Aufgaben:Aufgabe 2.15Z: Nochmals RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit: Unterschied zwischen den Versionen

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Bei Verwendung eines Reed–Solomon–Codes mit der Korrekturfähigkeit $t$ und [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|Bounded Distance Decoding]] (BDD) erhält man mit
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Bei Verwendung eines Reed–Solomon–Codes mit der Korrekturfähigkeit  $t$  und  [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|Bounded Distance Decoding]]  (BDD) erhält man mit
* der Codewortlänge $n$ und
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* der Codewortlänge  $n$  und
* der Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit $\epsilon_{\rm S}$
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* der Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit  $\varepsilon_{\rm S}$
  
  
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\sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$
 
\sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$
  
In dieser Aufgabe soll die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ und verschiedene $\epsilon_{\rm S}$–Werte berechnet und angenähert werden. Obige Gleichung erinnert an die [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung|Biomialverteilung]]. Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung für die Parameter $n = 7$ (Codewortlänge) und $\epsilon_{\rm S} = 0.25$ (Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit).
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In dieser Aufgabe soll die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für den  $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$  und verschiedene  $\varepsilon_{\rm S}$–Werte berechnet und angenähert werden.  
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Obige Gleichung erinnert an die  [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung|Biomialverteilung]]. Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung für die Parameter  $n = 7$  (Codewortlänge) und  $\varepsilon_{\rm S} = 0.25$  (Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit).
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete| Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete]].
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete| Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete]].
* Zur Kontrolle können Sie das folgende interaktive Flash–Modul nutzen:
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* Zur Kontrolle können Sie das interaktive Applet  [[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)|Binomial- und Poissonverteilung]]  benutzen.
# [[Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung]]
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
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{Welche Blockfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für $\epsilon_{\rm S} = 0.1$?
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{Welche Blockfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für&nbsp; $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-1}$?
 
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$\epsilon_{\rm S} = 0.1 \text{:} \hspace{0.2cm} \rm Pr(Blockfehler) \ = \ ${ 2.57 3% } $\ \cdot 10^{-2}$
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$\rm Pr(Blockfehler) \ = \ ${ 2.57 3% } $\ \cdot 10^{-2}$
  
{Welche Blockfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für $\epsilon_{\rm S} = 0.01$?
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{Welche Blockfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für&nbsp; $\varepsilon_{\rm S} =10^{-2}$?
 
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$\epsilon_{\rm S} = 0.01 \text{:} \hspace{0.2cm} \rm Pr(Blockfehler) \ = \ ${ 3.396 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
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{Welches Ergebnis erhält man, wenn man nur den Term $f = t + 1$ berücksichtigt?
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{Welches Ergebnis erhält man für&nbsp; $\varepsilon_{\rm S} =10^{-2}$, wenn man nur den Term&nbsp; $f = t + 1$&nbsp; berücksichtigt?
 
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$\rm Näherung \text{:} \hspace{0.2cm} Pr(Blockfehler) \ = \ ${ 3.362 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
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$\rm Näherung \text{:} \hspace{0.2cm} Pr(Blockfehler) \ \approx \ ${ 3.362 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
  
{Welches Ergebnis erhält man näherungsweise für $\epsilon_{\rm S} = 10^{-3}$?
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{Welches Ergebnis erhält man näherungsweise für&nbsp; $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-3}$?
 
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$\epsilon_{\rm S} = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.2cm} \rm Pr(Blockfehler) \ = \ ${ 3.49 3% } $\ \cdot 10^{-8}$
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{Welches $\epsilon_{\rm S}$ benötigt man für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit $10^{-10}$?
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{Welches&nbsp; $\varepsilon_{\rm S}$&nbsp; benötigt man für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $10^{-10}$?
 
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${\rm Pr(Blockfehler)} = 10^{-10} \text{:} \hspace{0.2cm} \epsilon_{\rm S} \ = \ ${ 1.42 3% } $\ \cdot 10^{-4}$
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$\varepsilon_{\rm S} \ = \ ${ 1.42 3% } $\ \cdot 10^{-4}$
 
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'''(1)'''&nbsp; Für den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ ergibt sich wegen $d_{\rm min} = 5 \ \Rightarrow \ t = 2$ für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit:
 
'''(1)'''&nbsp; Für den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ ergibt sich wegen $d_{\rm min} = 5 \ \Rightarrow \ t = 2$ für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit:
 
:$${\rm Pr(Blockfehler)}  \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}
 
:$${\rm Pr(Blockfehler)}  \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}
\sum_{f = 3}^{7} {7 \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{7-f} =$$
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\sum_{f = 3}^{7} {7 \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{7-f} $$
:$$\hspace{2.875cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {7 \choose 3} \cdot 0.1^3 \cdot 0.9^4 + {7 \choose 4} \cdot 0.1^4 \cdot 0.9^3
+
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+ {7 \choose 5} \cdot 0.1^5 \cdot 0.9^2+$$
+
+ {7 \choose 5} \cdot 0.1^5 \cdot 0.9^2+
:$$ \hspace{2.875cm} \ + \ \hspace{-0.15cm} {7 \choose 6} \cdot 0.1^6 \cdot 0.9+ {7 \choose 7} \cdot 0.1^7
+
{7 \choose 6} \cdot 0.1^6 \cdot 0.9+ {7 \choose 7} \cdot 0.1^7
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Nach dieser Berechnung müssten fünf Terme berücksichtigt werden. Da aber auch
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*Nach dieser Berechnung müssten fünf Terme berücksichtigt werden. Da aber auch
 
