Aufgaben:Aufgabe 2.2: Mehrstufensignale: Unterschied zwischen den Versionen

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Das Rechtecksignal $x(t)$ sei dimensionslos und kann nur die Momentanwerte $0, 1, 2, ... , M-2, M-1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Die obere Grafik zeigt dieses Signal für den Sonderfall $M = 5$.
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Das Rechtecksignal $x(t)$ sei dimensionslos und kann nur die Momentanwerte $0, 1, 2, \ \text{...} \ , M-2, M-1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Die obere Grafik zeigt dieses Signal für den Sonderfall $M = 5$.
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Auch das Rechtecksignal $y(t)$ ist $M$&ndash;stufig, aber mittelwertfrei und auf den Bereich von $y > -y_0$ bis $y < +y_0$ beschr&auml;nkt.
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In der unteren Grafik sehen Sie das Signal $y(t)$, wiederum f&uuml;r die Stufenzahl $M = 5$. Setzen Sie f&uuml;r numerische Berechnungen $y_0 = 2\hspace{0.05cm}V$.
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Auch das Rechtecksignal $y(t)$ sei$M$&ndash;stufig, aber mittelwertfrei und auf den Wertebereich von $y > -y_0$ bis $y < +y_0$ beschr&auml;nkt. In der unteren Grafik sehen Sie das Signal $y(t)$, wiederum f&uuml;r die Stufenzahl $M = 5$. Setzen Sie f&uuml;r numerische Berechnungen $y_0 = 2\hspace{0.05cm}V$.
 
  
  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]].
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Momente_einer_diskreten_Zufallsgröße|Momente einer diskreten Zufallsgröße]].
 
   
 
   
*Eine Zusammenfassung der Theamatik bietet das folgende Lernvideo:
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*Eine Zusammenfassung der Theamatik bietet das Lernvideo [[Momentenberechnung_bei_diskreten_Zufallsgrößen_(Lernvideo)|Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen]].
:[[Bedeutung und Berechnung der Momente bei diskreten Zufallsgrößen]]
 
  
 
===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
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{Wie gro&szlig; ist der lineare Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ für $M= 5$?
 
{Wie gro&szlig; ist der lineare Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ für $M= 5$?
 
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$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}m_x \ =$  { 2 3% }
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$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}m_x \ = \ $  { 2 3% }
  
  
 
{Wie gro&szlig; ist die Varianz der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ allgemein und f&uuml;r $M= 5$?
 
{Wie gro&szlig; ist die Varianz der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ allgemein und f&uuml;r $M= 5$?
 
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$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}\sigma_x^2\ =$ { 2 3% }
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$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}\sigma_x^2\ = \ $ { 2 3% }
  
  
 
{Berechnen Sie den Mittelwert $m_y$ der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ f&uuml;r $M= 5$.
 
{Berechnen Sie den Mittelwert $m_y$ der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ f&uuml;r $M= 5$.
 
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$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}m_y \ =$ { 0. } $\ \rm V$
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$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}m_y \ = \ $ { 0. } $\ \rm V$
  
  
 
{Wie gro&szlig; ist die Varianz  der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$? Ber&uuml;cksichtigen Sie dabei das Ergebnis aus (2). Welcher Wert ergibt sich wiederum f&uuml;r $M= 5$?
 
{Wie gro&szlig; ist die Varianz  der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$? Ber&uuml;cksichtigen Sie dabei das Ergebnis aus (2). Welcher Wert ergibt sich wiederum f&uuml;r $M= 5$?
 
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$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}\sigma_y^2\ =$ { 2 3% } $\ \rm V^2$
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$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}\sigma_y^2\ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$
  
  

Version vom 2. August 2018, 17:02 Uhr

Zwei ähnliche Mehrstufensignale

Das Rechtecksignal $x(t)$ sei dimensionslos und kann nur die Momentanwerte $0, 1, 2, \ \text{...} \ , M-2, M-1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Die obere Grafik zeigt dieses Signal für den Sonderfall $M = 5$.

Auch das Rechtecksignal $y(t)$ ist $M$–stufig, aber mittelwertfrei und auf den Bereich von $y > -y_0$ bis $y < +y_0$ beschränkt.

In der unteren Grafik sehen Sie das Signal $y(t)$, wiederum für die Stufenzahl $M = 5$. Setzen Sie für numerische Berechnungen $y_0 = 2\hspace{0.05cm}V$.



Hinweise:

Fragebogen

1

Wie groß ist der lineare Mittelwert der Zufallsgröße $x$ für $M= 5$?

$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}m_x \ = \ $

2

Wie groß ist die Varianz der Zufallsgröße $x$ allgemein und für $M= 5$?

$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}\sigma_x^2\ = \ $

3

Berechnen Sie den Mittelwert $m_y$ der Zufallsgröße $y$ für $M= 5$.

$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}m_y \ = \ $

$\ \rm V$

4

Wie groß ist die Varianz der Zufallsgröße $y$? Berücksichtigen Sie dabei das Ergebnis aus (2). Welcher Wert ergibt sich wiederum für $M= 5$?

$M=5\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.3cm}\sigma_y^2\ = \ $

$\ \rm V^2$


Musterlösung

(1)  Man erhält durch Mittelung über alle möglichen Signalwerte für den linearen Mittelwert: $$m_{\it x}=\rm \sum_{\mu=0}^{\it M-{\rm 1}} \it p_\mu\cdot x_{\mu}=\frac{\rm 1}{\it M} \cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\it M-\rm 1}\mu=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M}{\rm 2}=\frac{\it M-\rm 1}{\rm 2}.$$

Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich der lineare Mittelwert zu $m_x \;\underline{= 2}$.

(2)  Analog gilt für den quadratischen Mittelwert: $$m_{\rm 2\it x}= \rm \sum_{\mu=0}^{\it M -\rm 1}\it p_\mu\cdot x_{\mu}^{\rm 2}=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\rm M-1}\mu^{\rm 2} = \frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6} = \frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}.$$

Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich der quadratische Mittelwert zu $m_{2x} {=6}$. Daraus kann die Varianz mit dem Satz von Steiner berechnet werden: $$\sigma_x^{\rm 2}=m_{\rm 2\it x}-m_x^{\rm 2}=\frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}-\frac{(\it M-\rm 1)^{\rm 2}}{\rm 4}=\frac{\it M^{\rm 2}-\rm 1}{\rm 12}.$$

Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich für die Varianz $\sigma_x^2 \;\underline{= 2}$.

(3)  Aufgrund der Symmetrie von $y$ gilt unabhängig von $M$:   $m_x \;\underline{= 2}$.


(4)  Zwischen $x(t)$ und $y(t)$ gilt folgender Zusammenhang: $$y(t)=\frac{2\cdot y_{\rm 0}}{M-\rm 1}\cdot [x(t)-m_x].$$

Daraus folgt für die Varianzen: $$\sigma_y^{\rm 2}=\frac{4\cdot y_{\rm 0}^{\rm 2}}{( M - 1)^{\rm 2}}\cdot \sigma_x^{\rm 2}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot (M^{\rm 2}-1)}{3\cdot (M- 1)^{\rm 2}}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot ( M+ 1)}{ 3\cdot ( M- 1)}.$$

Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich hierfür: $$\it \sigma_y^{\rm 2}= \frac {\it y_{\rm 0}^{\rm 2} \cdot {\rm 6}}{\rm 3 \cdot 4}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm2\,V^{2}}.$$