Aufgaben:Aufgabe 2.2: Binäre bipolare Rechtecke: Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Grundlagen der codierten Übertragung
 
{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Grundlagen der codierten Übertragung
 
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[[Datei:P_ID1310__Dig_A_2_2.png|right|frame|Beispiele für binäre bipolare Rechtecksignale]]
 
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Wir gehen von folgendem Signal aus:
 
Wir gehen von folgendem Signal aus:
 
:$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T) \hspace{0.05cm}.$$
Der Sendegrundimpuls $g_{s}(t)$ wird in dieser Aufgabe stets als rechteckförmig angenommen, wobei das NRZ–Format (blaue Signalverläufe in der Grafik) als auch das RZ–Format mit dem Tastverhältnis $T_{\rm S}/T = 0.5$ (rote Signalverläufe) zu untersuchen ist.
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Der Sendegrundimpuls  $g_{s}(t)$  wird in dieser Aufgabe stets als rechteckförmig angenommen,  wobei das NRZ–Format  (blaue Signalverläufe in der Grafik)  als auch das RZ–Format mit dem Tastverhältnis  $T_{\rm S}/T = 0.5$  (rote Signalverläufe)  zu untersuchen ist.
  
 
Die Amplitudenkoeffizienten besitzen die folgenden Eigenschaften:
 
Die Amplitudenkoeffizienten besitzen die folgenden Eigenschaften:
*Sie sind binär und bipolar: $a_{\nu} \{–1, +1\}$.
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*Sie sind binär und bipolar:   $a_{\nu} \in \{–1, +1\}$.
*$\langle a_{\nu }\rangle$ weist keine statistischen Bindungen auf.
+
*Die Symbole innerhalb der Folge  $\langle a_{\nu }\rangle$  weisen keine statistischen Bindungen auf.
*Die Wahrscheinlichkeiten für die beiden möglichen Werte $±1$ lauten mit $0 < p < 1$:
+
*Die Wahrscheinlichkeiten für die beiden möglichen Werte &nbsp;$±1$&nbsp; lauten mit &nbsp;$0 < p < 1$:
 
:$${\rm Pr}(a_\nu = +1) \ = \ p,$$
 
:$${\rm Pr}(a_\nu = +1) \ = \ p,$$
 
:$${\rm Pr}(a_\nu = -1)  \ = \ 1 - p \hspace{0.05cm}.$$
 
:$${\rm Pr}(a_\nu = -1)  \ = \ 1 - p \hspace{0.05cm}.$$
Die drei in der Grafik dargestellten Signalausschnitte gelten für $p = 0.75$, $p = 0.50$ und $p = 0.25$.
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Die drei in der Grafik dargestellten Signalausschnitte gelten für &nbsp;$p = 0.75$, &nbsp;$p = 0.50$&nbsp; und &nbsp;$p = 0.25$.
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Im Laufe dieser Aufgabe wird auf folgende Beschreibungsgrößen Bezug genommen:
 
Im Laufe dieser Aufgabe wird auf folgende Beschreibungsgrößen Bezug genommen:
*$m_{a} = \E[a_{\nu}]$ gibt den linearen Mittelwert der Amplitudenkoeffizienten an, und $m_{2a} = \E[a_{\nu}^{2}]$ ist der quadratische Mittelwert. Damit kann auch die Varianz $\sigma_{a}^{2} = m_{2a} m_{a}^{2}$ berechnet werden.
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*$m_{a} = \E\big[a_{\nu}\big]$&nbsp; gibt den linearen Mittelwert der Amplitudenkoeffizienten an.
*Die diskrete AKF der Amplitudenkoeffizienten ist $\varphi_{a}(\lambda) = \E[a_{\nu} \cdot a_{\nu} + \lambda]$. Es gilt hier:
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*$m_{2a} = \E\big[a_{\nu}^{2}\big]$&nbsp; ist das Moment zweiter Ordnung&nbsp; ("Leistung").
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*Damit kann auch die Varianz &nbsp;$\sigma_{a}^{2} = m_{2a} - m_{a}^{2}$&nbsp; berechnet werden.
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*Die diskrete AKF der Amplitudenkoeffizienten ist &nbsp;$\varphi_{a}(\lambda) = \E\big[a_{\nu} \cdot a_{\nu} + \lambda \big]$. Es gilt hier:
 
