Aufgaben:Aufgabe 2.3Z: Polynomdivision: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Multiplikation und insbesondere der Division von Polynomen im Galoisfeld $\rm GF(2)$. In der Abbildung ist jeweils die Vorgehensweise an einem einfachen und (hoffentlich) selbsterklärenden Beispiel angedeutet: | + | In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Multiplikation und insbesondere der Division von Polynomen im Galoisfeld $\rm GF(2)$. In der Abbildung ist jeweils die Vorgehensweise an einem einfachen und (hoffentlich) selbsterklärenden Beispiel angedeutet: |
| − | * Die Multiplikation der beiden Polynome $x^2 + 1$ und $x +1$ liefert das Ergebnis $a(x) = x^3 + x^2 + x + 1$. | + | * Die Multiplikation der beiden Polynome $x^2 + 1$ und $x +1$ liefert das Ergebnis $a(x) = x^3 + x^2 + x + 1$. |
| − | * Die Division des Polynoms $b(x) = x^3$ durch $p(x) = x + 1$ liefert den Quotienten $q(x) = x^2 + x$ und den Rest $r(x) = x$. | + | |
| + | * Die Division des Polynoms $b(x) = x^3$ durch $p(x) = x + 1$ liefert den Quotienten $q(x) = x^2 + x$ und den Rest $r(x) = x$. | ||
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:$$b(x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} p(x) \cdot q(x) + r(x)\hspace{0.05cm}= \big[(x+1) \cdot (x^2+x)\big] +x =\big[x^3+ x^2+x^2+ x\big] +x = x^3\hspace{0.05cm}.$$ | :$$b(x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} p(x) \cdot q(x) + r(x)\hspace{0.05cm}= \big[(x+1) \cdot (x^2+x)\big] +x =\big[x^3+ x^2+x^2+ x\big] +x = x^3\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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- $(x^5 + x^2 + x)/(x^2 + 1)$. | - $(x^5 + x^2 + x)/(x^2 + 1)$. | ||
| − | {Es sei $a(x) = x^6 + x^5 + 1$ und $p(x) = x^3 + x^2 + 1$. <br>Bestimmen Sie $q(x)$ und $r(x)$ entsprechend der Beschreibungsgleichung $a(x) = p(x) \cdot q(x) + r(x)$. | + | {Es sei $a(x) = x^6 + x^5 + 1$ und $p(x) = x^3 + x^2 + 1$. <br>Bestimmen Sie $q(x)$ und $r(x)$ entsprechend der Beschreibungsgleichung $a(x) = p(x) \cdot q(x) + r(x)$. |
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- $q(x) = x^3 + x^2 + 1, \hspace{0.2cm} r(x) = 0$, | - $q(x) = x^3 + x^2 + 1, \hspace{0.2cm} r(x) = 0$, | ||
Version vom 2. Oktober 2022, 14:48 Uhr
Multiplikation und Division von Polynomen in $\rm GF(2)$
In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit der Multiplikation und insbesondere der Division von Polynomen im Galoisfeld $\rm GF(2)$. In der Abbildung ist jeweils die Vorgehensweise an einem einfachen und (hoffentlich) selbsterklärenden Beispiel angedeutet:
- Die Multiplikation der beiden Polynome $x^2 + 1$ und $x +1$ liefert das Ergebnis $a(x) = x^3 + x^2 + x + 1$.
- Die Division des Polynoms $b(x) = x^3$ durch $p(x) = x + 1$ liefert den Quotienten $q(x) = x^2 + x$ und den Rest $r(x) = x$.
- Man kann das letztere Ergebnis wie folgt überprüfen:
- $$b(x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} p(x) \cdot q(x) + r(x)\hspace{0.05cm}= \big[(x+1) \cdot (x^2+x)\big] +x =\big[x^3+ x^2+x^2+ x\big] +x = x^3\hspace{0.05cm}.$$
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Erweiterungskörper".
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Modulo–2–Multiplikation der beiden Polynome führt zum Ergebnis
- $$a(x) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (x^3+ x+1) \cdot (x^2+1)= x^5+x^3+ x^2+ x^3+x+1 = x^5+ x^2+x+1\hspace{0.05cm}.$$
- Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 2.
- Der letzte Lösungsvorschlag kann schon alleine deshalb nicht simmen, da der Grad des Produktpolynoms ungleich $5$ wäre.
Beispiel 1 zur Polynomdivision
(2) Mit den Abkürzungen
- $$a(x) = x^5+ x^2+x+1\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}p(x) = x^3+ x+1\hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}q(x) = x^2+ 1$$
und dem Ergebnis aus der Teilaufgabe (1) erhält man $a(x) = p(x) \cdot q(x)$.
Das heißt: Die Divisionen $a(x)/p(x)$ und $a(x)/q(x)$ sind restfrei möglich ⇒ Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2.
Auch ohne Rechnung erkennt man, dass $a(x)/x^2$ einen Rest ergeben muss. Nach Rechnung ergibt sich explizit:
- $$(x^5 + x^2+x+1)/(x^2) = x^3 + 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm}{\rm Rest}\hspace{0.15cm} r(x) = x+1\hspace{0.05cm}.$$
Zum letzten Lösungsvorschlag. Wir verwenden zur Abkürzung $b(x) = x^5 + x^2 + x = a(x) + 1$. Damit ist der vorgegebene Quotient:
- $$b(x)/q(x) = a(x)/q(x) + 1/q(x) \hspace{0.05cm}.$$
Beispiel 2 zur Polynomdivision
- Der erste Quotient $a(x)/q(x)$ ergibt entsprechend der Teilaufgabe (2) genau $p(x)$ ohne Rest, der zweite Quotient $0$ mit Rest $1$.
- Somit ist hier der Rest des Quotienten $b(x)/q(x)$ gleich $r(x) = 1$, wie auch die Rechnung im Beispiel 1 zeigt.
(3) Die Polynomdivision ist im Beispiel 2 ausführlich erläutert. Richtig ist der Lösungsvorschlag 3.
