Aufgaben:Aufgabe 2.1: Wahlnachfrage: Unterschied zwischen den Versionen

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Zu einer Bürgermeisterwahl treten die drei Kandidaten  $A$,  $B$  und  $C$  an.  
 
Zu einer Bürgermeisterwahl treten die drei Kandidaten  $A$,  $B$  und  $C$  an.  
*Gewählt ist derjenige Kandidat, der mehr als  $50\%$  der abgegebenen Stimmen erhält.  
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*Gewählt ist derjenige Kandidat,  der mehr als  $50\%$  der abgegebenen Stimmen erhält.  
*Gelingt dies im ersten Wahlgang keinem der drei Bewerber, so kommt es zwischen den beiden Kandidaten mit den meisten Stimmen zu einer Stichwahl.
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$\text{Maximum:  Pr(keine Stichwahl)} \ = \ $  { 15.6 3% } $\ \rm \%$
 
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{Wir setzen nun voraus,&nbsp; dass Kandidat&nbsp; $A$&nbsp; tats&auml;chlich genau&nbsp; $48\%$&nbsp; der Stimmen erh&auml;lt. <br>Wie gro&szlig; ist damit&nbsp; (h&ouml;chstens)&nbsp; die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass Kandidat&nbsp; $C$&nbsp; die Stichwahl erreicht?
 
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'''(1)'''&nbsp; Man sollte dieser Nachfrage zumindest glauben, dass&nbsp; $\underline{\text{Kandidat} \ A}$&nbsp; wahrscheinlich gewinnt.
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'''(1)'''&nbsp; Man sollte dieser Nachfrage zumindest glauben,&nbsp; dass&nbsp; $\underline{\text{Kandidat} \ A}$&nbsp; wahrscheinlich gewinnt.
  
  
'''(2)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass die Nachfrage&nbsp; $(h_{\rm A})$&nbsp; vom endg&uuml;ltigen Ergebnis&nbsp; $(p_{\rm A})$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig um mehr als&nbsp; $2\%$&nbsp; abweicht, ist nach dem Bernouillischen Gesetz der gro&szlig;en Zahlen mit&nbsp; $N = 2000$:
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'''(2)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die Nachfrage&nbsp; $(h_{\rm A})$&nbsp; vom endg&uuml;ltigen Ergebnis&nbsp; $(p_{\rm A})$&nbsp; betragsm&auml;&szlig;ig um mehr als&nbsp; $2\%$&nbsp; abweicht,&nbsp; ist nach dem Bernouillischen Gesetz der gro&szlig;en Zahlen mit&nbsp; $N = 2000$:
 
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:$${\rm Pr}(|h_{\rm A} - p_{\rm A}| \geq 0.02) \leq \frac{1}{4 \cdot 2000\cdot 0.02^2} = 0.3125.$$
*Diese Wahrscheinlichkeit beinhaltet die beiden gleichwahrscheinlichen F&auml;lle, dass&nbsp; $p_{\rm A} \le 46\%$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm A} \ge 50\%$&nbsp; ist.  
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*Diese Wahrscheinlichkeit beinhaltet die beiden gleichwahrscheinlichen F&auml;lle,&nbsp; dass&nbsp; $p_{\rm A} \le 46\%$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm A} \ge 50\%$&nbsp; ist.  
 
*Nur im letzten Fall gibt es keine Stichwahl:
 
*Nur im letzten Fall gibt es keine Stichwahl:
 
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*Die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat&nbsp; $C$&nbsp; mindestens&nbsp; $26\%$&nbsp; der Stimmen erh&auml;lt, ist nicht gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $3.9\%$.
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*Die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass Kandidat&nbsp; $C$&nbsp; mindestens&nbsp; $26\%$&nbsp; der Stimmen erh&auml;lt,&nbsp; ist nicht gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $3.9\%$.
 
*Da&nbsp; $p_{\rm A} = 0.48$&nbsp; fest vorausgesetzt wurde, gilt in diesem Fall gleichzeitig&nbsp; $p_{\rm B} \le 0.26$.  
 
*Da&nbsp; $p_{\rm A} = 0.48$&nbsp; fest vorausgesetzt wurde, gilt in diesem Fall gleichzeitig&nbsp; $p_{\rm B} \le 0.26$.  
*Da es sich hier um kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;en handelt, sind&nbsp;  $(p_{\rm C} \ge 0.26, \; p_{\rm B} \le 0.26)$&nbsp;  und&nbsp; $(p_{\rm C} > 0.26, \; p_{\rm B}< 0.26)$&nbsp; gleich.  
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*Da es sich hier um kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;en handelt,&nbsp; sind&nbsp;  $(p_{\rm C} \ge 0.26, \; p_{\rm B} \le 0.26)$&nbsp;  und&nbsp; $(p_{\rm C} > 0.26, \; p_{\rm B}< 0.26)$&nbsp; gleich.  
*Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $C$&nbsp; die Stichwahl erreicht,  ebenfalls auf&nbsp; $3.9\%$&nbsp; beschr&auml;nkt:
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*Damit ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $C$&nbsp; die Stichwahl erreicht,&nbsp; ebenfalls auf&nbsp; $3.9\%$&nbsp; beschr&auml;nkt:
 
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Aktuelle Version vom 3. Dezember 2021, 13:38 Uhr

Ergebnis der Wahlnachfrage

Zu einer Bürgermeisterwahl treten die drei Kandidaten  $A$,  $B$  und  $C$  an.

