Aufgaben:Aufgabe 2.1: Gruppe, Ring, Körper: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | [[Datei:P_ID2490__KC_A_2_1.png|right|frame| | + | [[Datei:P_ID2490__KC_A_2_1.png|right|frame|„Addition” und „Multiplikation” <br> für $q = 3$ und $q = 4$]] |
| − | Im [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra|Theorieteil]] zu diesem Kapitel wurden verschiedene algebraische Begriffe definiert. Für das Folgende setzen wir voraus, dass alle Mengen aus jeweils $q$ Elementen bestehen, wobei hier entweder $q = 3$ oder $q = 4$ gelten soll. Dann gilt: | + | Im [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra|"Theorieteil"]] zu diesem Kapitel wurden verschiedene algebraische Begriffe definiert. Für das Folgende setzen wir voraus, dass alle Mengen aus jeweils $q$ Elementen bestehen, wobei hier entweder $q = 3$ oder $q = 4$ gelten soll. Dann gilt: |
| − | * Eine [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_einer_algebraischen_Gruppe|algebraische Gruppe]] ist eine endliche Menge $G = \{0, \, 1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , \ q-1\}$ zusammen mit einer zwischen allen Elementen definierten Verknüpfungsvorschrift. | + | * Eine [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_einer_algebraischen_Gruppe|"algebraische Gruppe"]] ist eine endliche Menge $G = \{0, \, 1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , \ q-1\}$ zusammen mit einer zwischen allen Elementen definierten Verknüpfungsvorschrift. $(G, \ +)$ bezeichnet eine additive Gruppe, $(G, \ \cdot)$ eine multiplikative. |
| − | * Ein [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_eines_algebraischen_Rings|algebraischer Ring]] kennzeichnet eine Menge $R = \{0, \, 1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , \ q-1\}$ zusammen mit zwei darin definierten Rechenoperationen, nämlich der Addition („$+$”) und der Multiplikation („$\cdot$”). | + | * Ein [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_und_Beispiele_eines_algebraischen_Rings|"algebraischer Ring"]] kennzeichnet eine Menge $R = \{0, \, 1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , \ q-1\}$ zusammen mit zwei darin definierten Rechenoperationen, nämlich der Addition („$+$”) und der Multiplikation („$\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}$”). |
| − | * Ein [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe|algebraischer Körper]] ist ein Ring, bei dem zusätzlich die Division erlaubt ist und | + | * Ein [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Gruppe.2C_Ring.2C_K.C3.B6rper_.E2.80.93_algebraische_Grundbegriffe|"algebraischer Körper"]] ist ein Ring, bei dem zusätzlich die Division erlaubt ist und das Kommutativgesetz erfüllt wird. |
| − | Da wir hier ausschließlich endliche Mengen betrachten, ist ein Körper (englisch: | + | Da wir hier ausschließlich endliche Mengen betrachten, ist ein Körper (englisch: "Field") gleichzeitig ein [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra#Definition_eines_Galoisfeldes|"Galoisfeld"]] ${\rm GF}(q)$ der Ordnung $q$. |
| − | Eine wesentliche Eigenschaft des Galoisfeldes | + | Eine wesentliche Eigenschaft des Galoisfeldes ${\rm GF}(q) = \{\hspace{0.1cm}z_0,\hspace{0.1cm} z_1,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , \hspace{0.1cm}z_{q-1}\}$ ist, dass es mindestens ein primitives Element besitzt. Ein Element $z_i ≠ 0$ bezeichnet man dann als "primitiv", wenn die folgende Bedingung erfüllt ist $(k$ ist ganzzahlig$)$: |
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| − | ist, dass es mindestens ein primitives Element besitzt. Ein Element $z_i ≠ 0$ bezeichnet man als primitiv, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist ( | ||
:$$z_i^k \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}q = \left\{ \begin{array}{c} \ne 1\\ | :$$z_i^k \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}q = \left\{ \begin{array}{c} \ne 1\\ | ||
