Aufgaben:Aufgabe 2.3Z: Kennlinienbetrieb asymmetrisch: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 7. März 2018, 17:55 Uhr

Einfluss nichtlinearer Verzerrungen

Am Eingang eines Systems $\rm S$ liegt das Cosinussignal

$$x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 t)$$

an, wobei für die Amplitude stets $A = 0.5$ gelten soll. Das System $\rm S$ besteht

aus der Addition eines Gleichanteils $C$,
einer Nichtlinearität mit der Kennlinie

$$g(x) = \sin(x) \hspace{0.05cm} \approx x \hspace{0.05cm} - \hspace{-0.1cm}{x^3}\hspace{-0.1cm}/{6} = g_3(x),$$

sowie einem idealen Hochpass, der alle Frequenzen bis auf ein Gleichsignal $(f = 0)$ unverfälscht passieren lässt.

Das Ausgangssignal des Gesamtsystems kann allgemein in folgender Form dargestellt werden:

$$y(t) = A_0 + A_1 \cdot \cos(\omega_0 t) + A_2 \cdot \cos(2\omega_0 t) + A_3 \cdot \cos(3\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}\text{...}$$

Die sinusförmige Kennlinie $g(x)$ soll in der gesamten Aufgabe entsprechend der obigen Gleichung durch die kubische Näherung $g_3(x)$ approximiert werden. Für $C = 0$ ergäbe sich somit die exakt gleiche Konstellation wie in Aufgabe 2.3, in deren Unterpunkt (2) der Klirrfaktor berechnet wurde:

$K = K_{g3} \approx 1.08 \%$ für $A = 0.5$,
$K = K_{g3} \approx 4.76 \%$ für $A = 1.0$.

Unter Berücksichtigung der Konstanten $A = C = 0.5$ gilt für das Eingangssignal der Nichtlinearität:

$$x_C(t) = C + A \cdot \cos(\omega_0 t) = {1}/{2} + {1}/{2}\cdot \cos(\omega_0 t).$$

Die Kennlinie wird also unsymmetrisch betrieben mit Werten zwischen $0$ und $1$. In obiger Grafik sind zusätzlich die Signale $x_{\rm C}(t)$ und $y_{\rm C}(t)$ direkt vor und nach der Kennlinie $g(x)$ eingezeichnet.

Hinweise:

Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Nichtlineare Verzerrungen.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Als bekannt vorausgesetzt werden die folgenden trigonometrischen Beziehungen:

$$\cos^2(\alpha) = {1}/{2} + {1}/{2} \cdot \cos(2\alpha)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} \cos^3(\alpha) = {3}/{4} \cdot \cos(\alpha) + {1}/{4} \cdot \cos(3\alpha) \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

$A_0 \ = \ $

$A_1 \ = \ $

$A_2 \ = \ $

$A_3 \ = \ $

$A_4 \ = \ $

$K \ = \ $

$\ \%$

$y_\text{max} \ = \ $

$y_\text{min} \ = \ $

Musterlösung

(1) Unter Berücksichtigung der kubischen Näherung $g_3(x)$ erhält man vor dem Hochpass: $$y_{C}(t) = g_3\left[x_{\rm C}(t)\right] = \left[ C + A \cdot \cos(\omega_0 t)\right] - {1}/{6} \cdot \left[ C + A \cdot \cos(\omega_0 t)\right]^3 $$ $$\Rightarrow \; y_{C}(t) = C + A \cdot \cos(\omega_0 t) - {1}/{6} \cdot [ C^3 + 3 \cdot C^2 \cdot A \cdot \cos(\omega_0 t) + \hspace{0.01cm}+ \hspace{0.09cm}3 \cdot C \cdot A^2 \cdot \cos^2(\omega_0 t) + A^3 \cdot \cos^3(\omega_0 t)].$$

Das Signal $y_{C}(t)$ beinhaltet eine Gleichsignalkomponente $C- C^3/6$, die jedoch aufgrund des Hochpasses im Signal $y(t)$ nicht mehr enthalten ist: $\underline A_0 = 0$.

