Aufgabe 2.1Z: Welche Tabellen beschreiben Gruppen?

Verschiedene Additionstabellen für $q = 3$

In dieser Aufgabe betrachten wir Mengen mit jeweils drei Elementen, allgemein bezeichnet mit $\{z_0, \, z_1, \, z_2\}$. Die Elemente können dabei sein:

Zahlen, beispielsweise $z_0 = 0, \ z_1 = 1, \ z_2 = 2$,
algebraische Ausdrücke wie $z_0 = A, \ z_1 = B, \ z_2 = C$,
irgendwas, beispielsweise $z_0 = „{\rm Apfel}”, \ z_1 = „{\rm Birne}”, \ z_2 = „{\rm Zitrone}”$.

Eine Gruppe $(G, \ „+”)$ hinsichtlich der Addition ergibt sich dann, wenn durch eine Tabelle die „$+$”–Verknüpfung zwischen je zwei Elementen so definiert wurde, dass folgende Bedingungen erfüllt sind (die Laufvariablen $i, \ j, \ k$ können dabei jeweils die Werte $0, \ 1, \ 2$ annehmen):

Für alle $z_i ∈ G$ und $z_j ∈ G$ gilt $(z_i + z_j) ∈ G$ ⇒ Closure–Kriterium. Die Bedingung muss auch für $i = j$ erfüllt sein.
Für alle $z_i, \ z_j, \ z_k$ gilt $(z_i + z_j) + z_k = z_i + (z_j + z_k)$ ⇒ Assoziativgesetz.
Es gibt ein hinsichtlich Addition neutrales Element $N_{\rm A} ∈ G$, so dass für alle $z_i ∈ G$ gilt: $z_i + N_{\rm A} = z_i$.
Für alle $z_i ∈ G$ gibt es ein hinsichtlich Addition inverses Element ${\rm Inv}_{\rm A}(z_i) ∈ G$, so dass für die Summe $z_i + {\rm Inv}_{\rm A}(z_i) = N_{\rm A}$ gilt.

Wird zudem für alle $z_i ∈ G$ und $z_j ∈ G$ zusätzlich noch das Kommutativgesetz ⇒ $z_i + z_j = z_j + z_i$ erfüllt, so spricht man von einer kommutativen Gruppe oder – nach dem norwegischen Mathematiker Niels Hendrik Abel – von einer abelschen Gruppe.

Die Zahlenmenge $\{0, \, 1, \, 2\}$ ist eine abelsche (kommutative) Gruppe. Entsprechend der grün umrandeten Additionstabelle in obiger Grafik ist hier die Addition modulo $3$ zu verstehen. Somit ist auch die Summe stets $0, \ 1$ oder $2$. Das neutrale Element ist $N_{\rm A} = 0$ und das zu $z_i$ inverse Element ${\rm Inv}_{\rm A}(z_i) = -z_i$:

$${\rm Inv_A}(0) = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}{\rm Inv_A}(1) = (-1)\hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}3 = 2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}{\rm Inv_A}(2) = (-2)\hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}3 = 1 \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe sollen Sie überprüfen, ob auch die beiden weiteren in der obigen Grafik dargestellten Additionstabellen jeweils zu einer algebraischen Gruppe gehören.

Hinweis:

Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite Definition und Beispiele einer algebraischen Gruppe im Kapitel Einige Grundlagen der Algebra.

Fragebogen

	Das neutrale Element ist $N_{\rm A} = {\rm C}$.
	Die Inversen sind $\rm Inv_A(A) = B, \ Inv_A(B) = A, \ Inv_A(C) = C$.
	Es handelt sich hier um eine additive Gruppe $(G, \ +)$.
	Auch die Bedingung einer abelschen Gruppe wird erfüllt.

	Ja.
	Nein.

	Das neutrale Element ist $N_{\rm A} = a$.
	Die additiven Inversen sind $\rm Inv_A(a) = a, \ Inv_A(b) = b, \ Inv_A(c) = c$.
	Es handelt sich um eine abelsche Gruppe.

Musterlösung

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