1 \end{array} \right.\quad | 1 \end{array} \right.\quad | ||
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| − | Nur bei einem primitiven Element $z_i$ ergeben sich durch die Rechenoparation $z_i^k$ (mit $k = 1, \, 2, \, 3, \, \hspace{0.05cm}\text{...} )$ alle Elemente des Galoisfeldes mit Ausnahme des Nullelementes $z_0 = 0$. | + | Nur bei einem primitiven Element $z_i$ ergeben sich durch die Rechenoparation $z_i^k$ $($mit $k = 1, \, 2, \, 3, \, \hspace{0.05cm}\text{...} )$ alle Elemente des Galoisfeldes mit Ausnahme des Nullelementes $z_0 = 0$. |
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| + | Hinweise: | ||
| + | * Die Aufgabe behandelt das Themengebiet des Kapitels [[Kanalcodierung/Einige_Grundlagen_der_Algebra| "Einige Grundlagen der Algebra"]]. | ||
| − | + | * Beachten Sie, dass bei Gruppe, Ring und Körper mit jeweils $q$ Elementen die Rechenoperationen „$+$” und „$\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}$” jeweils modulo $q$ zu verstehen sind. | |
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| − | * Beachten Sie, dass bei Gruppe, Ring und Körper mit jeweils $q$ Elementen die Rechenoperationen „$+$” und „$\cdot$” jeweils modulo $q$ zu verstehen sind. | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
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| − | {Welche der angegebenen Tabellen beschreiben eine Gruppe? | + | {Welche der angegebenen Tabellen beschreiben eine '''Gruppe'''? |
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| − | + Tabelle A3, | + | + Tabelle $\rm A3$, |
| − | + Tabelle M3, | + | + Tabelle $\rm M3$, |
| − | - Tabelle A3 und Tabelle M3 gemeinsam, | + | - Tabelle $\rm A3$ und Tabelle $\rm M3$ gemeinsam, |
| − | - Tabelle A4 und Tabelle M4 gemeinsam. | + | - Tabelle $\rm A4$ und Tabelle $\rm M4$ gemeinsam. |
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| − | - Tabelle A3 und Tabelle M4 gemeinsam. | + | - Tabelle $\rm A3$ und Tabelle $\rm M4$ gemeinsam. |
| − | {Welche der Tabellen beschreiben einen Körper bzw. ein Galoisfeld? | + | {Welche der Tabellen beschreiben einen Körper bzw. ein '''Galoisfeld'''? |
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| − | {Welche Elemente der Menge $\{0, \, 1, \, 2\} \ \Rightarrow \ q = 3$ sind primitiv? | + | {Welche Elemente der Menge $\{0, \, 1, \, 2\} \ \Rightarrow \ q = 3$ sind "primitiv"? |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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| − | '''(1)''' Mit der Zahlenmenge $Z_3 = \{0, \, 1, \, 2\}$ beschreibt | + | '''(1)''' Mit der Zahlenmenge $Z_3 = \{0, \, 1, \, 2\}$ beschreibt |
| − | * die Tabelle A3 die additive Gruppe $(Z_3, \, +)$, | + | * die Tabelle A3 die additive Gruppe $(Z_3, \, +)$, |
| − | * die Tabelle M3 die multiplikative Gruppe $(Z_3, \, \cdot)$. | + | * die Tabelle M3 die multiplikative Gruppe $(Z_3, \, \cdot)$. |
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| + | ⇒ <u>Lösungsvorschlag 1 und 2</u>. | ||
| − | + | Die Lösungsvorschläge 3 und 4 treffen dagegen hier nicht zu, da bei einer Gruppe jeweils nur eine Rechenoperation (Addition oder Multiplikation) definiert ist. | |
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| + | '''(2)''' Auf einem algebraischen Ring sind im Gegensatz dazu zwei Rechenoperationen definiert. Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 3 und 4</u>: | ||
| + | * Die Tabellen A3 und M3 beschreiben gemeinsam den Ring $(Z_3, \, +, \, \cdot)$. | ||
| + | * Die Tabellen A4 und M4 beschreiben gemeinsam den Ring $(Z_4, \, +, \, \cdot)$. | ||
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| + | Dagegen beschreiben A3 und M4 keinen Ring, da sie sich auf unterschiedliche Mengen beziehen. | ||
