Aufgabe 2.16: Entscheidungskriterien bei BDD

Wir gehen von einem Blockcode der Länge $n$ mit Symbolen $c_i ∈ {\rm GF}(2^m)$ aus, der bis zu $t$ Symbole korrigieren kann. Jedes mögliche Empfangswort $\underline{y}_i$ kann dann als ein Punkt in einem hochdimensionalen Raum angesehen werden. Geht man von der Basis ${\rm GF}(2) = \{0, \, 1\}$ aus, so beträgt die Dimension $n \cdot m$.

Die Grafik zeigt einen solchen Raum in stark vereinfachender 2D–Darstellung. Die Abbildung ist wie folgt zu interpretieren:

Gesendet wurde der rote Punkt $\underline{c}_j$. Alle rot umrandeten Punkte $\underline{y}_i$ in einer Hyperkugel um diesen Punkt $\underline{c}_j$ mit dem Parameter $t$ als Radius können korrigiert werden. Mit der Nomenklatur gemäß der Grafik im Theorieteil gilt dann $\underline{z}_i = \underline{c}_j$ ⇒ „Die Fehlerkorrektur ist erfolgreich&rdquo.

Bei sehr vielen Symbolfehlern kann $\underline{c}_j$ in einen blauen (oder weißblauen) Punkt $\underline{y}_j$ verfälscht werden, der zur Hyperkugel eines anderen Codewortes $\underline{c}_{k ≠ j}$ gehört. In diesem Fall trifft der Decoder eine falsche Entscheidung ⇒ „Das Empfangswort $\underline{y}_j$ wird falsch decodiert”.

Schließlich kann es wie in der unteren Skizze auch noch gelbe Punkte geben, die zu keiner Hyperkugel gehören ⇒ „Das Empfangswort $\underline{y}_j$ ist nicht decodierbar”.

In dieser Aufgabe sollen Sie entscheiden, welches der beiden Coderaumschemata geeignet ist zur Beschreibung der

Hinweis:

Die Aufgabe ergänzt die Thematik des Kapitels Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete und soll signifikante Unterschiede bei der Decodierung von Reed–Solomon–Codes und Hamming–Codes verdeutlichen.

Fragebogen

Musterlösung

(1) (2) (3) (4) (5)

	correct
	false