Aufgaben:Aufgabe 2.1Z: Summensignal: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
(10 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 3: Zeile 3:
 
}}
 
}}
  
[[Datei:P_ID319__Sig_Z_2_1.png|right|Summensignal ]]
+
[[Datei:P_ID319__Sig_Z_2_1.png|right|frame|Rechtecksignal, Dreiecksignal und Summensignal]]
In der nebenstehenden Grafik sind die beiden periodischen Signale ${x(t)}$ und ${y(t)}$ dargestellt, aus denen das Summensignal ${s(t)}$ – im unteren Bild skizziert – sowie das Differenzsignal ${d(t)}$ gebildet werden.
+
In nebenstehender Grafik sind die beiden periodischen Signale  ${x(t)}$  und  ${y(t)}$  dargestellt, aus denen das Summensignal  ${s(t)}$  – im unteren Bild skizziert – sowie das Differenzsignal  ${d(t)}$  gebildet werden.
  
Weiterhin betrachten wir in dieser Aufgabe das Signal ${w(t)}$, das sich aus der Summe der beiden periodischen Signalen ${u(t)}$ und $v(t)$ ergibt. Die Grundfrequenzen der Signale seien
+
Weiterhin betrachten wir in dieser Aufgabe das Signal  ${w(t)}$, das sich aus der Summe der beiden periodischen Signalen  ${u(t)}$  und  $v(t)$  ergibt. Die Grundfrequenzen der Signale seien
  
 
:* $f_u = 998 \,\text{Hz},$
 
:* $f_u = 998 \,\text{Hz},$
  
:* $f_u = 1002 \,\text{Hz}.$
+
:* $f_v = 1002 \,\text{Hz}.$
  
Mehr ist von diesen Signalen ${u(t)}$ und $v(t)$ nicht bekannt.
+
Mehr ist von diesen Signalen  ${u(t)}$  und  $v(t)$  nicht bekannt.
  
''Hinweise:''  
+
 
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung|Allgemeine Beschreibung periodischer Signale]].
+
 
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
+
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
''Hinweis:''  
 +
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Allgemeine_Beschreibung|Allgemeine Beschreibung periodischer Signale]].
 +
*Mit dem interaktiven Applet  [[Applets:Periodendauer_periodischer_Signale|Periodendauer periodischer Signale]]  lässt sich die resultierende Periodendauer zweier harmonischer Schwingungen ermitteln.  
 +
  
  
Zeile 22: Zeile 29:
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Wie groß ist Periodendauer $T_x$ und Grundfrequenz $f_x$ des Signals ${x(t)}$?
+
{Wie groß ist Periodendauer&nbsp; $T_x$&nbsp; und Grundfrequenz&nbsp; $f_x$&nbsp; des Signals&nbsp; ${x(t)}$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$f_x$ = { 1 3% } &nbsp; $\text{kHz}$
+
$f_x\ = \ $ { 1 3% } &nbsp; $\text{kHz}$
  
  
{Wie groß ist Periodendauer $T_y$ und Grundfrequenz $f_y$ des Signals ${y(t)}$?
+
{Wie groß ist Periodendauer&nbsp; $T_y$&nbsp; und Grundfrequenz&nbsp; $f_y$&nbsp; des Signals&nbsp; ${y(t)}$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$f_y$ = { 0.4 3% } &nbsp; $\text{kHz}$
+
$f_y\ = \ $ { 0.4 3% } &nbsp; $\text{kHz}$
  
  
{Bestimmen Sie die Grundfrequenz $f_s$ sowie die Periodendauer $T_s$ des Summensignals ${s(t)}$ und überprüfen Sie das Ergebnis anhand der Skizze.
+
{Bestimmen Sie die Grundfrequenz&nbsp; $f_s$&nbsp; sowie die Periodendauer&nbsp; $T_s$&nbsp; des Summensignals&nbsp; ${s(t)}$&nbsp; und überprüfen Sie das Ergebnis anhand der Skizze.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$T_s$ = { 5 3% } &nbsp; $\text{ms}$
+
$T_s\ = \ $ { 5 3% } &nbsp; $\text{ms}$
  
