Aufgaben:Aufgabe 2.1Z: Signalverläufe: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID59__Sto_Z_2_1.png|right|]]
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[[Datei:P_ID59__Sto_Z_2_1.png|right|frame|Wertdiskret oder wertkontinuierlich?]]
:Rechts sind fünf Signalverläufe dargestellt. Die ersten drei Signale (A), (B) und (C) sind periodisch und damit auch deterministisch, die beiden unteren Signale haben stochastischen Charakter. Im Einzelnen sind dargestellt:
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Rechts sind fünf Signalverläufe dargestellt.  Die ersten drei Signale  $\rm (A)$,  $\rm (B)$  und  $\rm (C)$  sind periodisch und damit auch deterministisch, die beiden unteren Signale haben stochastischen Charakter.
  
:<b>(A)</b> &nbsp;&nbsp;ein dreieckf&ouml;rmiges periodisches Signal,
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Der Momentanwert dieser Signale&nbsp; $x(t)$&nbsp; wird jeweils als eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e aufgefasst.&nbsp; Im Einzelnen sind dargestellt:
  
:<b>(B)</b> &nbsp;&nbsp;das Signal (A) nach Einweggleichrichtung,
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$\rm (A)$: &nbsp;&nbsp;ein dreieckf&ouml;rmiges periodisches Signal,
  
:<b>(C)</b> &nbsp;&nbsp;ein rechteckf&ouml;rmiges periodisches Signal,
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$\rm (B)$: &nbsp;&nbsp;das Signal&nbsp; $\rm (A)$&nbsp; nach Einweggleichrichtung,
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$\rm (C)$: &nbsp;&nbsp;ein rechteckf&ouml;rmiges periodisches Signal,
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$\rm (D)$: &nbsp;&nbsp;ein rechteckf&ouml;rmiges Zufallssignal,
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$\rm (E)$: &nbsp;&nbsp;das Zufallssignal&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; nach &nbsp;AMI-Codierung; &nbsp; <br>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; hierbei bleibt die &bdquo;Null&rdquo; erhalten, w&auml;hrend eine jede &bdquo;Eins&rdquo; alternierend mit &nbsp; $+2\hspace{0.03cm}\rm V$&nbsp; und &nbsp; $-2\hspace{0.03cm} \rm V$ &nbsp; codiert wird.
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Hinweis:
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Vom_Zufallsexperiment_zur_Zufallsgröße|Vom Zufallsexperiment zur Zufallsgröße]].
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:<b>(D)</b> &nbsp;&nbsp;ein rechteckf&ouml;rmiges Zufallssignal,
 
  
:<b>(E)</b> &nbsp;&nbsp;das Zufallssignal &nbsp;(D)&nbsp; nach &nbsp;AMI-Codierung; hierbei bleibt die &bdquo;Null&rdquo; erhalten, w&auml;hrend eine jede &bdquo;Eins&rdquo; alternierend mit +2V und &ndash;2V codiert wird.
 
:Der Momentanwert dieser Signale <i>x</i>(<i>t</i>) wird jeweils als eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e aufgefasst.
 
  
:<br><br><b>Hinweis</b>: Die Aufgabe bezieht sich auf
 
  
 
===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Bei welchen Signalen beschreibt der Momentanwert eine diskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e? &Uuml;berlegen Sie sich auch die jeweilige Stufenzahl <i>M</i>.
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{Bei welchen Signalen beschreibt der Momentanwert eine diskrete Zufallsgr&ouml;&szlig;e? <br>&Uuml;berlegen Sie sich auch die jeweilige Stufenzahl&nbsp; $M$.
 
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- Signal (A)
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- Signal $\rm (A)$,
- Signal (B)
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- Signal $\rm (B)$,
+ Signal (C)
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+ Signal $\rm (C)$,
+ Signal (D)
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+ Signal $\rm (D)$,
+ Signal (E)
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+ Signal $\rm (E)$.
  
  
{Bei welchen Signalen ist der Momentanwert eine (ausschlie&szlig;lich) kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e?  
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{Bei welchen Signalen ist der Momentanwert eine&nbsp; (ausschlie&szlig;lich)&nbsp; kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e?  
 