:$$\varphi_a(\lambda) = \left\{ \begin{array}{c} m_2 \\ m_1^2 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c}\lambda = 0, \\ \lambda \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
 
:$$\varphi_a(\lambda) = \left\{ \begin{array}{c} m_2 \\ m_1^2 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c}\lambda = 0, \\ \lambda \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
 
*Die Energie–AKF des Sendegrundimpulses beträgt:
 
*Die Energie–AKF des Sendegrundimpulses beträgt:
:$$\varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau) = \left\{ \begin{array}{c} s_0^2 \cdot T_{\rm S} \cdot \left( 1 - {|\tau|}/{T_{\rm S}}\right) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c}|\tau| \le T_{\rm S} \\ |\tau| \ge T_{\rm S} \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
+
:$$\varphi^{^{\bullet}}_{g_s}(\tau) = \left\{ \begin{array}{c} s_0^2 \cdot T_{\rm S} \cdot \left( 1 - {|\tau|}/{T_{\rm S}}\right) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c}|\tau| \le T_{\rm S} \\ |\tau| \ge T_{\rm S} \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
 
*Damit erhält man für die gesamte AKF des Sendesignals:
 
*Damit erhält man für die gesamte AKF des Sendesignals:
:$$\varphi_s(\tau) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}{1}/{T} \cdot \varphi_a(\lambda)\cdot \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau - \lambda \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
+
:$$\varphi_s(\tau) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}{1}/{T} \cdot \varphi_a(\lambda)\cdot \varphi^{^{\bullet}}_{g_s}(\tau - \lambda \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
*Das Leistungsdichtespektrum $\Phi_{s}(f)$ ist die Fouriertransformierte der AKF $\varphi_{s}(\tau)$.
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*Das Leistungsdichtespektrum &nbsp;${\it \Phi}_{s}(f)$&nbsp; ist die Fouriertransformierte der AKF &nbsp;$\varphi_{s}(\tau)$.
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Hinweis: &nbsp; Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung|"Grundlagen der codierten Übertragung"]].
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''Hinweis:''
 
  
Diese Aufgabe bezieht sich auf [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung|Grundlagen der codierten Übertragung]] des Buches „Digitalsignalübertragung”.
 
  
 
===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
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{Wie groß ist der quadratische Mittelwert $m_{2a}$ der Amplitudenkoeffizienten in Abhängigkeit von $p$?
+
{Wie groß ist das zweite Moment &nbsp;$(m_{2a})$&nbsp; der Amplitudenkoeffizienten in Abhängigkeit von &nbsp;$p$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$p = 0.75 : m_{2a} \ = \ $ { 1 3% }
+
$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} m_{2a} \ = \ $ { 1 3% }
$p = 0.50 : m_{2a} \ = \ $ { 1 3% }
+
$p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm} m_{2a} \ = \ $ { 1 3% }
$p = 0.25 : m_{2a} \ = \ $ { 1 3% }
+
$p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} m_{2a} \ = \ $ { 1 3% }
  
{Berechnen Sie den linearen Mittelwert $m_{a}$ in Abhängigkeit von $p$.
+
{Berechnen Sie den linearen Mittelwert &nbsp;$m_{a}$&nbsp; in Abhängigkeit von &nbsp;$p$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$p = 0.75 : m_{a} \ = \ $ { 0.5 3% }
+
$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a} \ = \ $ { 0.5 3% }
$p = 0.50 : m_{a} \ = \ $ { 0 3% }
+
$p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a} \ = \ $ { 0 3% }
$p = 0.25 : m_{a} \ = \ $ { -0.515--0.485 }
+
$p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a} \ = \ $ { -0.515--0.485 }
  
