Aufgabe 2.4: 2D-Übertragungsfunktion

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2D–Impulsantwort  $|h(\tau, \hspace{0.05cm}t)|$

Dargestellt ist die zweidimensionale Impulsantwort  $h(\tau, \hspace{0.1cm}t)$  eines Mobilfunksystems in Betragsdarstellung.

  • Es ist zu erkennen, dass die 2D–Impulsantwort nur für die Verzögerungszeiten  $\tau = 0$  und  $\tau = 1 \ \rm µ s$  Anteile besitzt.
  • Zu diesen Zeitpunkten gilt:
$$h(\tau = 0\,{\rm µ s},\hspace{0.1cm}t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{ \sqrt{2}} = {\rm const.}$$
$$h(\tau = 1\,{\rm µ s},\hspace{0.1cm}t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos(2\pi \cdot {t}/{ T_0})\hspace{0.05cm}.$$

Für alle anderen  $\tau$–Werte ist  $h(\tau, \hspace{0.1cm}t) \equiv 0$.

Gesucht ist die zweidimensionale Übertragungsfunktion  $H(f, \hspace{0.1cm} t)$  als die Fouriertransformierte von  $h(\tau,\hspace{0.1cm} t)$  hinsichtlich der Verzögerungszeit  $\tau$:

$$H(f,\hspace{0.1cm} t) \hspace{0.2cm} \stackrel {f,\hspace{0.1cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} h(\tau,\hspace{0.1cm}t) \hspace{0.05cm}.$$





Hinweise:



Fragebogen

1

Wie groß ist die Periodendauer  $T_0$  der Funktion  $h(\tau = 1 \ {\rm µ s},\hspace{0.1cm} t)$?  Beachten Sie, dass in der Grafik der  Betrag  $|h(\tau, \hspace{0.1cm}t)|$  dargestellt ist.

$T_0 \ = \ $

$\ \rm ms$

2

Zu welchen Zeiten  $t_1$  $($zwischen  $0$  und  $10 \ \rm ms)$  und  $t_2$  $($zwischen  $10 \ \rm ms$  und  $20 \ \rm ms)$  ist  $H(f, \hspace{0.1cm}t)$  bezüglich  $f$  konstant?

$t_1 \ = \ $

$\ \rm ms$
$t_2 \ = \ $

$\ \rm ms$

3

Berechnen Sie  $H_0(f) = H(f, \hspace{0.1cm}t = 0)$.  Welche Aussagen sind zutreffend?

Es gilt  $H_0(f) = H_0(f + i \cdot 1 \ {\rm MHz}), \ i = ±1, ±2, \ \text{...}$
Es gilt näherungsweise  $0.293 ≤ |H_0(f)| ≤ 1.707$.
$|H_0(f)|$  hat bei  $f = 0$  ein Maximum.

4

Berechnen Sie  $H_{10}(f) = H(f, \hspace{0.1cm}t = 10 \ \rm ms)$.  Welche Aussagen sind zutreffend?

Es gilt  $H_{10}(f) = H_{10}(f + i \cdot 1 \ {\rm MHz}),\ i = ±1, ±2, \ \text{...}$
Es gilt näherungsweise  $0.293 ≤ H_{10}(f) ≤ 1.707$.
$|H_{10}(f)|$  hat bei  $f = 0$  ein Maximum.


Musterlösung

(1)  Die Periodendauer kann man aus der gegebenen Grafik ablesen.  Berücksichtigt man die Betragsdarstellung, so ergibt sich  $T_0 \ \underline {= 20 \ \rm ms}$.


(2)  Zum Zeitpunkt  $t_1 \ \underline {= 5 \ \rm ms}$  ist  $h(\tau = 1 \ {\rm µ s}, t_1) = 0$.  Dementsprechend gilt

$$h(\tau = 1\,{\rm µ s},\hspace{0.1cm}t_1) = \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \delta(\tau)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f,\hspace{0.1cm}t_1) = \frac{1}{ \sqrt{2}} = {\rm const.}$$
  • Ebenso gilt für  $t_2 \ \underline {= 15 \ \rm ms}$:
$$h(\tau = 1\,{\rm µ s},\hspace{0.1cm}t_2) = \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \delta(\tau)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f,\hspace{0.1cm}t_2) = \frac{1}{ \sqrt{2}} = {\rm const.}$$


(3)  Zum Zeitpunkt  $t = 0$  lautet die Impulsantwort mit  $\tau_1 = 1 \ \rm µ s$:

$$h(\tau,\hspace{0.1cm}t = 0) = \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \delta(\tau)+ \delta(\tau - \tau_1)\hspace{0.05cm}.$$
  • Die Fouriertransformation führt zum Ergebnis:
$$H_0(f) = H(f,\hspace{0.1cm}t = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{ \sqrt{2}} + 1 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f \tau_1}=\frac{1}{ \sqrt{2}} + \cos( 2 \pi f \tau_1)- {\rm j}\cdot \sin( 2 \pi f \tau_1)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} |H_0(f)| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt { \left [ {1}/{ \sqrt{2}} + \cos( 2 \pi f \tau_1) \right ]^2 + \left [\sin( 2 \pi f \tau_1)\right ]^2}= \sqrt { 0.5 + 1 + {2}/{ \sqrt{2}} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_1)} = \sqrt { 1.5 + { \sqrt{2}} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_1)}\hspace{0.05cm}.$$

Daraus folgt:

  • $H_0(f)$  ist periodisch mit  $1/\tau_1 = 1 \ \rm MHz$.
  • Für den Maximalwert bzw. Minimalwert gilt:
$${\rm Max}\, \left [ \, |H_0(f)|\, \right ] \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt { 1.5 + { \sqrt{2}} } \approx 1.707 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm Min}\, \left [ \, |H_0(f)|\, \right ] \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt { 1.5 - { \sqrt{2}} } \approx 0.293 \hspace{0.05cm}. $$
  • Bei  $f = 0$  hat  $|H_0(f)|$  ein Maximum.


Richtig sind demzufolge alle drei Lösungsvorschläge.


(4)  Für den Zeitpunkt  $t = 10 \ \rm ms$  gelten folgende Gleichungen:

$$h(\tau,\hspace{0.1cm}t = 10\,{\rm ms}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \delta(\tau)- \delta(\tau - \tau_1)\hspace{0.05cm},$$
$$H_{10}(f) = H(f,\hspace{0.1cm}t = 10\,{\rm ms}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{ \sqrt{2}} - \cos( 2 \pi f \tau_1)+ {\rm j}\cdot \sin( 2 \pi f \tau_1)\hspace{0.05cm},$$
2D–Impulsantwort  $|h(\tau, \hspace{0.1cm}t)|$  und 2D–Übertragungsfunktion  $|H(f, \hspace{0.1cm}t)|$
$$ |H_{10}(f)| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt { 1.5 - { \sqrt{2}} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_1)}\hspace{0.05cm}.$$

Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

  • Die Frequenzperiode ändert sich gegenüber  $t = 0$  nicht.
  • Der Maximalwert ist weiterhin  $1.707$  und auch der Minimalwert  $0.293$  ändert sich nicht gegenüber der Teilaufgabe  (3).
  • Bei  $f = 0$  gibt es nun ein Minimum statt einem Maximum.


Die rechte Grafik zeigt den Betrag  $|H(f,\ t)|$  der 2D–Übertragungsfunktion.