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+ Signal (A)
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+ Signal $\rm (A)$,
- Signal (B)
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- Signal $\rm (B)$,
- Signal (C)
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- Signal $\rm (C)$,
- Signal (D)
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- Signal $\rm (D)$,
- Signal (E)
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- Signal $\rm (E)$.
  
  
 
{Welche Zufallsgr&ouml;&szlig;en besitzen einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil?
 
{Welche Zufallsgr&ouml;&szlig;en besitzen einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil?
 
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- Signal (A)
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- Signal $\rm (A)$,
+ Signal (B)
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+ Signal $\rm (B)$,
- Signal (C)
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- Signal $\rm (C)$,
- Signal (D)
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- Signal $\rm (D)$,
- Signal (E)
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- Signal $\rm (E)$.
  
  
{F&uuml;r das Signal (D) wird die relative H&auml;ufigkeit <i>h</i><sub>0</sub> empirisch &uuml;ber 100000 Binärsymbole ermittelt. Benennen Sie eine untere Schranke f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit, dass der ermittelte Wert zwischen 0.49 und 0.51 liegt?
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{F&uuml;r das Signal&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; wird die relative H&auml;ufigkeit&nbsp; $h_0$&nbsp; empirisch &uuml;ber&nbsp; $100\hspace{0.03cm}000$&nbsp; Binärsymbole ermittelt. <br>Benennen Sie eine untere Schranke f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass der ermittelte Wert zwischen&nbsp; $0.49$&nbsp; und&nbsp; $0.51$&nbsp; liegt?
 
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$Min[\ Pr(0.49≤h_0≤0.51)\ ]$ = { 0.975 3% }
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${\rm Min\big[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ \big] \ = \ $ { 97.5 3% } &nbsp;$\%$
  
  
{Wieviele Symbole m&uuml;sste man f&uuml;r diese Untersuchung heranziehen, damit sichergestellt wird, dass die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r das Ereignis &bdquo;Die so ermittelte H&auml;ufigkeit liegt zwischen 0.499 und 0.501&rdquo; größer als 99% ist?
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{Wieviele Symbole&nbsp; $(N_\min)$&nbsp; m&uuml;sste man f&uuml;r diese Untersuchung heranziehen,&nbsp; damit sichergestellt wird, <br>dass die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r das Ereignis&nbsp; &bdquo;Die so ermittelte H&auml;ufigkeit liegt zwischen&nbsp; $0.499$&nbsp; und&nbsp; $0.501$&rdquo;&nbsp; größer als&nbsp; $99\%$&nbsp; ist?
 
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$N_\min$ = { 0.25 3% } $\cdot 10^8$
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$N_\min \ =  \ $ { 2.5 3% } $\ \cdot 10^9$
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Die Zufallsgr&ouml;&szlig;en <i>C</i> und <i>D</i> sind bin&auml;r (<i>M</i> = 2), w&auml;hrend die Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>E</i> dreiwertig ist. Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 3, 4 und 5.</u>
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 3, 4 und 5</u>:
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*Die Zufallsgrößen&nbsp; $\rm (C)$&nbsp; und&nbsp; $\rm (D)$&nbsp; sind binär&nbsp; $(M= 2)$,  
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*w&auml;hrend die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $\rm (E)$&nbsp; dreiwertig ist &nbsp; $(M= 3)$.  
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Die <u>Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>A</i></u> ist kontinuierlich und kann alle Werte zwischen &ndash;2V und +2V mit der gleichen Wahrscheinlichkeit annehmen.
 
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Nur die <u>Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>B</i></u> hat einen diskreten Anteil bei 0V und au&szlig;erdem noch eine kontinuierliche Komponente (zwischen 0V und +2V).
 
