Aufgabe 2.1: Gruppe, Ring, Körper

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Im Theorieteil zu diesem Kapitel 2.1 wurden verschiedene algebraische Begriffe definiert. Für das Folgende setzen wir voraus, dass alle Mengen aus jeweils $q$ Elementen bestehen, wobei hier entweder $q = 3$ oder $q = 4$ gelten soll. Dann gilt:

• Eine algebraische Gruppe ist eine endliche Menge $G = \{0, \, 1, \, \ ... \ , \ q-1\}$ zusammen mit einer zwischen allen Elementen definierten Verknüpfungsvorschrift. Eine additive Gruppe wird mit $(G, \ +)$ bezeichnet, eine multiplikative mit $(G, \ \cdot)$.

• Ein algebraischer Ring kennzeichnet eine Menge $R = \{0, \, 1, \ ... \ , \ q-1\}$ zusammen mit zwei darin definierten Rechenoperationen, nämlich der Addition („$+$”) und der Multiplikation („$\cdot$”).

• Ein algebraischer Körper ist ein Ring, bei dem zusätzlich die Division erlaubt ist und stets das Kommutativgesetz erfüllt wird.

Da wir hier ausschließlich endliche Mengen betrachten, ist ein Körper (englisch: Field) gleichzeitig ein Galoisfeld ${\rm GF}(q)$ der Ordnung $q$.

Eine wesentliche Eigenschaft des Galoisfeldes

$${\rm GF}(q) = \{\hspace{0.1cm}z_0,\hspace{0.1cm} z_1,\hspace{0.1cm} ... , \hspace{0.1cm}z_{q-1}\}$$

ist, dass es mindestens ein primitives Element besitzt. Ein Element $z_i ≠ 0$ bezeichnet man als primitiv, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist ($k$ ist ganzzahlig):

$$z_i^k \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}q = \left\{ \begin{array}{c} \ne 1\\ 1 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm}1 \le k < q-1 \\ {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm}k = q-1 \\ \end{array} \hspace{0.35cm} \Rightarrow \hspace{0.35cm} z_i \hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm}ein\hspace{0.15cm} primitives \hspace{0.15cm}Element} \hspace{0.05cm}. $$

Nur bei einem primitiven Element $z_i$ ergeben sich durch die Rechenoparation $z_i^k$ (mit $k = 1, \, 2, \, 3, \, ...)$ alle Elemente des Galoisfeldes mit Ausnahme des Nullelementes $z_0 = 0$.

Hinweise:

• Die Aufgabe behandelt das Themengebiet des Kapitels Einige Grundlagen der Algebra.
• Beachten Sie, dass bei Gruppe, Ring und Körper mit jeweils $q$ Elementen die Rechenoperationen „$+$” und „$\cdot$” jeweils modulo $q$ zu verstehen sind.

Fragebogen

1

Welche der angegebenen Tabellen beschreiben eine Gruppe?

	Tabelle A3,
	Tabelle M3,
	Tabelle A3 und Tabelle M3 gemeinsam,
	Tabelle A4 und Tabelle M4 gemeinsam.

2

Welche der angegebenen Tabellen beschreiben einen Ring?

	Tabelle A3,
	Tabelle M3,
	Tabelle A3 und Tabelle M3 gemeinsam,
	Tabelle A4 und Tabelle M4 gemeinsam,
	Tabelle A3 und Tabelle M4 gemeinsam.

3

Welche der Tabellen beschreiben einen Körper bzw. ein Galoisfeld?

	Tabelle A3,
	Tabelle M3,
	Tabelle A3 und Tabelle M3 gemeinsam,
	Tabelle A4 und Tabelle M4 gemeinsam.

4

Welche Elemente der Menge $\{0, \, 1, \, 2\} \Rightarrow q = 3$ sind primitiv?

	$z_0 = 0$,
	$z_1 = 1$,
	$z_2 = 2.$

5

Welche Elemente der Menge $\{0, \, 1, \, 2, \, 3} \Rightarrow q = 4$ sind primitiv?

	$z_0 = 0$,
	$z_1 = 1,$
	$z_2 = 2,$
	$z_3 = 3$.

Musterlösung

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