{Wie groß ist die Varianz $\sigma_{a}^{2}$ der Amplitudenkoeffizienten?
+
{Wie groß ist die Varianz &nbsp;$\sigma_{a}^{2}$&nbsp; der Amplitudenkoeffizienten?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$p = 0.75 : \sigma_{a}^{2} \ = \ $ { 0.75 3% }
+
$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^{2} \ = \ $ { 0.75 3% }
$p = 0.50 : \sigma_{a}^{2} \ = \ $ { 0.75 3% }
+
$p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^{2} \ = \ $ { 1 3% }
$p = 0.25 : \sigma_{a}^{2} \ = \ $ { 0.75 3% }
+
$p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^{2} \ = \ $ { 0.75 3% }
  
{Multiple-Choice Frage
+
{Es gelte zunächst &nbsp;$p = 0.5$.&nbsp; Skizzieren Sie die AKF &nbsp;$\varphi_{s}(\tau)$&nbsp; für den NRZ– und den RZ–Grundimpuls und bewerten Sie folgende Aussagen:
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Falsch
+
+ Die AKF ist in beiden Fällen dreieckförmig.
+ Richtig
+
+ Das LDS verläuft in beiden Fällen &nbsp;${\rm si}^{2}$–förmig.
 +
-Die LDS–Fläche ist in beiden Fällen gleich.
 +
-Bei RZ–Impulsen beinhaltet &nbsp;${\it \Phi}_{s}(f)$&nbsp; zusätzliche Diracfunktionen.
  
{Multiple-Choice Frage
+
{Es gelte nun&nbsp; $p = 0.75$.&nbsp; Skizzieren Sie die AKF für den NRZ–Grundimpuls und bewerten Sie folgende Aussagen:
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Falsch
+
+ Die AKF besteht aus einem Dreieck und einem Gleichanteil.
+ Richtig
+
+ Das LDS besteht aus einem &nbsp;${\rm si}^{2}$–Anteil und einem Dirac.
 +
-Die Diracfunktion hat das Gewicht &nbsp;$s_{0}^{2}$.
 +
+Mit&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; ergibt sich das gleiche Leistungsdichtespektrum.
  
{Multiple-Choice Frage
+
{Es gelte weiter &nbsp;$p = 0.75$.&nbsp; Skizzieren Sie die AKF für den RZ–Grundimpuls und bewerten Sie folgende Aussagen:
 
|type="[]"}
 
|type="[]"}
- Falsch
+
+ Auch hier beinhaltet das LDS einen  &nbsp;${\rm si}^{2}$–förmigen Anteil.
+ Richtig
+
+ Gleichzeitig gibt es im LDS noch unendlich viele Diraclinien.
 +
 
 +
</quiz>
  
 +
===Musterlösung===
 +
{{ML-Kopf}}
 +
'''(1)'''&nbsp; Man spricht von einem redundanzfreien Digitalsignal,&nbsp; wenn
 +
*die Amplitudenkoeffizienten nicht voneinander abhängen&nbsp; (dies wurde hier vorausgesetzt),
 +
*alle möglichen Amplitudenkoeffizienten gleichwahrscheinlich sind.
  