(2) Bei Anwendung der angegebenen trigonometrischen Beziehungen erhält man folgende Koeffizienten mit $A= C0 = 0.5$: $$A_1 = A - {1}/{6}\cdot 3 \cdot C^2 \cdot A - {1}/{6} cdot {3}/{4}\cdot A^3 = {1}/{2} - {1}/{16} - {1}/{64} = {27}/{64} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.422},$$ $$A_2 = - {1}/{6}\cdot 3 \cdot {1}/{2}\cdot C \cdot A^2 = - \frac{1}{32} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.031},$$ $$A_3 = - {1}/{6}\cdot \frac{1}{4}\cdot A^3 = - {1}/{192} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.005}.$$

Terme höherer Ordnung kommen nicht vor. Somit ist auch $A_4 = 0$.

(3) Die Klirrfaktoren zweiter und dritter Ordnung ergeben sich bei dieser Aufgabe zu $K_2 = 2/27 \approx 7.41\%$ und $K_3 = 1/81 \approx 1.23\%$ Damit ist der Gesamtklirrfaktor $$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx7.51 \%}.$$

(4) Der Maximalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ und bei Vielfachen von $T$ auf: $$y_{\rm max}= y(t=0) = A_1 + A_2 + A_3 = 0.422 -0.031 -0.005 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.386}.$$

Die Minimalwerte liegen genau in der Mitte zwischen den Maxima und es gilt: $$y_{\rm min}= - A_1 + A_2 - A_3 = -0.422 -0.031 +0.005\hspace{0.15cm}\underline{ = -0.448}.$$

