Aufgabe 2.2: Verzerrungsleistung

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Eingangssignal und Ausgangssignale

Am Eingang eines Nachrichtensystems $S_1$ wird ein Rechteckimpuls $x(t)$ mit der Amplitude $1 \ \rm V$ und der Dauer $4 \ \rm ms$ angelegt. Am Systemausgang wird dann der Impuls $y_1(t)$ gemessen, dessen Signalparameter der mittleren Skizze entnommen werden können.

Am Ausgang eines anderen Systems $S_2$ stellt sich bei gleichem Eingangssignal $x(t)$ das in dem unteren Bild dargestellte Signal $y_2(t)$ ein.

Für das in dieser Aufgabe verwendete Fehlersignal gelte folgende Definition: $$\varepsilon(t) = y(t) - \alpha \cdot x(t - \tau) .$$ Die Parameter $\alpha$ und $\tau$ sind so zu bestimmen, dass die Verzerrungsleistung (der mittlere quadratische Fehler) minimal ist. Für diese gilt: $$P_{\rm V} = \overline{\varepsilon^2(t)} = \frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int\limits_{ ( T_{\rm M})} {\varepsilon^2(t) }\hspace{0.1cm}{\rm d}t$$

Bei diesen Definitionen ist bereits berücksichtigt, dass eine frequenzunabhängige Dämpfung ebenso wie eine für alle Frequenzen konstante Laufzeit nicht zur Verzerrung beiträgt.

Das Integrationsintervall ist jeweils geeignet zu wählen. Benutzen Sie für $y_1(t)$ den Bereich von $0 ... 4 \ \rm ms$ und für $y_2(t)$ das Intervall $1 \ {\rm ms} ... 5 \ \rm ms$ Damit beträgt in beiden Fällen die Messdauer $T_{\rm M} = 4 \ \rm ms$. Es ist offensichtlich, dass bezüglich $y_1(t)$ die Parameter $\alpha = 1$ und $\tau = 0$ jeweils zur minimalen Verzerrungsleistung führen.

Das so genannte Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis berechnet sich im allgemeinen Fall zu $$\rho_{\rm V} = \frac{ \alpha^2 \cdot P_{x}}{P_{\rm V}} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet

  • $P_x$ die Leistung des Signals $x(t)$, und
  • $\alpha^2 \cdot P_x$ die Leistung von $y(t) = \alpha \cdot x(t - \tau)$<i, die sich bei Abwesenheit von Verzerrungen ergeben würde.

Meist – so auch in dieser Aufgabe – wird dieses S/N-Verhältnis $\rho_{\rm V}$ logarithmisch in $\rm dB$ angegeben.

Hinweise:


Fragebogen

1

Ermitteln Sie die Verzerrungsleistung des Systems S1.

$P_{\rm V1} \ = $

$\ {\rm V}^2$

2

Berechnen Sie das Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis für System S1.

$10 \cdot {\rm lg} \ \rho_\text{V1} \ =$

$\ \rm dB$

3

Welche Parameter α und τ sollten zur Berechnung der Verzerrungsleistung des Systems S2 herangezogen werden? Begründen Sie Ihr Ergebnis.

$\alpha \ = $

$\tau \ = $

$\ \rm ms$

4

Ermitteln Sie die Verzerrungsleistung des Systems S2.

$P_{\rm V2} \ = $

$\ {\rm V}^2$

5

Berechnen Sie das Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis für das System S2. Interpretieren Sie die unterschiedlichen Ergebnisse.

$10 \cdot {\rm lg} \ \rho_\text{V2} \ =$

$\ \rm dB$


Musterlösung

P ID915 LZI A 2 2 a.png
1.  Mit den gegebenen Parametern α = 1 und τ = 0 erhält man das in der Grafik dargestellte Fehlersignal ε1(t). Die Verzerrungsleistung ist somit gleich:
$$P_{\rm V1} = \frac{ {1 \, \rm ms}}{4 \, \rm ms} \cdot \left[ ({0.1 \, \rm V})^2 + ({-0.1 \, \rm V})^2\right] $$
$$\hspace{0.3cm}\Rightarrow P_{\rm V1} \hspace{0.15cm}\underline{ = {0.005 \, \rm V^2}}.$$
2.  Die Leistung des Eingangssignals beträgt:
$$P_{x} = \frac{1}{4 \, \rm ms} \cdot ({1 \, \rm V})^2 \cdot {4 \, \rm ms}\hspace{0.15cm}{ = {1 \, \rm V^2}}.$$
Mit dem Ergebnis aus 1) erhält man somit für das Signal–zu–Verzerrungs–Leistungsverhältnis:
$$\rho_{\rm V1} = \frac{ P_{x}}{P_{\rm V1}}= \frac{ {1 \, \rm V^2}}{0.005 \, \rm V^2}\hspace{0.05cm}\rm = 200\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm V1}\hspace{0.15cm}\underline{ = {23.01 \, \rm dB}}.$$
3.  Die Skizze auf dem Angabenblatt macht deutlich, dass sich auch ohne die auftretenden Verzerrungen, sondern allein durch Dämpfung und Laufzeit, das Signal y(t) von x(t) deutlich unterscheiden würde. Es würde sich y(t) = 0.5 · x(t – 1 ms) ergeben.
Wenn jemand diese Parameterwerte nicht sofort aus der Grafik erkennt, so müsste er für sehr (unendlich) viele α– und τ–Werte zunächst das Fehlersignal
$$\varepsilon_2(t) = y_2(t) - \alpha \cdot x(t - \tau)$$
und anschließend den mitteleren quadratischen Fehler ermitteln, wobei das Integrationsintervall jeweils an τ anzupassen ist. Auch dann würde man das kleinstmögliche Ergebnis für α = 0.5 und τ = 1 ms erhalten. Für diese Optimierung von α und τ sollte man sich allerdings schon ein Computerprogramm gönnen.
4.  Die obige Skizze zeigt, dass ε2(t) bis auf eine Verschiebung um 1 ms gleich dem Fehlersignal ε1(t) ist. Mit dem Integrationsintervall 1 ms ... 5 ms ergibt sich somit auch die gleiche Verzerrungsleistung:
$$P_{\rm V2} = P_{\rm V1} \hspace{0.15cm}\underline{= {0.005 \, \rm V^2}}.$$
5.   Entsprechend dem Angabenblatt gilt:
$$\rho_{\rm V2} = \frac{ \alpha^2 \cdot P_{x}}{P_{\rm V2}}= \frac{ 0.5^2 \cdot {1 \, \rm V^2}}{0.005 \, \rm V^2}\hspace{0.05cm}\rm = 50\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm V2} \hspace{0.15cm}\underline{= {16.99 \, \rm dB}}.$$
Trotz gleicher Verzerrungsleistung ist 10 · lg ρV2 gegenüber 10 · lg ρV1 um etwa 6 dB geringer. Das Signal y2(t) ist also hinsichtlich des SNR deutlich ungünstiger als y1(t). Hierbei ist berücksichtigt, dass nun wegen α = 0.5 die Leistung des Ausgangssignals nur noch ein Viertel der Eingangsleistung beträgt.
Würde man diese Dämpfung am Ausgang durch eine Verstärkung um 1/α kompensieren, so würde zwar die Verzerrungsleistung um α² größer. Das Signal-zu-Verzerrungs-Leistungsverhältnis ρV2 bliebe jedoch erhalten, weil auch das „Nutzsignal” um den gleichen Betrag angehoben wird.