  
 +
In diesem Sinne ist&nbsp; $s_{0.5}(t)$&nbsp; ein&nbsp; redundanzfreies Signal &nbsp; &rArr; &nbsp;  <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 +
*Somit ist hier die Entropie&nbsp; (der mittlere Informationsgehalt pro übertragenem Binärsymbol)&nbsp; maximal gleich dem Entscheidungsgehalt:
 +
:$$H_{\rm max} = {1}/{2}\cdot {\rm log}_2 (2)+{1}/{2}\cdot {\rm log}_2 (2) = 1 \,\,{\rm bit/Bin\ddot{a}rsymbol} \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Dagegen gilt für die Entropien der beiden anderen Binärsignale:
 +
:$$H  = \  \frac{3}{4}\cdot {\rm log}_2 (\frac{4}{3})+ \frac{1}{4}\cdot {\rm log}_2 (4)
 +
= \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right)\cdot {\rm log}_2 (4) -
 +
\frac{3}{4}\cdot{\rm log}_2 (3) =$$
 +
:$$ \hspace{0.5cm} = \ 2 - \frac{3}{4}\cdot{\rm log}_2 (3) =
 +
0.811 \,\,{\rm bit/Bin\ddot{a}rsymbol} \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Daraus ergibt sich für die relative Redundanz dieser Signale:
 +
:$$r = \frac{H_{\rm max} - H}{H_{\rm max}}\hspace{0.15cm} \approx 18.9\%\hspace{0.05cm}.$$
  
  
 +
'''(2)'''&nbsp; Das zweite Moment ist unabhängig von&nbsp; $p$&nbsp; gleich&nbsp; $m_{2a} = 1$:
 +
:$$m_{2a}={\rm E}[a_\nu^2] = p \cdot (+1)^2 + (1-p)\cdot (-1)^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 1 \hspace{0.05cm}}.$$
  
  
</quiz>
+
'''(3)'''&nbsp; Für den linearen Mittelwert erhält man
 +
:$$m_{a}={\rm E}[a_\nu] = p \cdot (+1) + (1-p)\cdot (-1) = 2 p -1 \hspace{0.05cm}.$$
 +
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a}\hspace{0.15cm}\underline {=0.50},\hspace{0.2cm} p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a}\hspace{0.15cm}\underline {=0},\hspace{0.2cm} p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm}  m_{a}\hspace{0.15cm}\underline { =-0.50 \hspace{0.05cm}}.$$
 +
 
 +
 
 +
'''(4)'''&nbsp; Mit den Ergebnissen aus&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)'''&nbsp; erhält man:
 +
:$$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^2 \hspace{0.15cm}\underline {=0.75},$$
 +
:$$ p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm}  \sigma_{a}^2\hspace{0.15cm} \underline { =1.00 \hspace{0.05cm}},$$
 +
:$$ p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^2 \hspace{0.15cm}\underline {=0.75}.$$
 +
 
 +
 
 +
[[Datei:P_ID1311__Dig_A_2_2e.png|right|frame|AKF bei NRZ- und RZ-Impulsen und gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten]]
 +
'''(5)'''&nbsp; Richtig sind nur die&nbsp; <u>beiden ersten Aussagen</u>:
 +
*Für&nbsp; $p = 0.5$&nbsp; gilt&nbsp; $\varphi_{a}(\lambda = 0) = 1$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_{a}(\lambda \neq 0) = 0$.&nbsp; Daraus folgt:&nbsp;
 +
$\varphi_s(\tau) = \frac{1}{T} \cdot \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau )\hspace{0.05cm}.$
 +
*Damit ergeben sich sowohl beim NRZ– als auch beim RZ–Grundimpuls eine dreieckförmige AKF und ein ${\rm si}^{2}$–förmiges LDS.
 +
 
 +
*Die Fläche unter dem LDS ist beim RZ–Impuls um den Faktor&nbsp; $T_{\rm S}/T$&nbsp; kleiner als beim NRZ–Impuls,&nbsp; da sich auch die AKF–Werte bei&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; um diesen Faktor unterscheiden.
 +
*Das LDS ist in beiden Fällen kontinuierlich,&nbsp; da die AKF keinen Gleichanteil und keine periodischen Anteile beinhaltet.
 +
 
 +
 
 +
[[Datei:P_ID1330__Dig_A_2_2f.png|right|frame|AKF bei NRZ-Impulsen und ungleichen Symbolwahrscheinlichkeiten]]
 +
'''(6)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp;  <u>alle Aussagen mit Ausnahme der dritten</u>:
 +
*Für&nbsp; $p = 0.75$&nbsp; setzt sich die AKF&nbsp; $\varphi_{s}(\tau)$&nbsp; aus unendlich vielen Dreieckfunktionen zusammen,&nbsp; die mit Ausnahme des mittleren Dreiecks um&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; alle die gleiche Höhe&nbsp; $s_{0}^{2}/4$&nbsp; aufweisen.
 +
 