  
{Welche Periodendauer $T_d$ weist das Differenzsignal ${d(t)}$ auf?
+
{Welche Periodendauer&nbsp; $T_d$&nbsp; weist das Differenzsignal&nbsp; ${d(t)}$&nbsp; auf?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$T_d$ = { 5 3% } &nbsp; $\text{ms}$
+
$T_d\ = \ $ { 5 3% } &nbsp; $\text{ms}$
  
  
{Welche Periodendauer $T_w$ besitzt das Signal ${w(t)} = {u(t)} + v(t)$?
+
{Welche Periodendauer&nbsp; $T_w$&nbsp; besitzt das Signal&nbsp; ${w(t)} = {u(t)} + v(t)$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$T_w$ = { 500 3% } &nbsp; $\text{ms}$
+
$T_w\ = \ $ { 500 3% } &nbsp; $\text{ms}$
  
 
</quiz>
 
</quiz>
Zeile 50: Zeile 57:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.'''  Für das Rechtecksignal gilt $T_x = 1 \,\text{ms}$  &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_x \underline{= 1 \, \text{kHz}}$.
+
'''(1)'''&nbsp; Für das Rechtecksignal gilt&nbsp; $T_x = 1 \,\text{ms}$  &nbsp; &rArr; &nbsp; $f_x \hspace{0.15cm}\underline{= 1 \, \text{kHz}}$.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''(2)'''&nbsp;  Für das Dreiecksignal gilt&nbsp; $T_y = 2.5 \,\text{ms}$&nbsp; und&nbsp; $f_y \hspace{0.15cm}\underline{= 0.4\,  \text{kHz}}$.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''(3)'''&nbsp;  Die Grundfrequenz&nbsp; $f_s$&nbsp; des Summensignals&nbsp; $s(t)$&nbsp; ist der größte gemeinsame Teiler von&nbsp; $f_x = 1 \,\text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $f_y = 0.4 \,\text{kHz}$.
 +
[[Datei:P_ID320__Sig_Z_2_1_d_neu.png|right|frame|Differenzsignal $d(t) = x(t) - y(t)$]]
 +
*Daraus folgt&nbsp; $f_s = 200 \,\text{Hz}$&nbsp; und die Periodendauer&nbsp; $T_s\hspace{0.15cm}\underline{ = 5 \,\text{ms}}$.
 +
* Dies geht  auch aus der grafischen Darstellung des Signals&nbsp; ${s(t)}$&nbsp; auf der Angabenseite hervor.
 +
 
 +
 
  
'''2.'''   Für das Dreiecksignal gilt $T_y = 2.5 \,\text{ms}$ und $f_y \underline{= 0.4\, \text{kHz}}$.
+
'''(4)'''&nbsp;  Die Periodendauer&nbsp; $T_d$&nbsp; ändert sich gegenüber der Periodendauer&nbsp; $T_s$&nbsp; nicht, wenn das Signal&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; nicht addiert, sondern subtrahiert wird: &nbsp; &nbsp; $T_d = T_s \hspace{0.15cm}\underline{= 5\, \text{ms}}$.
  
'''3.'''  Die Grundfrequenz $f_s$ des Summensignals $s(t)$ ist der größte gemeinsame Teiler von $f_x = 1 \,\text{kHz}$ und $f_y = 0.4 \,\text{kHz}$. Daraus folgt $f_s = 200 \,\text{Hz}$ und die Periodendauer $T_s\underline{ = 5 \,\text{ms}}$, wie auch aus der grafischen Darstellung des Signals ${s(t)}$ auf der Angabenseite hervorgeht.
 
[[Datei:P_ID320__Sig_Z_2_1_d_neu.png|right|Differenzsignal|]]
 
  
'''4.'''  Die Periodendauer $T_d$ ändert sich gegenüber der Periodendauer $T_s$ nicht, wenn das Signal ${y(t)}$ nicht addiert, sondern subtrahiert wird: &nbsp; &nbsp; $T_d = T_s \underline{= 5\, \text{ms}}$.
 
