Aufgaben:Aufgabe 2.1: ZSB-AM mit Cosinus? Oder mit Sinus?: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten die Amplitudenmodulation des Quellensignals $q(t)$ mit dem Trägersignal $z(t)$. Diese Signale sind wie folgt gegeben:
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Wir betrachten die Amplitudenmodulation des Quellensignals  $q(t)$  mit dem Trägersignal  $z(t)$.  Die Signale sind wie folgt gegeben:
$$q(t)  =  A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm},$$
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:$$q(t)  =  A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm},$$
$$z(t)  =  \hspace{0.15cm}1 \hspace{0.13cm} \cdot \hspace{0.1cm}\cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
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:$$z(t)  =  \hspace{0.15cm}1 \hspace{0.13cm} \cdot \hspace{0.1cm}\cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
Bekannt ist die Trägerfrequenz mit $f_T = 40 kHz$. Die weiteren Systemparameter $A_N$, $f_N$, $ϕ_N$ und $ϕ_T$ sollen in dieser Aufgabe ermittelt werden.
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Bekannt ist die Trägerfrequenz mit  $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$.  Die weiteren Systemparameter  $A_{\rm N}$,  $f_{\rm N}$,  $ϕ_{\rm N}$  und  $ϕ_{\rm T}$  sollen in dieser Aufgabe ermittelt werden.
  
Gegeben ist weiter das Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals $s_+(t)$ am Ausgang des Modulators. Dieses lautet (siehe Grafik):
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Gegeben ist weiter das Spektrum  $S_+(f)$  des analytischen Signals  $s_+(t)$  am Ausgang des Modulators.  Dieses lautet  (siehe Grafik):
$$S_+(f) = {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{30} )+ {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{50} )\hspace{0.05cm}.$$
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:$$S_+(f) = {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{30} )+ {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{50} )\hspace{0.05cm}.$$
Hierbei sind die Abkürzungen $f_30 = 30 kHz$ und $f_50 = 50 kHz$ verwendet. Zur Erinnerung: Das Spektrum $S_+(f)$ erhält man aus $S(f)$, indem man die Anteile bei negativen Frequenzen abschneidet und bei positiven Frequenzen verdoppelt.
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Hierbei sind die Abkürzungen $f_{30} = 30\text{ kHz}$  und  $f_{50} = 50\text{ kHz}$  verwendet.  
  
'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation Kapitel 2.1]. Gegeben sind folgende trigonometrischen Zusammenhänge:
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Zur Erinnerung:   Das Spektrum  $S_+(f)$  erhält man aus  $S(f)$,  indem man
$$\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)  =  \frac{1}{2} \cdot \left[ \cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\right] \hspace{0.05cm}, \\ \cos(90^{\circ}- \hspace{0.05cm} \alpha)  =  \sin(\alpha) \hspace{0.05cm}, \\ \cos(90^{\circ}+ \hspace{0.05cm} \alpha)  =  -\sin(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
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*die Anteile bei negativen Frequenzen abschneidet und
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*bei positiven Frequenzen verdoppelt.
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Hinweise:
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten   [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich|Beschreibung im Frequenzbereich]]  und   [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Zeitbereich|Beschreibung im Zeitbereich]].
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*Gegeben sind folgende trigonometrischen Zusammenhänge:
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:$$\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)  =  {1}/{2} \cdot \big[ \cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\big ] \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \cos(90^{\circ}- \hspace{0.05cm} \alpha)  =  \sin(\alpha) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}  \cos(90^{\circ}+ \hspace{0.05cm} \alpha)  =  -\sin(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
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{Ermitteln Sie das Spektrum $S(f)$. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
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{Ermitteln Sie das Spektrum &nbsp;$S(f)$.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
 
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+ $S(f)$ besteht aus vier Diracfunktionen.
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+ $S(f)$&nbsp; besteht aus vier Diracfunktionen.
- Alle Diracgewichte haben den gleichen Betrag 2 V.
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- Alle Diracgewichte haben den gleichen Betrag&nbsp; $2\text{ V}$.
 
+ Alle Diracgewichte sind imaginär.
 
+ Alle Diracgewichte sind imaginär.
  
 
   
 
   
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{Wie lautet das modulierte Signal &nbsp;$s(t)$?&nbsp; Welche Aussage trifft zu?
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+ Es handelt sich um ZSB–AM ohne Träger.
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+ Es handelt sich um ZSB–AM ohne Träger&nbsp; &rArr; &nbsp; "DSB-AM mit Trägerunterdrückung".
 
- Es handelt sich um ZSB–AM mit Träger.
 