 +
*Entsprechend der Skizze kann man alle diese Dreieckfunktionen zu einem Gleichanteil der Höhe&nbsp; $m_{a}^{2} \cdot  s_{0}^{2} = s_{0}^{2}/4$&nbsp; und einem einzigen Dreieck um&nbsp; $\tau = 0$&nbsp; mit der Höhe&nbsp; $\sigma_{a}^{2} \cdot  s_{0}^{2} = 3/4 · s_{0}^{2}$&nbsp; zusammenfassen.
 +
 
 +
*Im LDS führt dies zu einem kontinuierlichen&nbsp; ${\rm si}^{2}$–förmigem Anteil und zu einer Diracfunktion bei&nbsp; $f = 0$.&nbsp; Das Gewicht dieses Diracs ist&nbsp; $s_{0}^{2}/4$.
 +
*Für&nbsp; $p = 0.25$&nbsp; ergibt sich die gleiche AKF wie mit&nbsp; $p = 0.75$,&nbsp; da sowohl die&nbsp; "Gesamtleistung"&nbsp; $m_{2a} = 1$ als auch die&nbsp; "Gleichleistung"&nbsp; $m_{a}^{2} = 0.25$ übereinstimmen.&nbsp; Somit stimmen natürlich auch die Leistungsdichtespektren überein.
 +
 
 +
 
 +
[[Datei:P_ID1331__Dig_A_2_2g.png|right|frame|AKF bei RZ-Rechteckimpulsen]]
 +
'''(7)'''&nbsp; <u>Beide Lösungsvorschläge sind richtig</u>:
 +
*Mit dem RZ–Tastverhältnis&nbsp; $T_{\rm S}/T = 0.5$&nbsp; ergibt sich die skizzierte AKF,&nbsp; die auch durch eine periodische Dreieckfunktion der Höhe&nbsp; $s_{0}^{2}/8$&nbsp; (mit roter Füllung) und einem einzigen Dreieckimpuls der Höhe&nbsp; $3/8 \cdot s_{0}^{2}$&nbsp; (grün gefüllt)&nbsp; dargestellt werden kann.
 +
 +
*Dieser nichtperiodische Anteil führt zu einem kontinuierlichen&nbsp; ${\rm si}^{2}$–förmigen LDS mit Nullstellen bei Vielfachen von&nbsp; $2/T$.
 +
 
 +
*Die periodische Dreieck&ndash;AKF bewirkt im LDS Diracfunktionen bei Vielfachen von&nbsp; $1/T$.
 +
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*Aufgrund der Antimetrie des periodischen Anteils besitzen die Diracfunktionen bei Vielfachen von&nbsp; $2/T$&nbsp; allerdings jeweils das Gewicht&nbsp; $0$.
 +
 +
*Die Gewichte der Diracfunktionen im Abstand&nbsp; $1/T$ sind&nbsp; proportional zum kontinuierlichen LDS–Anteil.
 +
 
  
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
'''(1)'''&nbsp;
 
'''(2)'''&nbsp;
 
'''(3)'''&nbsp;
 
'''(4)'''&nbsp;
 
'''(5)'''&nbsp;
 
'''(6)'''&nbsp;
 
  
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}

Aktuelle Version vom 14. Mai 2022, 13:27 Uhr

Beispiele für binäre bipolare Rechtecksignale

Wir gehen von folgendem Signal aus:

$$s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T) \hspace{0.05cm}.$$

Der Sendegrundimpuls  $g_{s}(t)$  wird in dieser Aufgabe stets als rechteckförmig angenommen,  wobei das NRZ–Format  (blaue Signalverläufe in der Grafik)  als auch das RZ–Format mit dem Tastverhältnis  $T_{\rm S}/T = 0.5$  (rote Signalverläufe)  zu untersuchen ist.

