Aufgaben:Aufgabe 2.1: ZSB-AM mit Cosinus? Oder mit Sinus?: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten die Amplitudenmodulation des Quellensignals $q(t)$ mit dem Trägersignal $z(t)$. Diese Signale sind wie folgt gegeben:
 
Wir betrachten die Amplitudenmodulation des Quellensignals $q(t)$ mit dem Trägersignal $z(t)$. Diese Signale sind wie folgt gegeben:
$$q(t)  =  A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm},$$
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:$$q(t)  =  A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm},$$
$$z(t)  =  \hspace{0.15cm}1 \hspace{0.13cm} \cdot \hspace{0.1cm}\cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
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:$$z(t)  =  \hspace{0.15cm}1 \hspace{0.13cm} \cdot \hspace{0.1cm}\cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
Bekannt ist die Trägerfrequenz mit $f_T = 40 kHz$. Die weiteren Systemparameter $A_N$, $f_N$, $ϕ_N$ und $ϕ_T$ sollen in dieser Aufgabe ermittelt werden.
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Bekannt ist die Trägerfrequenz mit $f_{\rm T} = 40$ kHz. Die weiteren Systemparameter $A_{\rm N}$, $f_{\rm N}$, $ϕ_{\rm N}$ und $ϕ_{\rm T}$ sollen in dieser Aufgabe ermittelt werden.
  
 
Gegeben ist weiter das Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals $s_+(t)$ am Ausgang des Modulators. Dieses lautet (siehe Grafik):
 
Gegeben ist weiter das Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals $s_+(t)$ am Ausgang des Modulators. Dieses lautet (siehe Grafik):
$$S_+(f) = {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{30} )+ {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{50} )\hspace{0.05cm}.$$
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:$$S_+(f) = {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{30} )+ {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{50} )\hspace{0.05cm}.$$
Hierbei sind die Abkürzungen $f_30 = 30 kHz$ und $f_50 = 50 kHz$ verwendet. Zur Erinnerung: Das Spektrum $S_+(f)$ erhält man aus $S(f)$, indem man die Anteile bei negativen Frequenzen abschneidet und bei positiven Frequenzen verdoppelt.
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Hierbei sind die Abkürzungen $f_{30} = 30$ kHz und $f_{50} = 50$ kHz verwendet. Zur Erinnerung: Das Spektrum $S_+(f)$ erhält man aus $S(f)$, indem man die Anteile bei negativen Frequenzen abschneidet und bei positiven Frequenzen verdoppelt.
  
'''Hinweis:''' Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation Kapitel 2.1]. Gegeben sind folgende trigonometrischen Zusammenhänge:
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$$\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)  =  \frac{1}{2} \cdot \left[ \cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\right] \hspace{0.05cm}, \\ \cos(90^{\circ}- \hspace{0.05cm} \alpha)  =  \sin(\alpha) \hspace{0.05cm}, \\ \cos(90^{\circ}+ \hspace{0.05cm} \alpha)  =  -\sin(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
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''Hinweise:''  
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation|Zweiseitenband-Amplitudenmodulation]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Frequenzbereich|Beschreibung im Frequenzbereich]] und  [[Modulationsverfahren/Zweiseitenband-Amplitudenmodulation#Beschreibung_im_Zeitbereich|Beschreibung im Zeitbereich]].
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*Gegeben sind folgende trigonometrischen Zusammenhänge:
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:$$\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)  =  {1}/{2} \cdot \left[ \cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\right] \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \cos(90^{\circ}- \hspace{0.05cm} \alpha)  =  \sin(\alpha) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm}  \cos(90^{\circ}+ \hspace{0.05cm} \alpha)  =  -\sin(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
  
  
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+ $S(f)$ besteht aus vier Diracfunktionen.
 
+ $S(f)$ besteht aus vier Diracfunktionen.
- Alle Diracgewichte haben den gleichen Betrag 2 V.
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- Alle Diracgewichte haben den gleichen Betrag $2$ V.
 
+ Alle Diracgewichte sind imaginär.
 
+ Alle Diracgewichte sind imaginär.
  
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- Es handelt sich um ZSB–AM mit Träger.
 
- Es handelt sich um ZSB–AM mit Träger.
  
{Geben Sie die Nachrichtenfrequenz fN an.
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{Geben Sie die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ an.
 
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$f_{\rm N} \ = \ $ { 10 3% } $\ \text{kHz}$
  
 
{Bestimmen Sie die Phasen von Quellen– und Trägersignal.
 
{Bestimmen Sie die Phasen von Quellen– und Trägersignal.
 
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{Wie groß ist die Amplitude des Nachrichtensignals?
 
{Wie groß ist die Amplitude des Nachrichtensignals?
 
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$A_N$ = { 4 3% } $\text{V}$
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$A_{\rm N} \ = \ $ { 4 3% } $\ \text{V}$
  
  

Version vom 22. Juni 2017, 12:13 Uhr

Spektrum des analytischen Signals

Wir betrachten die Amplitudenmodulation des Quellensignals $q(t)$ mit dem Trägersignal $z(t)$. Diese Signale sind wie folgt gegeben:

$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\hspace{0.05cm},$$
$$z(t) = \hspace{0.15cm}1 \hspace{0.13cm} \cdot \hspace{0.1cm}\cos(2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

Bekannt ist die Trägerfrequenz mit $f_{\rm T} = 40$ kHz. Die weiteren Systemparameter $A_{\rm N}$, $f_{\rm N}$, $ϕ_{\rm N}$ und $ϕ_{\rm T}$ sollen in dieser Aufgabe ermittelt werden.