- Es handelt sich um ZSB–AM mit Träger.
  
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{Geben Sie die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$&nbsp; an.
 
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$f_{\rm N} \ = \ $ { 10 3% } $\ \text{kHz}$
  
 
{Bestimmen Sie die Phasen von Quellen– und Trägersignal.
 
{Bestimmen Sie die Phasen von Quellen– und Trägersignal.
 
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{Wie groß ist die Amplitude des Nachrichtensignals?
 
{Wie groß ist die Amplitude des Nachrichtensignals?
 
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$A_N$ = { 4 3% } $\text{V}$
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$A_{\rm N} \ = \ $ { 4 3% } $\ \text{V}$
  
  
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===Musterlösung===
 
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'''1.'''Bei positiven Frequenzen erhält man $S_+(f)$ aus $S(f)$ durch Verdopplung. Daraus folgt, dass die Impulsgewichte von $S(f)$ nur jeweils $j · 1 V$ sein können. Aufgrund des Zuordnungssatzes muss $S(f)$ eine ungerade Funktion sein. Deshalb besitzt $S(f)$ noch zwei weitere Diracfunktionen bei $–f_30$ und $–f_50$, jeweils mit dem Gewicht: $–j · 1 V$:
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Antworten 1 und 3</u>:
$$S(f) = 1\,{\rm V} \cdot \left[ {\rm j}\cdot \delta ( f - f_{30} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{30} )+ {\rm j} \cdot \delta ( f - f_{50} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{50} )\right] \hspace{0.05cm}.$$
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*Bei positiven Frequenzen erhält man&nbsp; $S_+(f)$&nbsp; aus&nbsp; $S(f)$&nbsp; durch Verdoppelung.  
Richtig sind somit die Antworten 1 und 3.
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*Daraus folgt,&nbsp; dass die Impulsgewichte von&nbsp; $S(f)$&nbsp; nur jeweils&nbsp; ${\rm j} · 1 \text{ V}$&nbsp; sind.  
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*Aufgrund des Zuordnungssatzes muss&nbsp; $S(f)$&nbsp; eine ungerade Funktion sein.  
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*Deshalb besitzt&nbsp; $S(f)$&nbsp; noch zwei weitere Diracfunktionen bei&nbsp; $f = -f_{30}$&nbsp; und&nbsp; $f = -f_{50}$,&nbsp; jeweils mit dem Gewicht&nbsp; $-{\rm j} · 1 \text{ V}$:
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:$$S(f) = 1\,{\rm V} \cdot \big[ {\rm j}\cdot \delta ( f - f_{30} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{30} )+ {\rm j} \cdot \delta ( f - f_{50} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{50} )\big] \hspace{0.05cm}.$$
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'''(2)'''&nbsp; Die Fourierrücktransformation von&nbsp; $S(f)$&nbsp; führt mit&nbsp; $ω_{30} = 2π · f_{30}$&nbsp; und&nbsp; $ω_{50} = 2πf_{50}$&nbsp;  zu folgendem Signal:
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:$$ s(t) = -2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 30} t )-2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 50} t )\hspace{0.05cm}.$$
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*Dieses enthält keinen Anteil bei der Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$,&nbsp; so dass die&nbsp; <u>erste Aussage</u>&nbsp; zutrifft.
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'''(3)'''&nbsp; Bei ZSB–AM ohne Träger beinhaltet&nbsp; $s(t)$&nbsp; nur die beiden Frequenzen $f_{\rm T} - f_{\rm N}$&nbsp; und &nbsp; $f_{\rm T} + f_{\rm N}$.
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*Daraus folgt mit $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$&nbsp; für die Nachrichtenfrequenz: &nbsp; $f_{\rm N} \hspace{0.05cm}\underline {= 10\ \rm  kHz}.$
  
'''2.''' Die Fourierrücktransformation von $S(f)$ führt zum Signal: (mit $ω_30 = 2π · f_30$ und $ω_50 = 2πf_50$)
 
$$ s(t) = -2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 30} t )-2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 50} t )\hspace{0.05cm}.$$
 
Dieser enthält keinen Anteil bei $f_T = 40 kHz$, so dass die erste Aussage zutrifft.
 