Die Amplitudenkoeffizienten besitzen die folgenden Eigenschaften:

  • Sie sind binär und bipolar:   $a_{\nu} \in \{–1, +1\}$.
  • Die Symbole innerhalb der Folge  $\langle a_{\nu }\rangle$  weisen keine statistischen Bindungen auf.
  • Die Wahrscheinlichkeiten für die beiden möglichen Werte  $±1$  lauten mit  $0 < p < 1$:
$${\rm Pr}(a_\nu = +1) \ = \ p,$$
$${\rm Pr}(a_\nu = -1) \ = \ 1 - p \hspace{0.05cm}.$$

Die drei in der Grafik dargestellten Signalausschnitte gelten für  $p = 0.75$,  $p = 0.50$  und  $p = 0.25$.


Im Laufe dieser Aufgabe wird auf folgende Beschreibungsgrößen Bezug genommen:

  • $m_{a} = \E\big[a_{\nu}\big]$  gibt den linearen Mittelwert der Amplitudenkoeffizienten an.
  • $m_{2a} = \E\big[a_{\nu}^{2}\big]$  ist das Moment zweiter Ordnung  ("Leistung").
  • Damit kann auch die Varianz  $\sigma_{a}^{2} = m_{2a} - m_{a}^{2}$  berechnet werden.
  • Die diskrete AKF der Amplitudenkoeffizienten ist  $\varphi_{a}(\lambda) = \E\big[a_{\nu} \cdot a_{\nu} + \lambda \big]$. Es gilt hier:
$$\varphi_a(\lambda) = \left\{ \begin{array}{c} m_2 \\ m_1^2 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c}\lambda = 0, \\ \lambda \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
  • Die Energie–AKF des Sendegrundimpulses beträgt:
$$\varphi^{^{\bullet}}_{g_s}(\tau) = \left\{ \begin{array}{c} s_0^2 \cdot T_{\rm S} \cdot \left( 1 - {|\tau|}/{T_{\rm S}}\right) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c}|\tau| \le T_{\rm S} \\ |\tau| \ge T_{\rm S} \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
  • Damit erhält man für die gesamte AKF des Sendesignals:
$$\varphi_s(\tau) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}{1}/{T} \cdot \varphi_a(\lambda)\cdot \varphi^{^{\bullet}}_{g_s}(\tau - \lambda \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
  • Das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_{s}(f)$  ist die Fouriertransformierte der AKF  $\varphi_{s}(\tau)$.


Hinweis:   Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Grundlagen der codierten Übertragung".



Fragebogen

1

Welche der drei dargestellten Signale sind redundanzfrei?

$s_{0.75}(t)$,
$s_{0.50}(t)$,
$s_{0.25}(t)$,

2

Wie groß ist das zweite Moment  $(m_{2a})$  der Amplitudenkoeffizienten in Abhängigkeit von  $p$?

$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} m_{2a} \ = \ $

$p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm} m_{2a} \ = \ $

$p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} m_{2a} \ = \ $

3

Berechnen Sie den linearen Mittelwert  $m_{a}$  in Abhängigkeit von  $p$.

$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a} \ = \ $

$p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a} \ = \ $

$p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a} \ = \ $

4

Wie groß ist die Varianz  $\sigma_{a}^{2}$  der Amplitudenkoeffizienten?

$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^{2} \ = \ $

$p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^{2} \ = \ $

$p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^{2} \ = \ $

5

Es gelte zunächst  $p = 0.5$.  Skizzieren Sie die AKF  $\varphi_{s}(\tau)$  für den NRZ– und den RZ–Grundimpuls und bewerten Sie folgende Aussagen:

Die AKF ist in beiden Fällen dreieckförmig.
Das LDS verläuft in beiden Fällen  ${\rm si}^{2}$–förmig.
Die LDS–Fläche ist in beiden Fällen gleich.
Bei RZ–Impulsen beinhaltet  ${\it \Phi}_{s}(f)$  zusätzliche Diracfunktionen.