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| − | + | '''(3)''' Jeder Körper ist gleichzeitig auch ein Ring, aber nicht jeder Ring ist auch ein Körper: | |
| − | + | *Bei letzterem ist auch die Division definiert und es gibt für jedes Element auch die '''multiplikative Inverse'''. | |
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| − | * | + | *Ein '''endlicher Zahlenring''' der Ordnung $q$ (also mit $q$ Elementen) ist nur dann ein Körper, wenn $q$ eine Primzahl ist. |
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| + | *Man spricht dann auch von einem '''Galoisfeld''' ${\rm GF}(q)$. | ||
| − | Ein Galoisfeld $\rm GF(4)$ ergibt sich zum Beispiel durch Erweiterung der binären Menge $\{0, \, 1\}$ zur Menge $\{0, \, 1, \, \alpha, \, 1+\alpha\}$. Genaueres hierzu finden Sie auf der Seite [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers|Beispiel eines Erweiterungskörpers]]. | + | Richtig ist also die <u>Antwort 3</u>: |
| + | *Die Rechenoperationen gemäß den Tabellen A3 und M3 ergeben zusammen das Galoisfeld ${\rm GF}(3)$. | ||
| + | *Dagegen führen die Tabellen A4 (Addition) und M4 Multiplikation) zusammen mit der Menge $\{0, \, 1, \, 2, \, 3\}$ nicht zum Galoisfeld ${\rm GF}(4)$. | ||
| + | *Eine Bedingung für ein Galoisfeld ist, dass es für jedes Element $z_i$ eine multiplikative Inverse ${\rm Inv}_{\rm M}{(z_i)}$ gibt, so dass die Gleichung $z_i \cdot {\rm Inv}_{\rm M}(z_i) = 1$ erfüllt ist. | ||
| + | *Nach Tabelle M4 existiert $\rm Inv_M(2)$ aber nicht. In der dritten Zeile gibt es keine „$1$”. | ||
| + | *Ein Galoisfeld $\rm GF(4)$ ergibt sich zum Beispiel durch Erweiterung der binären Menge $\{0, \, 1\}$ zur Menge $\{0, \, 1, \, \alpha, \, 1+\alpha\}$. Genaueres hierzu finden Sie auf der Seite [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper#GF.2822.29_.E2.80.93_Beispiel_eines_Erweiterungsk.C3.B6rpers|"Beispiel eines Erweiterungskörpers"]]. | ||
| − | '''(4)''' Das Nullelement ist nie ein primitives Element. Auch $z_1 = 1$ ist kein primitives Element, denn dann müsste mit $q = 3$ gelten: | + | '''(4)''' Das Nullelement ist nie ein primitives Element. Auch $z_1 = 1$ ist kein primitives Element, denn dann müsste mit $q = 3$ gelten: |
:$$z_1^1 \hspace{0.15cm}{\rm mod\hspace{0.15cm}} 3\hspace{0.1cm} \ne 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}z_1^2 \hspace{0.15cm}{\rm mod\hspace{0.15cm}} 3\hspace{0.1cm} = 1 | :$$z_1^1 \hspace{0.15cm}{\rm mod\hspace{0.15cm}} 3\hspace{0.1cm} \ne 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}z_1^2 \hspace{0.15cm}{\rm mod\hspace{0.15cm}} 3\hspace{0.1cm} = 1 | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Dagegen ist $z_2 = 2$ ein primitives Element wegen | + | Dagegen ist $z_2 = 2$ ein primitives Element wegen |
:$$2^1 \hspace{0.15cm}{\rm mod\hspace{0.15cm}} 3\hspace{0.1cm} = 2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}2^2 \hspace{0.15cm}{\rm mod\hspace{0.15cm}} 3\hspace{0.1cm} = 1 | :$$2^1 \hspace{0.15cm}{\rm mod\hspace{0.15cm}} 3\hspace{0.1cm} = 2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}2^2 \hspace{0.15cm}{\rm mod\hspace{0.15cm}} 3\hspace{0.1cm} = 1 | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. | + | Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. |
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| − | '''(5)''' Die Menge $\{0, \, 1, \, 2, \, 3\}$ besitzt <u>kein primitives Element</u> und erfüllt dementsprechend auch nicht die Erfordernisse eines Galoisfeldes: | + | '''(5)''' Die Menge $\{0, \, 1, \, 2, \, 3\}$ besitzt <u>kein primitives Element</u> und erfüllt dementsprechend auch nicht die Erfordernisse eines Galoisfeldes: |