Das Signal $y(t)$ ist gegenüber dem in der Skizze auf der Angabenseite eingezeichnetem Signal um $0.448$ nach unten verschoben. Dieser Signalwert ergibt sich aus folgender Gleichung mit $A = C = 1/2$: $$C - \frac{C \cdot A^2}{4}- \frac{C^3}{6} = {1}/{2} - {1}/{32}- {1}/{48} = 0.448.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID895__LZI_Z_2_3.png|right|Einfluss nichtlinearer Verzerrungen]]
+[[Datei:P_ID895__LZI_Z_2_3.png|right|frame|Einfluss nichtlinearer Verzerrungen]]
-Am Eingang eines Systems $S$ liegt das Cosinussignal
+Am Eingang eines Systems $\rm S$ liegt das Cosinussignal
-$$x(t) =  A \cdot \cos(\omega_0 t)$$
+:$$x(t) =  A \cdot \cos(\omega_0 t)$$
+an, wobei für die Amplitude stets $A = 0.5$ gelten soll. Das System $\rm S$ besteht
+*aus der Addition eines Gleichanteils $C$,
+*einer Nichtlinearität mit der Kennlinie
+:$$g(x) =  \sin(x) \hspace{0.05cm} \approx x \hspace{0.05cm} - \hspace{-0.1cm}{x^3}\hspace{-0.1cm}/{6} = g_3(x),$$
+*sowie einem idealen Hochpass, der alle Frequenzen bis auf ein Gleichsignal $(f = 0)$ unverfälscht passieren lässt.
-an, wobei für die Amplitude stets $A = 0.5$ gelten soll. Das System C besteht
-*aus der Addition eines Gleichanteils <i>C</i>, einer Nichtlinearität mit der Kennlinie
-:$$g(x) =  \sin(x) \hspace{0.05cm} \approx x \hspace{0.05cm} - \hspace{-0.1cm}{x^3}\hspace{-0.1cm}/{6} = g_3(x)$$
-*sowie einem idealen Hochpass, der alle Frequenzen bis auf ein Gleichsignal (<i>f</i> = 0) unverfälscht passieren lässt.
 Das Ausgangssignal des Gesamtsystems kann allgemein in folgender Form dargestellt werden:
-$$y(t) =  A_0 + A_1 \cdot \cos(\omega_0 t) + A_2 \cdot \cos(2\omega_0 t) +
+:$$y(t) =  A_0 + A_1 \cdot \cos(\omega_0 t) + A_2 \cdot \cos(2\omega_0 t) +
-  A_3 \cdot \cos(3\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}...$$
+  A_3 \cdot \cos(3\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}\text{...}$$
-Die sinusförmige Kennlinie $g(x)$ soll in der gesamten Aufgabe entsprechend der obigen Gleichung durch die kubische Näherung $g_3(x)$ approximiert werden. Für $C = 0.$ ergäbe sich somit die exakt gleiche Konstellation wie in [[Aufgaben:2.3_Sinusförmige_Kennlinie|Aufgabe 2.3]], in deren Unterpunkt (2) der Klirrfaktor berechnet wurde:
+Die sinusförmige Kennlinie $g(x)$ soll in der gesamten Aufgabe entsprechend der obigen Gleichung durch die kubische Näherung $g_3(x)$ approximiert werden. Für $C = 0$ ergäbe sich somit die exakt gleiche Konstellation wie in [[Aufgaben:2.3_Sinusförmige_Kennlinie|Aufgabe 2.3]], in deren Unterpunkt (2) der Klirrfaktor berechnet wurde:
 *$K = K_{g3} \approx 1.08 \%$ für $A = 0.5$,
 *$K = K_{g3} \approx 4.76 \%$ für $A = 1.0$.
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 :$$x_C(t) =  C + A \cdot \cos(\omega_0 t) = {1}/{2} + {1}/{2}\cdot \cos(\omega_0 t).$$
-Die Kennlinie wird also unsymmetrisch betrieben mit Werten zwischen $0$ und $1$. In obiger Grafik sind zusätzlich die Signale $x_{C}(t)$ und $y_{C}(t)$ direkt vor und nach der Kennlinie $g(x)$ eingezeichnet.
+Die Kennlinie wird also unsymmetrisch betrieben mit Werten zwischen $0$ und $1$. In obiger Grafik sind zusätzlich die Signale $x_{\rm C}(t)$ und $y_{\rm C}(t)$ direkt vor und nach der Kennlinie $g(x)$ eingezeichnet.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel  Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|Nichtlineare Verzerrungen]].
+*Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Nichtlineare_Verzerrungen|Nichtlineare Verzerrungen]].
 *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Als bekannt vorausgesetzt werden die folgenden trigonometrischen Beziehungen:
-$$\cos^2(\alpha) =  {1}/{2}  + {1}/{2}
+:$$\cos^2(\alpha) =  {1}/{2}  + {1}/{2}
-:\cdot \cos(2\alpha)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}
+\cdot \cos(2\alpha)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}
   \cos^3(\alpha) = {3}/{4} \cdot \cos(\alpha) + {1}/{4} \cdot \cos(3\alpha)
   \hspace{0.05cm}.$$
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 {Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ unter Berücksichtigung des Hochpasses. Wie lautet der Gleichsignalanteil $A_0$?
 |type="{}"}
-$A_0 \ = $ { 0. }
+$A_0 \ = \ $ { 0. }
 {Geben Sie die weiteren Fourierkoeffizienten des Signals $y(t)$ an.
 |type="{}"}
-$A_1  \ =$  { 0.422 3% }
+$A_1  \ = \ $  { 0.422 3% }
-$A_2  \ =$   { -0.032--0.030 }
+$A_2  \ = \ $   { -0.032--0.030 }
-$A_3  \ =$  { -0.0052--0.0048 }
+$A_3  \ = \ $  { -0.0052--0.0048 }
-$A_4  \ =$  { 0. }
+$A_4  \ = \ $  { 0. }
 {Berechnen Sie den Klirrfaktor des Gesamtsystems.
 |type="{}"}
-$K  \ =$  { 7.51 3% } $\ \%$
+$K  \ = \ $  { 7.51 3% } $\ \%$
 {Berechnen Sie den Maximal&ndash; und den Minimalwert des Signals $y(t)$.
 |type="{}"}
-$y_\text{max}  \ =$  { 0.386 3% }
+$y_\text{max}  \ = \ $  { 0.386 3% }
-$y_\text{min}  \ =$   { -0.450--0.446 }
+$y_\text{min}  \ = \ $   { -0.450--0.446 }