  • Gewählt ist derjenige Kandidat,  der mehr als  $50\%$  der abgegebenen Stimmen erhält.
  • Gelingt dies im ersten Wahlgang keinem der drei Bewerber,  so kommt es zwischen den beiden Kandidaten mit den meisten Stimmen zu einer Stichwahl.


Direkt nach Schließung der Wahllokale wird das Ergebnis einer Wahlnachfrage vorgelegt:

Kandidat  $A$:   $48\%$,         Kandidat  $B$:   $30\%$,         Kandidat  $C$:   $22\%$.

Diese Nachfrage basiert auf einer Umfrage unter lediglich  $N = 2000$  der insgesamt  $N' = 800 \hspace{0.05cm}000$  Wählerinnen und Wähler.

Gehen Sie bei der Beantwortung der nachfolgenden Fragen von folgenden Voraussetzungen aus:

  • Die bei der Wahl von den Kandidaten  $A$,  $B$  und  $C$  tatsächlich erzielten (prozentualen) Stimmen können als die Wahrscheinlichkeiten  $p_{\rm A}$,  $p_{\rm B}$  und  $p_{\rm C}$  aufgefasst werden, obwohl auch diese selbst als relative Häufigkeiten  $($bezogen auf  $N')$  ermittelt werden.
  • Die  $2000$  ausgewählten Wähler repräsentieren die gesamte Wählerschaft im statistischen Sinne ideal und haben bei der Wahlnachfrage wahrheitsgemäß geantwortet.
  • Nach dem  Bernoullischen Gesetz der großen Zahlen  sollen die Ergebnisse dieser Nachfrage als relative Häufigkeiten aufgefasst werden:
$$h_{\rm A} = 0.48,\hspace{0.8cm}h_{\rm B} = 0.30,\hspace{0.9cm} h_{\rm C} = 0.22.$$




Hinweise:


Fragebogen

1

Wen erwarten Sie nach dieser Nachfrage als zukünftigen Bürgermeister?

Kandidat  $A$,
Kandidat  $B$,
Kandidat  $C$.

2

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,  dass keine Stichwahl erforderlich sein wird?  Geben Sie hierfür die obere Schranke an.

$\text{Maximum: Pr(keine Stichwahl)} \ = \ $

$\ \rm \%$

3

Wir setzen nun voraus,  dass Kandidat  $A$  tatsächlich genau  $48\%$  der Stimmen erhält.
Wie groß ist damit  (höchstens)  die Wahrscheinlichkeit,  dass Kandidat  $C$  die Stichwahl erreicht?

$\text{Maximum: Pr(}C \ \text{in Stichwahl)}\ = \ $

$\ \rm \%$


Musterlösung

(1)  Man sollte dieser Nachfrage zumindest glauben,  dass  $\underline{\text{Kandidat} \ A}$  wahrscheinlich gewinnt.


(2)  Die Wahrscheinlichkeit,  dass die Nachfrage  $(h_{\rm A})$  vom endgültigen Ergebnis  $(p_{\rm A})$  betragsmäßig um mehr als  $2\%$  abweicht,  ist nach dem Bernouillischen Gesetz der großen Zahlen mit  $N = 2000$:

$${\rm Pr}(|h_{\rm A} - p_{\rm A}| \geq 0.02) \leq \frac{1}{4 \cdot 2000\cdot 0.02^2} = 0.3125.$$
  • Diese Wahrscheinlichkeit beinhaltet die beiden gleichwahrscheinlichen Fälle,  dass  $p_{\rm A} \le 46\%$  und  $p_{\rm A} \ge 50\%$  ist.
  • Nur im letzten Fall gibt es keine Stichwahl:
$${\rm Pr(keine\hspace{0.1cm}Stichwahl)} \le 0.156 \hspace{0.15cm}\underline{=15.6 \%}.$$


(3)  Mit  $\varepsilon = 4\%$  $($ergibt sich aus  $0.26 -0.22)$  liefert das Gesetz der großen Zahlen:

$${\rm Pr}\left(|h_{\rm C}-p_{\rm C}|\ge 0.04\right)\le\rm\frac{1}{4\cdot 2000\cdot 0.04^2}=0.078.$$

Daraus folgt:

  • Die Wahrscheinlichkeit,  dass Kandidat  $C$  mindestens  $26\%$  der Stimmen erhält,  ist nicht größer als  $3.9\%$.
  • Da  $p_{\rm A} = 0.48$  fest vorausgesetzt wurde, gilt in diesem Fall gleichzeitig  $p_{\rm B} \le 0.26$.
  • Da es sich hier um kontinuierliche Zufallsgrößen handelt,  sind  $(p_{\rm C} \ge 0.26, \; p_{\rm B} \le 0.26)$  und  $(p_{\rm C} > 0.26, \; p_{\rm B}< 0.26)$  gleich.
  • Damit ist die Wahrscheinlichkeit,  dass  $C$  die Stichwahl erreicht,  ebenfalls auf  $3.9\%$  beschränkt:
$${\rm Pr(}C\rm \hspace{0.1cm}erreicht\hspace{0.1cm}Stichwahl)\le 0.039 \hspace{0.15cm}\underline{= 3.9 \%}.$$