rm{V}$  und der Frequenz  $f_0= 10\,\rm{kHz}$  wird an den Eingang eines Doppelweggleichrichters gelegt.  An dessen Ausgang ergibt sich das Signal  $y(t)$, das in der Grafik unten dargestellt ist.

Bei den Teilaufgaben  (6)  und  (7)  wird auch das Fehlersignal  $\varepsilon_3(t) = y_3(t) - y(t)$  verwendet.  Dieses beschreibt die Differenz zwischen der auf lediglich  $N = 3$  Koeffizienten begrenzten Fourierreihe   ⇒   $y_3(t)$   und dem tatsächlichen Ausgangssignal  $y(t)$.




Hinweise:

  • Zur Lösung der Aufgabe können Sie das folgende bestimmte Integral benutzen  $(n$ sei ganzzahlig$)$:
$$\int ^{\pi /2}_{-\pi /2}\cos(u)\cdot\cos(2nu)\,{\rm d}u = (-1)^{n+1}\cdot\frac{2}{4n^2-1}.$$


Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind für das Signal  $x(t)$  zutreffend?

Die Periodendauer ist  $T_0 = 100 \,µ{\rm s}$.
Der Gleichsignalkoeffizient ist  $A_0 = 0$.
Von allen Cosinuskoeffizienten  $A_n$  ist genau einer ungleich Null.
Von allen Sinuskoeffizienten  $B_n$  ist genau einer ungleich Null.
Die Fourierreihe  $x_3(t)$  weicht nicht vom tatsächlichen Signal  $x(t)$  ab.

2

Wie groß ist die Periodendauer des Signals  $y(t)$?

$T_0\ = \ $

  ${\rm µs}$

3

Berechnen Sie den Gleichsignalanteil des Signals  $y(t)$.

$A_0\ = \ $

  ${\rm V}$

4

Wie lauten die Sinuskoeffizienten  $B_n$?  Begründen Sie Ihr Ergebnis.  Geben Sie zur Kontrolle den Koeffizienten  $B_2$  ein.

$B_2\ = \ $

  ${\rm V}$

5

Berechnen Sie nun die Cosinuskoeffizienten  $A_n$.  Geben Sie zur Kontrolle den Koeffizienten  $A_2$  ein.

$A_2\ = \ $

  ${\rm V}$

6

Geben Sie die Fourierreihe  $y_3(t)$  analytisch an (Begrenzung auf je  $N = 3$  Sinus– bzw. Cosinuskoeffizienten).
Wie groß ist der Fehler zwischen dieser endlichen Fourierreihe und dem tatsächlichen Signalwert bei  $t = 0$?

$\varepsilon_3(t= 0)\ = \ $

${\rm V}$

7

Berechnen Sie nun den Fehler  $\varepsilon_3(t= 25 \,µ{\rm s})$.  Interpretieren Sie diesen Wert im Vergleich zum Ergebnis aus  (6).

$\varepsilon_3(t= 25 \,µ{\rm s})\ = \ $

${\rm V}$


Musterlösung

(1)  Richtig sind hier alle Lösungsvorschläge außer dem Vierten:

  • Aus der Signalfrequenz  $f_0= 10\,\rm{kHz}$  folgt  $T_0 = 1/f_0 = 100\,µ\text{s}$.
  • Das Cosinussignal ist gleichsignalfrei  $(A_0 = 0)$  und wird durch einen einzigen Cosinuskoeffizienten – nämlich  $A_1$  – vollständig beschrieben.
  • Alle Sinuskoeffizienten sind  $B_n \equiv 0$, da  $x(t)$  eine gerade Funktion ist.
  • Die Fourierreihendarstellung  $x_3(t)$  bildet  $x(t)$  fehlerfrei nach.


(2)  Aufgrund der Doppelweggleichrichtung ergibt sich für die Periodendauer nunmehr der halbe Wert:  $T_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 50\,µ\text{s}}$.

  • Bei allen nachfolgenden Punkten bezieht sich die Angabe  $T_0$  auf diesen Wert, also auf die Periodendauer des Signals  $y(t)$.