  
  
'''3.''' Bei ZSB–AM ohne Träger beinhaltet $s(t)$ nur die beiden Frequenzen $f_T – f_N$ und $f_T + f_N$. Daraus folgt mit $f_T = 40 kHz$ für die Nachrichtenfrequenz: $f_N = 10 kHz$.
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'''(4)'''&nbsp; Bei ZSB–AM ohne Träger gilt:
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:$$s(t) =  q(t) \cdot z(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\cdot \cos(\omega_{\rm T} t + \phi_{\rm T})$$
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:$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} s(t) =  \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot \left[ \cos\left((\omega_{\rm T} +\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N}\right) + \cos\left((\omega_{\rm T} -\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N}\right) \right] \hspace{0.05cm}.$$
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*Ein Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; zeigt,&nbsp; dass gelten muss:
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:$$\cos(\omega_{\rm 30} \cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N})  =  -\sin(\omega_{\rm 30} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$
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:$$\cos(\omega_{\rm 50} \cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N})  =  -\sin(\omega_{\rm 50} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$
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*Beide Gleichungen sind gleichzeitig nur mit der Phase&nbsp; $ϕ_{\rm N} \hspace{0.05cm}\underline {= 0}$&nbsp; zu erfüllen.
 +
*Aus der letzten angegebenen trigonometrischen Beziehung folgt außerdem&nbsp; $ϕ_{\rm T} \hspace{0.05cm}\underline {= 90^\circ} = π/2$.
  
  
'''4.'''Bei ZSB–AM ohne Träger gilt:
 
$$s(t)  =  q(t) \cdot z(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\cdot \cos(\omega_{\rm T} t + \phi_{\rm T}) \\  =  \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot \left[ \cos\left((\omega_{\rm T} +\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N}\right) + \cos\left((\omega_{\rm T} -\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N}\right) \right] \hspace{0.05cm}.$$
 
Ein Vergleich mit dem Ergebnis aus b) zeigt, dass gelten muss:
 
$$\cos(\omega_{\rm 30} \cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N})  =  -\sin(\omega_{\rm 30} \cdot t )\hspace{0.05cm},\\ \cos(\omega_{\rm 50} \cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N})  =  -\sin(\omega_{\rm 50} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$
 
Beide Gleichungen sind gleichzeitig nur mit der Phase $ϕ_N = 0$ zu erfüllen. Aus der letzten angegebenen trigonometrischen Beziehung folgt außerdem $ϕ_T= 90° = π/2$.
 
  
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'''(5)'''&nbsp; Ein Vergleich der Ergebnisse aus&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(4)'''&nbsp; führt auf&nbsp; $A_{\rm N} \hspace{0.05cm}\underline {= 4 \ \rm V}$.&nbsp;
  
'''5.'''Ein Vergleich der Ergebnisse aus b) und d) führt auf $A_N = 4 V$. Damit lauten die Gleichungen der an der Modulation beteiligten Signale:
+
Damit lauten die Gleichungen der an der Modulation beteiligten Signale:
$$q(t )  =  4\,{\rm V} \cdot \cos (2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.05cm}, \\ z(t)  =  1 \cdot \cos (2 \pi \cdot 40\,{\rm kHz} \cdot t + 90^{\circ}) = -\sin (2 \pi \cdot 40\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm}.$$
+
:$$q(t )  =  4\,{\rm V} \cdot \cos (2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.05cm},$$
 +
:$$z(t)  =  1 \cdot \cos (2 \pi \cdot 40\,{\rm kHz} \cdot t + 90^{\circ}) = -\sin (2 \pi \cdot 40\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm}.$$
  
  

Aktuelle Version vom 29. November 2021, 14:21 Uhr

Analytisches Signal – Spektrum

Wir betrachten die Amplitudenmodulation des Quellensignals  $q(t)$  mit dem Trägersignal  $z(t)$.  Die Signale sind wie folgt gegeben:

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm},$$
$$z(t) = \hspace{0.15cm}1 \hspace{0.13cm} \cdot \hspace{0.1cm}\cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

Bekannt ist die Trägerfrequenz mit  $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$.  Die weiteren Systemparameter  $A_{\rm N}$,  $f_{\rm N}$,  $ϕ_{\rm N}$  und  $ϕ_{\rm T}$  sollen in dieser Aufgabe ermittelt werden.

Gegeben ist weiter das Spektrum  $S_+(f)$  des analytischen Signals  $s_+(t)$  am Ausgang des Modulators.  Dieses lautet  (siehe Grafik):

$$S_+(f) = {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{30} )+ {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{50} )\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei sind die Abkürzungen $f_{30} = 30\text{ kHz}$  und  $f_{50} = 50\text{ kHz}$  verwendet.

Zur Erinnerung:   Das Spektrum  $S_+(f)$  erhält man aus  $S(f)$,  indem man

  • die Anteile bei negativen Frequenzen abschneidet und
  • bei positiven Frequenzen verdoppelt.




