Aufgabe 2.4: GF(2 hoch 2)–Darstellungsformen

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${\rm GF}(2^2)$ in drei verschiedenen Darstellungen

Nebenstehend sehen Sie für den Erweiterungskörper $\rm GF(2^2)$ die Additions– sowie die Multiplikationstabelle in drei verschiedenen Varianten:

  • die Polynomdarstellung,
  • die Koeffizientenvektordarstellung,
  • die Exponentendarstellung.


Hinweise:

  • Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Erweiterungskörper.
  • Alle notwendigen Informationen zu ${\rm GF}(2^2)$ finden Sie auf der Seite 1 dieses Kapitels.











Fragebogen

1

Welche Charakteristika erkennt man aus der Polynomdarstellung?

Die Elemente $\alpha$ und $1 + \alpha$ sind weder $0$ noch $1$.
Die Rechenoperationen erfolgen modulo $2$.
Die Rechenoperationen erfolgen modulo $4$.
Man erkennt „$\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$” aus der Additionstabelle.
Man erkennt „$\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$” aus der Multiplikationstabelle.

2

Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Koeffizientenvektor– und der Polynomdarstellung? Es gelte $k_0 ∈ \{0, \, 1\}$ und $k_1 ∈ \{0, \, 1\}$.

$(k_0 \ k_1)$ bezieht sich auf das Element $k_1 \cdot \alpha + k_0$.
$(k_1 \ k_0)$ bezieht sich auf das Element $k_1 \cdot \alpha + k_0$.
Zwischen beiden Darstellungen besteht keinerlei Zusammenhang.

3

Wie hängen Polynom– und Exponentialdarstellung zusammen?

Es sind keine Zusammenhänge erkennbar.
Die Elemente $0, \ 1$ und $\alpha$ sind in beiden Darstellungen gleich.
Das Element $1 + \alpha$ lautet in der Exponentialdarstellung $\alpha^2$.
Das Element $\alpha^2$ der Exponentialdarstellung steht für $\alpha \cdot (1 + \alpha)$.

4

Berechnen Sie die Ausdrücke $A$ und $B$ nach diesen drei Darstellungsformen. Welche Aussagen treffen zu?

Es gilt $A = z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 = z_0$,
Es gilt $B = (z_0 + z_1 + z_2) \cdot (z_0 + z_1 + z_3) = z_1$,
Es gilt $A = z_2 \cdot z_2 + z_2 \cdot z_3 + z_3 \cdot z_3 = z_2$,
Es gilt $B = (z_0 + z_1 + z_2) \cdot (z_0 + z_1 + z_3) = z_3$.


Musterlösung

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