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Nach dem Bernoullischen Gesetz der gro&szlig;en Zahlen gilt:
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'''(2)'''&nbsp; Richtig ist allein der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
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*Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $\rm (A)$&nbsp; ist wertkontinuierlich und kann alle Werte zwischen&nbsp; $\pm 2 \hspace{0.03cm} \rm V$&nbsp; mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.
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*Alle anderen Zufallsgrößen sind wertdiskret.
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'''(3)'''&nbsp; Richtig ist allein der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
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*Nur die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; hat einen diskreten Anteil bei&nbsp; $0\hspace{0.03cm}\rm V$&nbsp; und
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*au&szlig;erdem noch eine kontinuierliche Komponente&nbsp; (zwischen&nbsp; $0\hspace{0.03cm} \rm V$&nbsp; und&nbsp; $+2\hspace{0.03cm}\rm V)$.
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'''(4)'''&nbsp; Nach dem Bernoullischen Gesetz der gro&szlig;en Zahlen gilt:
 
:$$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$
 
:$$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$
  
:Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die relative H&auml;ufigkeit <i>h</i><sub>0</sub> von der Wahrscheinlichkeit <nobr><i>p</i><sub>0</sub> = 0.5</nobr> betragsm&auml;&szlig;ig um mehr als 0.01 abweicht, mit <i>&epsilon;</i> = 0.01 berechenbar:
+
*Damit ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die relative H&auml;ufigkeit&nbsp; $h_0$&nbsp; von der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_0 = 0.5$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig um mehr als&nbsp; $0.01$&nbsp; abweicht,&nbsp; mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar:
 
:$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
 
:$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
{\rm Min}[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)] \hspace{0.15cm}\underline{= 0.975}.$$
+
{\rm Min}\big[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)\big] \hspace{0.15cm}\underline{= 97.5\%}.$$
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:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Mit <i>p</i><sub>Bernoulli</sub> = 1 &ndash; 0.99 = 0.01 und <i>&epsilon;</i> = 0.001 gilt wiederum nach dem Gesetz der gro&szlig;en Zahlen:
+
'''(5)'''&nbsp; Mit&nbsp; $p_{\rm Bernoulli} = 1 - 0.99 = 0.01$&nbsp; und&nbsp; $\varepsilon = 0.001$&nbsp; gilt wiederum nach dem Gesetz der gro&szlig;en Zahlen:
 
:$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot  \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$
 
:$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot  \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$
:Aufgel&ouml;st nach <i>N</i> erh&auml;lt man:
+
*Aufgel&ouml;st nach&nbsp; $N$&nbsp; erh&auml;lt man:
 
:$$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8
 
:$$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8
 
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
 
\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
{\it N}_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25\cdot 10^8}.$$
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{\it N}_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 2.5\cdot 10^9}.$$
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
  
[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^ 2.1 Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit ^]]
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[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^2.1 Vom Experiment zur Zufallsgröße^]]

Aktuelle Version vom 3. Dezember 2021, 14:13 Uhr

Wertdiskret oder wertkontinuierlich?

Rechts sind fünf Signalverläufe dargestellt.  Die ersten drei Signale  $\rm (A)$,  $\rm (B)$  und  $\rm (C)$  sind periodisch und damit auch deterministisch, die beiden unteren Signale haben stochastischen Charakter.

Der Momentanwert dieser Signale  $x(t)$  wird jeweils als eine Zufallsgröße aufgefasst.  Im Einzelnen sind dargestellt:

$\rm (A)$:   ein dreieckförmiges periodisches Signal,

$\rm (B)$:   das Signal  $\rm (A)$  nach Einweggleichrichtung,

$\rm (C)$:   ein rechteckförmiges periodisches Signal,

$\rm (D)$:   ein rechteckförmiges Zufallssignal,

$\rm (E)$:   das Zufallssignal  $\rm (D)$  nach  AMI-Codierung;  
            hierbei bleibt die „Null” erhalten, während eine jede „Eins” alternierend mit   $+2\hspace{0.03cm}\rm V$  und   $-2\hspace{0.03cm} \rm V$   codiert wird.



Hinweis:



Fragebogen

1

Bei welchen Signalen beschreibt der Momentanwert eine diskrete Zufallsgröße?
Überlegen Sie sich auch die jeweilige Stufenzahl  $M$.

