Aufgabe 2.2Z: Galoisfeld GF(5)

Additions– und Multiplikationstabelle für $\{a, \, b, \, c, \, d, \, e\}$

Wie in Aufgabe A2.2 betrachten wir einen endlichen Körper der Ordnung $q = 5$ und damit das Galoisfeld

$${\rm GF}(5) = \{{a}, { b},{c},{d},{e}\}\hspace{0.05cm}.$$

Über die Elemente werden weiter keine Aussagen getroffen. Es können sowohl ganze Zahlen sein oder irgendwelche mathematische Ausdrücke. Das Galoisfeld wird ausschließlich bestimmt durch

eine Additionstabelle modulo 5,
eine Multiplikationstabelle modulo 5,

Die wichtigsten Eigenschaften eines Galoisfeldes sind auf Theorieseite 1 zusammengestellt. In dieser Aufgabe wird Bezug genommen auf

das Kommutativ– und das Distributivgesetz,
die neutralen Elemente von Addition und Multiplikation,
die inversen Elemente von Addition und Multiplikation, sowie
die Bestimmung primitiver Elemente.

Im vorliegenden Beispiel wäre $\beta$ ein primitives Element, wenn $\beta^2, \ \beta^3$ und $\beta^4$ (allgemein: $\beta^{q-1})$ die übrigen Elemente des Galoisfeldes $\rm GF(5)$ mit Ausnahme des Nullelementes ergeben.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht ich auf das Themengebiet des Kapitels Einige Grundlagen der Algebra.

Fragebogen

Musterlösung

(1) (2) (3) (4) (5)

	correct
	false