(3)  Im Bereich von  $–T_0/2$  bis  $+T_0/2 \ (–25\,µ\text{s} \ \text{...} +25\,µ\text{s})$  ist  $y(t) = x(t)$.  Mit  $f_x= 10\,\rm{kHz} = 1/(2T_0)$  gilt deshalb für diesen Abschnitt:

$$y(t)={\rm 1V}\cdot\cos(2{\pi} f_0\hspace{0.05cm}t)={\rm 1V}\cdot\cos(\pi \cdot {t}/{T_0}).$$
  • Daraus ergibt sich für den Gleichsignalanteil:
$$A_0=\frac{1}{T_0}\int^{T_0/2}_{-T_0/2}y(t)\,{\rm d} t=\frac{1}{T_0}\int^{T_0/2}_{-T_0/2}{\rm 1V}\cdot\cos(\pi\cdot {t}/{T_0})\,{\rm d}t.$$
  • Mit der Substitution  $u = \pi \cdot t/T_0$  erhält man schließlich:
$$A_0=\left. \frac{ {\rm 1V}}{\pi}\int_{-\pi /2}^{\pi/2}\cos(u)\,{\rm d}u=\frac{ {\rm 1V}}{\pi}\sin(u)\; \right| _{-\pi/2}^{\pi/2}=\frac{ {\rm 1V}\cdot 2}{\pi} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.637\;{\rm V}}.$$


(4)  Da  $y(–t) = y(t)$  gilt, sind alle Sinuskoeffizienten  $B_n = 0$.  Damit ist auch  $B_2 \hspace{0.1cm}\underline{= 0}$.


(5)  Für die Koeffizienten  $A_n$  gilt mit der Substitution  $u = \pi \cdot t/T_0$  entsprechend dem angegebenen Integral:

$$A_n = \frac{2{\rm V}}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}\cos(\pi\frac{t}{T_0})\cdot \cos(n\cdot 2\pi\frac{t}{T_0})\,{\rm d}t = \frac{2{\rm V}}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(u)\cdot \cos(2n u)\,{\rm d}u \quad \Rightarrow \quad A_n = \left( { - 1} \right)^{n + 1} \frac{{4\;{\rm{V}}}}{{{\rm{\pi }}\left( {4n^2 - 1} \right)}}.$$

Der Koeffizient  $A_2$  ist damit gleich  $-4 \,\text{V}/(15\pi) \hspace{0.1cm}\underline{\approx -\hspace{0.05cm}0.085 \, \text{V}}$.


(6)  Für die endliche Fourierreihe mit  $N = 3$  gilt allgemein:

$$y_3(t)=\frac{2{\rm V}}{\pi} \cdot \left [ 1+{2}/{3} \cdot \cos(\omega_0t)-{2}/{15}\cdot \cos(2\omega_0t)+{2}/{35}\cdot \cos(3\omega_0t) \right ].$$

Zum Zeitpunkt  $t = 0$  ist  $y_3(0) \approx 1.0125 \ \rm V$; damit ergibt sich der Fehler zu  $\varepsilon_3(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.0125 \,\text{V}}$ .


(7)  Die Zeit  $t = 25\,µ\text{s}$  entspricht der halben Periodendauer des Signals  $y(t)$.  Hierfür gilt wegen  $\omega_0 \cdot T_0 = 2\pi$:

$$y_3(T_0/2) = \frac{2{\rm V}}{\pi} \left [1+\frac{2}{3} \cdot \cos({\pi}) -\frac{2}{15}\cdot \cos(2\pi)+\frac{2}{35}\cdot \cos(3\pi)\right ]= \frac{2{\rm V}}{\pi}\left [1-\frac{2}{3}-\frac{2}{15}-\frac{2}{35}\right ] = \frac{2{\rm V}}{7\pi}\approx 0.091{\rm V}.$$
  • Da  $y(T_0/2) = 0$  ist, ergibt sich auch  $\varepsilon_3(T_0/2) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.091\,{\rm V}}$.
  • Dieser Fehler ist um mehr als den Faktor $7$ größer als der Fehler bei  $t = 0$, da  $y(t)$  bei  $t = T_0/2$  mehr hochfrequente Anteile besitzt (spitzförmiger Verlauf).
  • Wird gefordert, dass der Fehler  $\varepsilon_3(T_0/2)$  kleiner als  $0.01$  sein soll, dann müssten mindestens  $32$  Fourierkoeffizienten berücksichtigt werden.