Signal $\rm (A)$,
Signal $\rm (B)$,
Signal $\rm (C)$,
Signal $\rm (D)$,
Signal $\rm (E)$.

2

Bei welchen Signalen ist der Momentanwert eine  (ausschließlich)  kontinuierliche Zufallsgröße?

Signal $\rm (A)$,
Signal $\rm (B)$,
Signal $\rm (C)$,
Signal $\rm (D)$,
Signal $\rm (E)$.

3

Welche Zufallsgrößen besitzen einen diskreten und einen kontinuierlichen Anteil?

Signal $\rm (A)$,
Signal $\rm (B)$,
Signal $\rm (C)$,
Signal $\rm (D)$,
Signal $\rm (E)$.

4

Für das Signal  $\rm (D)$  wird die relative Häufigkeit  $h_0$  empirisch über  $100\hspace{0.03cm}000$  Binärsymbole ermittelt.
Benennen Sie eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit,  dass der ermittelte Wert zwischen  $0.49$  und  $0.51$  liegt?

${\rm Min\big[\ Pr(0.49}≤h_0≤0.51)\ \big] \ = \ $

 $\%$

5

Wieviele Symbole  $(N_\min)$  müsste man für diese Untersuchung heranziehen,  damit sichergestellt wird,
dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis  „Die so ermittelte Häufigkeit liegt zwischen  $0.499$  und  $0.501$”  größer als  $99\%$  ist?

$N_\min \ = \ $

$\ \cdot 10^9$


Musterlösung

(1)  Richtig sind die  Lösungsvorschläge 3, 4 und 5:

  • Die Zufallsgrößen  $\rm (C)$  und  $\rm (D)$  sind binär  $(M= 2)$,
  • während die Zufallsgröße  $\rm (E)$  dreiwertig ist   $(M= 3)$.


(2)  Richtig ist allein der  Lösungsvorschlag 1:

  • Die Zufallsgröße  $\rm (A)$  ist wertkontinuierlich und kann alle Werte zwischen  $\pm 2 \hspace{0.03cm} \rm V$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen.
  • Alle anderen Zufallsgrößen sind wertdiskret.


(3)  Richtig ist allein der  Lösungsvorschlag 2:

  • Nur die Zufallsgröße  $\rm (B)$  hat einen diskreten Anteil bei  $0\hspace{0.03cm}\rm V$  und
  • außerdem noch eine kontinuierliche Komponente  (zwischen  $0\hspace{0.03cm} \rm V$  und  $+2\hspace{0.03cm}\rm V)$.


(4)  Nach dem Bernoullischen Gesetz der großen Zahlen gilt:

$$\rm Pr\left(|\it h_{\rm 0} - \it p_{\rm 0}|\ge\it\varepsilon\right)\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}} = {\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernouilli}.$$
  • Damit ist die Wahrscheinlichkeit,  dass die relative Häufigkeit  $h_0$  von der Wahrscheinlichkeit  $p_0 = 0.5$  betragsmäßig um mehr als  $0.01$  abweicht,  mit $\varepsilon = 0.01$ berechenbar:
$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli} = \rm\frac{1}{4\cdot 100000\cdot 0.01^2}=\rm 2.5\% \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\rm Min}\big[({\rm Pr}(0.49 \le h_0 \le 0.51)\big] \hspace{0.15cm}\underline{= 97.5\%}.$$


(5)  Mit  $p_{\rm Bernoulli} = 1 - 0.99 = 0.01$  und  $\varepsilon = 0.001$  gilt wiederum nach dem Gesetz der großen Zahlen:

$${\it p}_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\le\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot \it N\cdot\it \varepsilon^{\rm 2}}.$$
  • Aufgelöst nach  $N$  erhält man:
$$N\ge\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\it p_{\rm \hspace{0.01cm}Bernoulli}\cdot\it\varepsilon^{\rm 2}}=\rm \frac{1}{4\cdot 0.01\cdot 0.001^{2}}=\rm 0.25\cdot 10^8 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\it N}_{\rm min} \hspace{0.15cm}\underline{= 2.5\cdot 10^9}.$$