6

Es gelte nun  $p = 0.75$.  Skizzieren Sie die AKF für den NRZ–Grundimpuls und bewerten Sie folgende Aussagen:

Die AKF besteht aus einem Dreieck und einem Gleichanteil.
Das LDS besteht aus einem  ${\rm si}^{2}$–Anteil und einem Dirac.
Die Diracfunktion hat das Gewicht  $s_{0}^{2}$.
Mit  $p = 0.25$  ergibt sich das gleiche Leistungsdichtespektrum.

7

Es gelte weiter  $p = 0.75$.  Skizzieren Sie die AKF für den RZ–Grundimpuls und bewerten Sie folgende Aussagen:

Auch hier beinhaltet das LDS einen  ${\rm si}^{2}$–förmigen Anteil.
Gleichzeitig gibt es im LDS noch unendlich viele Diraclinien.


Musterlösung

(1)  Man spricht von einem redundanzfreien Digitalsignal,  wenn

  • die Amplitudenkoeffizienten nicht voneinander abhängen  (dies wurde hier vorausgesetzt),
  • alle möglichen Amplitudenkoeffizienten gleichwahrscheinlich sind.


In diesem Sinne ist  $s_{0.5}(t)$  ein  redundanzfreies Signal   ⇒   Lösungsvorschlag 2.

  • Somit ist hier die Entropie  (der mittlere Informationsgehalt pro übertragenem Binärsymbol)  maximal gleich dem Entscheidungsgehalt:
$$H_{\rm max} = {1}/{2}\cdot {\rm log}_2 (2)+{1}/{2}\cdot {\rm log}_2 (2) = 1 \,\,{\rm bit/Bin\ddot{a}rsymbol} \hspace{0.05cm}.$$
  • Dagegen gilt für die Entropien der beiden anderen Binärsignale:
$$H = \ \frac{3}{4}\cdot {\rm log}_2 (\frac{4}{3})+ \frac{1}{4}\cdot {\rm log}_2 (4) = \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right)\cdot {\rm log}_2 (4) - \frac{3}{4}\cdot{\rm log}_2 (3) =$$
$$ \hspace{0.5cm} = \ 2 - \frac{3}{4}\cdot{\rm log}_2 (3) = 0.811 \,\,{\rm bit/Bin\ddot{a}rsymbol} \hspace{0.05cm}.$$
  • Daraus ergibt sich für die relative Redundanz dieser Signale:
$$r = \frac{H_{\rm max} - H}{H_{\rm max}}\hspace{0.15cm} \approx 18.9\%\hspace{0.05cm}.$$


(2)  Das zweite Moment ist unabhängig von  $p$  gleich  $m_{2a} = 1$:

$$m_{2a}={\rm E}[a_\nu^2] = p \cdot (+1)^2 + (1-p)\cdot (-1)^2 \hspace{0.15cm}\underline { = 1 \hspace{0.05cm}}.$$


(3)  Für den linearen Mittelwert erhält man

$$m_{a}={\rm E}[a_\nu] = p \cdot (+1) + (1-p)\cdot (-1) = 2 p -1 \hspace{0.05cm}.$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a}\hspace{0.15cm}\underline {=0.50},\hspace{0.2cm} p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a}\hspace{0.15cm}\underline {=0},\hspace{0.2cm} p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} m_{a}\hspace{0.15cm}\underline { =-0.50 \hspace{0.05cm}}.$$


(4)  Mit den Ergebnissen aus  (2)  und  (4)  erhält man:

$$p = 0.75\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^2 \hspace{0.15cm}\underline {=0.75},$$
$$ p = 0.50\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^2\hspace{0.15cm} \underline { =1.00 \hspace{0.05cm}},$$
$$ p = 0.25\text{:} \hspace{0.4cm} \sigma_{a}^2 \hspace{0.15cm}\underline {=0.75}.$$