Hinweise:

$$\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) = {1}/{2} \cdot \big[ \cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\big ] \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \cos(90^{\circ}- \hspace{0.05cm} \alpha) = \sin(\alpha) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \cos(90^{\circ}+ \hspace{0.05cm} \alpha) = -\sin(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$


Fragebogen

1

Ermitteln Sie das Spektrum  $S(f)$.  Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

$S(f)$  besteht aus vier Diracfunktionen.
Alle Diracgewichte haben den gleichen Betrag  $2\text{ V}$.
Alle Diracgewichte sind imaginär.

2

Wie lautet das modulierte Signal  $s(t)$?  Welche Aussage trifft zu?

Es handelt sich um ZSB–AM ohne Träger  ⇒   "DSB-AM mit Trägerunterdrückung".
Es handelt sich um ZSB–AM mit Träger.

3

Geben Sie die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$  an.

$f_{\rm N} \ = \ $

$\ \text{kHz}$

4

Bestimmen Sie die Phasen von Quellen– und Trägersignal.

$ϕ_{\rm N} \ = \ $

$\ \text{Grad}$
$ϕ_{\rm T} \ = \ $

$\ \text{Grad}$

5

Wie groß ist die Amplitude des Nachrichtensignals?

$A_{\rm N} \ = \ $

$\ \text{V}$


Musterlösung

(1)  Richtig sind die  Antworten 1 und 3:

  • Bei positiven Frequenzen erhält man  $S_+(f)$  aus  $S(f)$  durch Verdoppelung.
  • Daraus folgt,  dass die Impulsgewichte von  $S(f)$  nur jeweils  ${\rm j} · 1 \text{ V}$  sind.
  • Aufgrund des Zuordnungssatzes muss  $S(f)$  eine ungerade Funktion sein.
  • Deshalb besitzt  $S(f)$  noch zwei weitere Diracfunktionen bei  $f = -f_{30}$  und  $f = -f_{50}$,  jeweils mit dem Gewicht  $-{\rm j} · 1 \text{ V}$:
$$S(f) = 1\,{\rm V} \cdot \big[ {\rm j}\cdot \delta ( f - f_{30} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{30} )+ {\rm j} \cdot \delta ( f - f_{50} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{50} )\big] \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Die Fourierrücktransformation von  $S(f)$  führt mit  $ω_{30} = 2π · f_{30}$  und  $ω_{50} = 2πf_{50}$  zu folgendem Signal:

$$ s(t) = -2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 30} t )-2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 50} t )\hspace{0.05cm}.$$
  • Dieses enthält keinen Anteil bei der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$,  so dass die  erste Aussage  zutrifft.


(3)  Bei ZSB–AM ohne Träger beinhaltet  $s(t)$  nur die beiden Frequenzen $f_{\rm T} - f_{\rm N}$  und   $f_{\rm T} + f_{\rm N}$.

  • Daraus folgt mit $f_{\rm T} = 40\text{ kHz}$  für die Nachrichtenfrequenz:   $f_{\rm N} \hspace{0.05cm}\underline {= 10\ \rm kHz}.$


(4)  Bei ZSB–AM ohne Träger gilt:

$$s(t) = q(t) \cdot z(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\cdot \cos(\omega_{\rm T} t + \phi_{\rm T})$$
$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} s(t) = \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot \left[ \cos\left((\omega_{\rm T} +\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N}\right) + \cos\left((\omega_{\rm T} -\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N}\right) \right] \hspace{0.05cm}.$$
  • Ein Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  (2)  zeigt,  dass gelten muss:
$$\cos(\omega_{\rm 30} \cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N}) = -\sin(\omega_{\rm 30} \cdot t )\hspace{0.05cm},$$
$$\cos(\omega_{\rm 50} \cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N}) = -\sin(\omega_{\rm 50} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$
  • Beide Gleichungen sind gleichzeitig nur mit der Phase  $ϕ_{\rm N} \hspace{0.05cm}\underline {= 0}$  zu erfüllen.
  • Aus der letzten angegebenen trigonometrischen Beziehung folgt außerdem  $ϕ_{\rm T} \hspace{0.05cm}\underline {= 90^\circ} = π/2$.


(5)  Ein Vergleich der Ergebnisse aus  (2)  und  (4)  führt auf  $A_{\rm N} \hspace{0.05cm}\underline {= 4 \ \rm V}$. 

Damit lauten die Gleichungen der an der Modulation beteiligten Signale:

$$q(t ) = 4\,{\rm V} \cdot \cos (2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.05cm},$$
$$z(t) = 1 \cdot \cos (2 \pi \cdot 40\,{\rm kHz} \cdot t + 90^{\circ}) = -\sin (2 \pi \cdot 40\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm}.$$