Gegeben ist weiter das Spektrum $S_+(f)$ des analytischen Signals $s_+(t)$ am Ausgang des Modulators. Dieses lautet (siehe Grafik):

$$S_+(f) = {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{30} )+ {\rm j}\cdot 2\,{\rm V} \cdot \delta ( f - f_{50} )\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei sind die Abkürzungen $f_{30} = 30$ kHz und $f_{50} = 50$ kHz verwendet. Zur Erinnerung: Das Spektrum $S_+(f)$ erhält man aus $S(f)$, indem man die Anteile bei negativen Frequenzen abschneidet und bei positiven Frequenzen verdoppelt.


Hinweise:

$$\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) = {1}/{2} \cdot \left[ \cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\right] \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \cos(90^{\circ}- \hspace{0.05cm} \alpha) = \sin(\alpha) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} \cos(90^{\circ}+ \hspace{0.05cm} \alpha) = -\sin(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.


Fragebogen

1

Ermitteln Sie das Spektrum $S(f)$. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

$S(f)$ besteht aus vier Diracfunktionen.
Alle Diracgewichte haben den gleichen Betrag $2$ V.
Alle Diracgewichte sind imaginär.

2

Wie lautet das modulierte Signal $s(t)$? Welche Aussage trifft zu?

Es handelt sich um ZSB–AM ohne Träger.
Es handelt sich um ZSB–AM mit Träger.

3

Geben Sie die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ an.

$f_{\rm N} \ = \ $

$\ \text{kHz}$

4

Bestimmen Sie die Phasen von Quellen– und Trägersignal.

$ϕ_{\rm N} \ = \ $

$\ \text{Grad}$
$ϕ_{\rm T} \ = \ $

$\ \text{Grad}$

5

Wie groß ist die Amplitude des Nachrichtensignals?

$A_{\rm N} \ = \ $

$\ \text{V}$


Musterlösung

1.Bei positiven Frequenzen erhält man $S_+(f)$ aus $S(f)$ durch Verdopplung. Daraus folgt, dass die Impulsgewichte von $S(f)$ nur jeweils $j · 1 V$ sein können. Aufgrund des Zuordnungssatzes muss $S(f)$ eine ungerade Funktion sein. Deshalb besitzt $S(f)$ noch zwei weitere Diracfunktionen bei $–f_30$ und $–f_50$, jeweils mit dem Gewicht: $–j · 1 V$: $$S(f) = 1\,{\rm V} \cdot \left[ {\rm j}\cdot \delta ( f - f_{30} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{30} )+ {\rm j} \cdot \delta ( f - f_{50} )-{\rm j} \cdot \delta ( f + f_{50} )\right] \hspace{0.05cm}.$$ Richtig sind somit die Antworten 1 und 3.


2. Die Fourierrücktransformation von $S(f)$ führt zum Signal: (mit $ω_30 = 2π · f_30$ und $ω_50 = 2πf_50$) $$ s(t) = -2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 30} t )-2\,{\rm V} \cdot \sin(\omega_{\rm 50} t )\hspace{0.05cm}.$$ Dieser enthält keinen Anteil bei $f_T = 40 kHz$, so dass die erste Aussage zutrifft.


3. Bei ZSB–AM ohne Träger beinhaltet $s(t)$ nur die beiden Frequenzen $f_T – f_N$ und $f_T + f_N$. Daraus folgt mit $f_T = 40 kHz$ für die Nachrichtenfrequenz: $f_N = 10 kHz$.


4.Bei ZSB–AM ohne Träger gilt: $$s(t) = q(t) \cdot z(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t + \phi_{\rm N})\cdot \cos(\omega_{\rm T} t + \phi_{\rm T}) \\ = \frac{A_{\rm N}}{2} \cdot \left[ \cos\left((\omega_{\rm T} +\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N}\right) + \cos\left((\omega_{\rm T} -\omega_{\rm N})\cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N}\right) \right] \hspace{0.05cm}.$$ Ein Vergleich mit dem Ergebnis aus b) zeigt, dass gelten muss: $$\cos(\omega_{\rm 30} \cdot t + \phi_{\rm T}- \phi_{\rm N}) = -\sin(\omega_{\rm 30} \cdot t )\hspace{0.05cm},\\ \cos(\omega_{\rm 50} \cdot t + \phi_{\rm T}+ \phi_{\rm N}) = -\sin(\omega_{\rm 50} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$ Beide Gleichungen sind gleichzeitig nur mit der Phase $ϕ_N = 0$ zu erfüllen. Aus der letzten angegebenen trigonometrischen Beziehung folgt außerdem $ϕ_T= 90° = π/2$.


5.Ein Vergleich der Ergebnisse aus b) und d) führt auf $A_N = 4 V$. Damit lauten die Gleichungen der an der Modulation beteiligten Signale: $$q(t ) = 4\,{\rm V} \cdot \cos (2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t) \hspace{0.05cm}, \\ z(t) = 1 \cdot \cos (2 \pi \cdot 40\,{\rm kHz} \cdot t + 90^{\circ}) = -\sin (2 \pi \cdot 40\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm}.$$