AKF bei NRZ- und RZ-Impulsen und gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten

(5)  Richtig sind nur die  beiden ersten Aussagen:

  • Für  $p = 0.5$  gilt  $\varphi_{a}(\lambda = 0) = 1$  und  $\varphi_{a}(\lambda \neq 0) = 0$.  Daraus folgt: 

$\varphi_s(\tau) = \frac{1}{T} \cdot \varphi^{^{\bullet}}_{gs}(\tau )\hspace{0.05cm}.$

  • Damit ergeben sich sowohl beim NRZ– als auch beim RZ–Grundimpuls eine dreieckförmige AKF und ein ${\rm si}^{2}$–förmiges LDS.
  • Die Fläche unter dem LDS ist beim RZ–Impuls um den Faktor  $T_{\rm S}/T$  kleiner als beim NRZ–Impuls,  da sich auch die AKF–Werte bei  $\tau = 0$  um diesen Faktor unterscheiden.
  • Das LDS ist in beiden Fällen kontinuierlich,  da die AKF keinen Gleichanteil und keine periodischen Anteile beinhaltet.


AKF bei NRZ-Impulsen und ungleichen Symbolwahrscheinlichkeiten

(6)  Richtig sind  alle Aussagen mit Ausnahme der dritten:

  • Für  $p = 0.75$  setzt sich die AKF  $\varphi_{s}(\tau)$  aus unendlich vielen Dreieckfunktionen zusammen,  die mit Ausnahme des mittleren Dreiecks um  $\tau = 0$  alle die gleiche Höhe  $s_{0}^{2}/4$  aufweisen.
  • Entsprechend der Skizze kann man alle diese Dreieckfunktionen zu einem Gleichanteil der Höhe  $m_{a}^{2} \cdot s_{0}^{2} = s_{0}^{2}/4$  und einem einzigen Dreieck um  $\tau = 0$  mit der Höhe  $\sigma_{a}^{2} \cdot s_{0}^{2} = 3/4 · s_{0}^{2}$  zusammenfassen.
  • Im LDS führt dies zu einem kontinuierlichen  ${\rm si}^{2}$–förmigem Anteil und zu einer Diracfunktion bei  $f = 0$.  Das Gewicht dieses Diracs ist  $s_{0}^{2}/4$.
  • Für  $p = 0.25$  ergibt sich die gleiche AKF wie mit  $p = 0.75$,  da sowohl die  "Gesamtleistung"  $m_{2a} = 1$ als auch die  "Gleichleistung"  $m_{a}^{2} = 0.25$ übereinstimmen.  Somit stimmen natürlich auch die Leistungsdichtespektren überein.


AKF bei RZ-Rechteckimpulsen

(7)  Beide Lösungsvorschläge sind richtig:

  • Mit dem RZ–Tastverhältnis  $T_{\rm S}/T = 0.5$  ergibt sich die skizzierte AKF,  die auch durch eine periodische Dreieckfunktion der Höhe  $s_{0}^{2}/8$  (mit roter Füllung) und einem einzigen Dreieckimpuls der Höhe  $3/8 \cdot s_{0}^{2}$  (grün gefüllt)  dargestellt werden kann.
  • Dieser nichtperiodische Anteil führt zu einem kontinuierlichen  ${\rm si}^{2}$–förmigen LDS mit Nullstellen bei Vielfachen von  $2/T$.
  • Die periodische Dreieck–AKF bewirkt im LDS Diracfunktionen bei Vielfachen von  $1/T$.
  • Aufgrund der Antimetrie des periodischen Anteils besitzen die Diracfunktionen bei Vielfachen von  $2/T$  allerdings jeweils das Gewicht  $0$.
  • Die Gewichte der Diracfunktionen im Abstand  $1/T$ sind  proportional zum kontinuierlichen LDS–Anteil.