:$$z_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1\text{:}\hspace{0.35cm} 1^1 = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}1^2 = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}1^3 = 1\hspace{0.05cm},$$ | :$$z_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1\text{:}\hspace{0.35cm} 1^1 = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}1^2 = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}1^3 = 1\hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$z_2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2\text{:}\hspace{0.35cm} 2^1 = 2\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}2^2 \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}4 = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}2^3 \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}4 = 0\hspace{0.05cm},$$ | :$$z_2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2\text{:}\hspace{0.35cm} 2^1 = 2\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}2^2 \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}4 = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}2^3 \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}4 = 0\hspace{0.05cm},$$ | ||
Aktuelle Version vom 27. August 2022, 15:44 Uhr
„Addition” und „Multiplikation”
für $q = 3$ und $q = 4$
für $q = 3$ und $q = 4$
Im "Theorieteil" zu diesem Kapitel wurden verschiedene algebraische Begriffe definiert. Für das Folgende setzen wir voraus, dass alle Mengen aus jeweils $q$ Elementen bestehen, wobei hier entweder $q = 3$ oder $q = 4$ gelten soll. Dann gilt:
- Eine "algebraische Gruppe" ist eine endliche Menge $G = \{0, \, 1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , \ q-1\}$ zusammen mit einer zwischen allen Elementen definierten Verknüpfungsvorschrift. $(G, \ +)$ bezeichnet eine additive Gruppe, $(G, \ \cdot)$ eine multiplikative.
- Ein "algebraischer Ring" kennzeichnet eine Menge $R = \{0, \, 1, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , \ q-1\}$ zusammen mit zwei darin definierten Rechenoperationen, nämlich der Addition („$+$”) und der Multiplikation („$\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}$”).
- Ein "algebraischer Körper" ist ein Ring, bei dem zusätzlich die Division erlaubt ist und das Kommutativgesetz erfüllt wird.
Da wir hier ausschließlich endliche Mengen betrachten, ist ein Körper (englisch: "Field") gleichzeitig ein "Galoisfeld" ${\rm GF}(q)$ der Ordnung $q$.
Eine wesentliche Eigenschaft des Galoisfeldes ${\rm GF}(q) = \{\hspace{0.1cm}z_0,\hspace{0.1cm} z_1,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , \hspace{0.1cm}z_{q-1}\}$ ist, dass es mindestens ein primitives Element besitzt. Ein Element $z_i ≠ 0$ bezeichnet man dann als "primitiv", wenn die folgende Bedingung erfüllt ist $(k$ ist ganzzahlig$)$:
- $$z_i^k \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}q = \left\{ \begin{array}{c} \ne 1\\ 1 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm}1 \le k < q-1 \\ {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm}k = q-1 \\ \end{array} \hspace{0.35cm} \Rightarrow \hspace{0.35cm} z_i \hspace{0.15cm}{\rm ist \hspace{0.15cm}ein\hspace{0.15cm} primitives \hspace{0.15cm}Element} \hspace{0.05cm}. $$
Nur bei einem primitiven Element $z_i$ ergeben sich durch die Rechenoparation $z_i^k$ $($mit $k = 1, \, 2, \, 3, \, \hspace{0.05cm}\text{...} )$ alle Elemente des Galoisfeldes mit Ausnahme des Nullelementes $z_0 = 0$.
Hinweise:
- Die Aufgabe behandelt das Themengebiet des Kapitels "Einige Grundlagen der Algebra".
- Beachten Sie, dass bei Gruppe, Ring und Körper mit jeweils $q$ Elementen die Rechenoperationen „$+$” und „$\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}$” jeweils modulo $q$ zu verstehen sind.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Mit der Zahlenmenge $Z_3 = \{0, \, 1, \, 2\}$ beschreibt
- die Tabelle A3 die additive Gruppe $(Z_3, \, +)$,
- die Tabelle M3 die multiplikative Gruppe $(Z_3, \, \cdot)$.
