Aufgabe 2.1: Linear? - Nichtlinear?

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Zusammengeschaltetes System

Wir betrachten die skizzierte Anordnung mit Eingang  $x(t)$  und Ausgang  $z(t)$:

  • Das System  $S_1$  ist durch folgende Gleichung beschreibbar:
$$y(t) = x(t) + {1 \, \rm V}^{\rm -1} \cdot x^2(t) .$$
  • Über das System $S_2$ mit Eingang $y(t)$ und Ausgang $z(t)$ ist nichts weiter bekannt.
  • Das System  $S_3$  ist die Zusammenschaltung von $S_1$ und $S_2$.


An den Eingang wird eine Schwingung mit der Frequenz $f_0 = 5 \ \rm kHz$ angelegt:

$$x(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) .$$

Damit erhält man am Ausgang des Gesamtsystems $S_3$:

$$z(t) = {1 \, \rm V} \cdot {\rm sin}(2\pi f_0 t ) .$$



Hinweise:

  • Gegeben ist die folgende trigonometrische Beziehung:
$$\cos^2(\alpha) = {1}/{2} \cdot \big[ 1 + \cos(2\alpha)\big].$$


Fragebogen

1

Wie lautet das Signal  $y(t)$? Welcher Signalwert ergibt sich zum Zeitnullpunkt?

$y(t = 0) \ = \ $

$\ \rm V$

2

Welche richtigen Schlüsse könnte ein Beobachter ziehen, der nur die Signale  $x(t)$  und  $z(t)$  kennt, aber nicht den Aufbau von $S_3$?

$S_3$  ist ein ideales System.
$S_3$  ist ein verzerrungsfreies System.
$S_3$  ist ein linear verzerrendes System.
$S_3$  ist ein nichtlinear verzerrendes System.

3

Welche Schlüsse müsste der Beobachter ziehen, wenn ihm alle Informationen von der Angabenseite bekannt sind?

$S_2$  ist ein verzerrungsfreies System.
$S_2$  ist ein linear verzerrendes System.
$S_2$  ist ein nichtlinear verzerrendes System.

4

Welches Signal  $z(t)$  könnte sich mit der Eingangsfrequenz  $f_0 = 10 \ \rm kHz$ ergeben?

Das Signal $z(t)$ ist für alle Zeiten Null.
Ein Signal der Form  $z(t) = A \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot 10 \ {\rm kHz} \cdot t ) ,$ mit $A \ne 0.$
Ein Signal der Form  $z(t) = A \cdot {\rm cos}(2\pi \cdot 20 \ {\rm kHz} \cdot t ) ,$ mit $A \ne 0.$


Musterlösung

(1)  Aufgrund der Kennlinie mit linearem und quadratischem Anteil gilt:

$$y(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) + {1 \, \rm V}^{\rm -1} \cdot ({2 \, \rm V})^2 \cdot {\rm cos}^2(2\pi f_0 t ) = {2 \, \rm V} \cdot \big[ 1 + {\rm cos}(2\pi \cdot f_0 \cdot t ) +{\rm cos}(2\pi \cdot 2f_0 \cdot t ) \big].$$

Zum Zeitpunkt $t= 0$ tritt somit der Signalwert 6 V auf.


(2)  Möglich sind die Alternativen 2 und 3:

  • Ein ideales System kommt wegen $z(t) ≠ x(t)$ nicht in Frage.
  • Bei nur einer Eingangsfrequenz $(f_0 = 5 \ \rm kHz)$ im Testsignal ist keine Aussage möglich, ob eine zweite Frequenzkomponente mit $f \ne f_0$ ebenfalls um  $\alpha = 0.5$  gedämpft und um  $\tau = T_0/4 = 50 \ µ\rm s$  verzögert würde.
  • Ergäbe sich für die zweite Frequenz  $\alpha = 0.5$  und  $\tau = T_0/4 = 50 \ µ \rm s$, so könnte ein verzerrungsfreies System vorliegen.
  • Ergäbe sich für die zweite Frequenzkomponente  $\alpha \ne 0.5$  und/oder  $\tau \ne T_0/4$, so wäre das System linear verzerrend.
  • Die letzte Alternative müsste der Beobachter – obwohl teilweise zutreffend – logischerweise verneinen.


(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Der Beobachter würde erkennen, dass $S_2$ ein linear verzerrendes System ist.
  • Bei einem verzerrungsfreien System müsste $z(t)$ zusätzlich noch eine Gleichkomponente und eine  $10 \ \rm kHz$–Komponente beinhalten, bei einem nichtlinear verzerrenden System noch größere Frequenzanteile $($bei Vielfachen von  $10 \ \rm kHz)$.


(4)  In diesem Fall würde gelten:

$$y(t) = {2 \, \rm V} \cdot \big[ 1 + {\rm cos}(2\pi \cdot 10 \ {\rm kHz} \cdot t ) +{\rm cos}(2\pi \cdot 20 \ {\rm kHz} \cdot t ) \big].$$

Das heißt:   $Y(f)$ würde Spektrallinien bei $f = 0$, $10 \ \rm kHz$ und $20 \ \rm kHz$ aufweisen.

Die auf der Angabenseite beschriebene Messung mit $f_0 = 5 \ \rm kHz$ hat aber gezeigt, dass $H_2(f = 0) = H_2(f = 10 \ {\rm kHz}) = 0$ gelten muss. Die einzig mögliche Signalform ist somit

$$z(t) = {2 \, \rm V} \cdot H_2 (f = {20 \, \rm kHz})\cdot {\rm cos}(2\pi \cdot {20 \, \rm kHz} \cdot t ) .$$

Möglich sind also die Lösungsvorschläge 1 und 3, je nachdem, ob das System $S_2$ die Frequenz $20 \ {\rm kHz}$ unterdrückt oder durchlässt.