  
'''5.'''  Der größte gemeinsame Teiler von $f_u = 998 \,\text{kHz}$ und $f_{v} = 1002 \,\text{kHz}$ ist $f_w = 2 \,\text{Hz}$. Der Kehrwert hiervon ergibt die Periodendauer $T_w \underline{= 500 \,\text{ms}}$.
+
'''(5)'''&nbsp; Der größte gemeinsame Teiler von&nbsp; $f_u = 998 \,\text{Hz}$&nbsp; und&nbsp; $f_{v} = 1002 \,\text{Hz}$&nbsp; ist&nbsp; $f_w = 2 \,\text{Hz}$.  
 +
*Der Kehrwert hiervon ergibt die Periodendauer $T_w \hspace{0.15cm}\underline{= 500 \,\text{ms}}$.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Aktuelle Version vom 12. April 2021, 15:11 Uhr

Rechtecksignal, Dreiecksignal und Summensignal

In nebenstehender Grafik sind die beiden periodischen Signale  ${x(t)}$  und  ${y(t)}$  dargestellt, aus denen das Summensignal  ${s(t)}$  – im unteren Bild skizziert – sowie das Differenzsignal  ${d(t)}$  gebildet werden.

Weiterhin betrachten wir in dieser Aufgabe das Signal  ${w(t)}$, das sich aus der Summe der beiden periodischen Signalen  ${u(t)}$  und  $v(t)$  ergibt. Die Grundfrequenzen der Signale seien

  • $f_u = 998 \,\text{Hz},$
  • $f_v = 1002 \,\text{Hz}.$

Mehr ist von diesen Signalen  ${u(t)}$  und  $v(t)$  nicht bekannt.




Hinweis:


Fragebogen

1

Wie groß ist Periodendauer  $T_x$  und Grundfrequenz  $f_x$  des Signals  ${x(t)}$?

$f_x\ = \ $

  $\text{kHz}$

2

Wie groß ist Periodendauer  $T_y$  und Grundfrequenz  $f_y$  des Signals  ${y(t)}$?

$f_y\ = \ $

  $\text{kHz}$

3

Bestimmen Sie die Grundfrequenz  $f_s$  sowie die Periodendauer  $T_s$  des Summensignals  ${s(t)}$  und überprüfen Sie das Ergebnis anhand der Skizze.

$T_s\ = \ $

  $\text{ms}$

4

Welche Periodendauer  $T_d$  weist das Differenzsignal  ${d(t)}$  auf?

$T_d\ = \ $

  $\text{ms}$

5

Welche Periodendauer  $T_w$  besitzt das Signal  ${w(t)} = {u(t)} + v(t)$?

$T_w\ = \ $

  $\text{ms}$


Musterlösung

(1)  Für das Rechtecksignal gilt  $T_x = 1 \,\text{ms}$   ⇒   $f_x \hspace{0.15cm}\underline{= 1 \, \text{kHz}}$.


(2)  Für das Dreiecksignal gilt  $T_y = 2.5 \,\text{ms}$  und  $f_y \hspace{0.15cm}\underline{= 0.4\, \text{kHz}}$.


(3)  Die Grundfrequenz  $f_s$  des Summensignals  $s(t)$  ist der größte gemeinsame Teiler von  $f_x = 1 \,\text{kHz}$  und  $f_y = 0.4 \,\text{kHz}$.

Differenzsignal $d(t) = x(t) - y(t)$
  • Daraus folgt  $f_s = 200 \,\text{Hz}$  und die Periodendauer  $T_s\hspace{0.15cm}\underline{ = 5 \,\text{ms}}$.
  • Dies geht auch aus der grafischen Darstellung des Signals  ${s(t)}$  auf der Angabenseite hervor.


(4)  Die Periodendauer  $T_d$  ändert sich gegenüber der Periodendauer  $T_s$  nicht, wenn das Signal  ${y(t)}$  nicht addiert, sondern subtrahiert wird:     $T_d = T_s \hspace{0.15cm}\underline{= 5\, \text{ms}}$.


(5)  Der größte gemeinsame Teiler von  $f_u = 998 \,\text{Hz}$  und  $f_{v} = 1002 \,\text{Hz}$  ist  $f_w = 2 \,\text{Hz}$.

  • Der Kehrwert hiervon ergibt die Periodendauer $T_w \hspace{0.15cm}\underline{= 500 \,\text{ms}}$.