⇒ Lösungsvorschlag 1 und 2.
Die Lösungsvorschläge 3 und 4 treffen dagegen hier nicht zu, da bei einer Gruppe jeweils nur eine Rechenoperation (Addition oder Multiplikation) definiert ist.
(2) Auf einem algebraischen Ring sind im Gegensatz dazu zwei Rechenoperationen definiert. Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 3 und 4:
- Die Tabellen A3 und M3 beschreiben gemeinsam den Ring $(Z_3, \, +, \, \cdot)$.
- Die Tabellen A4 und M4 beschreiben gemeinsam den Ring $(Z_4, \, +, \, \cdot)$.
Dagegen beschreiben A3 und M4 keinen Ring, da sie sich auf unterschiedliche Mengen beziehen.
(3) Jeder Körper ist gleichzeitig auch ein Ring, aber nicht jeder Ring ist auch ein Körper:
- Bei letzterem ist auch die Division definiert und es gibt für jedes Element auch die multiplikative Inverse.
- Ein endlicher Zahlenring der Ordnung $q$ (also mit $q$ Elementen) ist nur dann ein Körper, wenn $q$ eine Primzahl ist.
- Man spricht dann auch von einem Galoisfeld ${\rm GF}(q)$.
Richtig ist also die Antwort 3:
- Die Rechenoperationen gemäß den Tabellen A3 und M3 ergeben zusammen das Galoisfeld ${\rm GF}(3)$.
- Dagegen führen die Tabellen A4 (Addition) und M4 Multiplikation) zusammen mit der Menge $\{0, \, 1, \, 2, \, 3\}$ nicht zum Galoisfeld ${\rm GF}(4)$.
- Eine Bedingung für ein Galoisfeld ist, dass es für jedes Element $z_i$ eine multiplikative Inverse ${\rm Inv}_{\rm M}{(z_i)}$ gibt, so dass die Gleichung $z_i \cdot {\rm Inv}_{\rm M}(z_i) = 1$ erfüllt ist.
- Nach Tabelle M4 existiert $\rm Inv_M(2)$ aber nicht. In der dritten Zeile gibt es keine „$1$”.
- Ein Galoisfeld $\rm GF(4)$ ergibt sich zum Beispiel durch Erweiterung der binären Menge $\{0, \, 1\}$ zur Menge $\{0, \, 1, \, \alpha, \, 1+\alpha\}$. Genaueres hierzu finden Sie auf der Seite "Beispiel eines Erweiterungskörpers".
(4) Das Nullelement ist nie ein primitives Element. Auch $z_1 = 1$ ist kein primitives Element, denn dann müsste mit $q = 3$ gelten:
- $$z_1^1 \hspace{0.15cm}{\rm mod\hspace{0.15cm}} 3\hspace{0.1cm} \ne 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}z_1^2 \hspace{0.15cm}{\rm mod\hspace{0.15cm}} 3\hspace{0.1cm} = 1 \hspace{0.05cm}.$$
Dagegen ist $z_2 = 2$ ein primitives Element wegen
- $$2^1 \hspace{0.15cm}{\rm mod\hspace{0.15cm}} 3\hspace{0.1cm} = 2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}2^2 \hspace{0.15cm}{\rm mod\hspace{0.15cm}} 3\hspace{0.1cm} = 1 \hspace{0.05cm}.$$
Richtig ist also der Lösungsvorschlag 3.
(5) Die Menge $\{0, \, 1, \, 2, \, 3\}$ besitzt kein primitives Element und erfüllt dementsprechend auch nicht die Erfordernisse eines Galoisfeldes:
- $$z_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1\text{:}\hspace{0.35cm} 1^1 = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}1^2 = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}1^3 = 1\hspace{0.05cm},$$
- $$z_2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2\text{:}\hspace{0.35cm} 2^1 = 2\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}2^2 \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}4 = 0 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}2^3 \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}4 = 0\hspace{0.05cm},$$
- $$z_3 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 3\text{:}\hspace{0.35cm} 3^1 = 3\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}3^2 \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}4 = 1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm}3^3 \hspace{0.15cm}{\rm mod}\hspace{0.15cm}4 = 3\hspace{0.05cm}.$$