:$${\rm Pr(Blockfehler)}  =
 
:$${\rm Pr(Blockfehler)}  =
 
\sum_{f = 0}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} = 1$$
 
\sum_{f = 0}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} = 1$$
  
 
gilt, kommt man über den nachfolgenden Rechenweg schneller zum Erfolg:
 
gilt, kommt man über den nachfolgenden Rechenweg schneller zum Erfolg:
:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - \big [ {7 \choose 0}  \cdot 0.9^7 + {7 \choose 1} \cdot 0.1 \cdot 0.9^6
+
:$${\rm Pr(Blockfehler)} =1 - \big [ {7 \choose 0}  \cdot 0.9^7 + {7 \choose 1} \cdot 0.1 \cdot 0.9^6
+ {7 \choose 2} \cdot 0.1^2 \cdot 0.9^5 \big ] =$$
+
+ {7 \choose 2} \cdot 0.1^2 \cdot 0.9^5 \big ] =1 - \big [ 0.4783 + 0.3720 + 0.1240  \big ] \hspace{0.15cm} \underline{= 2.57 \cdot 10^{-2}}
:$$\hspace{2.875cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}1 - \big [ 0.4783 + 0.3720 + 0.1240  \big ] \hspace{0.15cm} \underline{= 0.0257}
 
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(2)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe erhält man hier:
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'''(2)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe '''(1)''' erhält man hier:
 
:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - \big [ 0.99^7 + 7 \cdot 0.01 \cdot 0.99^6
 
:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - \big [ 0.99^7 + 7 \cdot 0.01 \cdot 0.99^6
+ 21 \cdot 0.01^2 \cdot 0.99^5 \big ] =$$
+
+ 21 \cdot 0.01^2 \cdot 0.99^5 \big ] =1 - \big [ 0.9321 + 0.0659 + 0.0020  \big ] \approx 0
:$$\hspace{2.875cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}1 - \big [ 0.9321 + 0.0659 + 0.0020  \big ] \approx 0
 
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Das bedeutet: Für die Wahrscheinlichkeit $\epsilon_{\rm S} = 0.01$ ist die vereinfachte Rechnung sehr fehleranfällig, weil sich für den Klammerausdruck ein Wert nahezu $1$ ergibt. Die vollständige Rechnung ergibt hier:
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*Das bedeutet: &nbsp; Für die Wahrscheinlichkeit $\varepsilon_{\rm S} = 0.01$ ist die vereinfachte Rechnung sehr fehleranfällig, weil sich für den Klammerausdruck ein Wert nahezu $1$ ergibt.  
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*Die vollständige Rechnung ergibt hier:
 
:$${\rm Pr(Blockfehler)}  \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}
 
:$${\rm Pr(Blockfehler)}  \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}
 
{7 \choose 3} \cdot 0.01^3 \cdot 0.99^4 + {7 \choose 4} \cdot 0.01^4 \cdot 0.99^3 +  
 
{7 \choose 3} \cdot 0.01^3 \cdot 0.99^4 + {7 \choose 4} \cdot 0.01^4 \cdot 0.99^3 +  
{7 \choose 5} \cdot 0.01^5 \cdot 0.99^2+$$
+
{7 \choose 5} \cdot 0.01^5 \cdot 0.99^2+  {7 \choose 6} \cdot 0.01^6 \cdot 0.99+
:$$\hspace{2.875cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {7 \choose 6} \cdot 0.01^6 \cdot 0.99+
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{7 \choose 7} \cdot 0.01^7 $$
{7 \choose 7} \cdot 0.01^7 =$$
+
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr(Blockfehler)}= 10^{-6} \cdot  
:$$\hspace{2.875cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 10^{-6} \cdot  
 
 
\big [ 33.6209 +  0.3396 + 0.0021 + ... \big ] \hspace{0.15cm} \underline{ \approx  3.396 \cdot 10^{-5}}
 
\big [ 33.6209 +  0.3396 + 0.0021 + ... \big ] \hspace{0.15cm} \underline{ \approx  3.396 \cdot 10^{-5}}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(3)'''&nbsp; Aus der Musterlösung zur Teilaufgabe (2) kann das Ergebnis direkt abgelesen werden:
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'''(3)'''&nbsp; Aus der Musterlösung zur Teilaufgabe '''(2)''' kann das Ergebnis direkt abgelesen werden:
 
:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{0.15cm}  \underline{ \approx  3.362 \cdot 10^{-5}}
 
:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{0.15cm}  \underline{ \approx  3.362 \cdot 10^{-5}}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Der relative Fehler beträgt ca. $-1\%$. Das Minuszeichen zeigt an, dass es sich hier nur um eine Näherung handelt und nicht um eine Schranke: Der Näherungswert ist etwas kleiner als der tatsächliche Wert.
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*Der relative Fehler beträgt ca. $-1\%$.  
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*Das Minuszeichen zeigt an, dass es sich hier nur um eine Näherung handelt und nicht um eine Schranke:  
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*Der Näherungswert ist etwas kleiner als der tatsächliche Wert.
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'''(4)'''&nbsp; Beschränkt man sich auf den relevanten Term $(f = 3)$, so ergibt sich für $\epsilon_{\rm S} = 0.001$:
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'''(4)'''&nbsp; Beschränkt man sich auf den relevanten Term $(f = 3)$, so ergibt sich für $\varepsilon_{\rm S} = 0.001$:
 
:$${\rm Pr(Blockfehler)}  \approx
 
:$${\rm Pr(Blockfehler)}  \approx
 
{7 \choose 3} \cdot [10^{-3}]^3 \cdot 0.999^4  \hspace{0.15cm} \underline{ \approx  3.49 \cdot 10^{-8}}
 
{7 \choose 3} \cdot [10^{-3}]^3 \cdot 0.999^4  \hspace{0.15cm} \underline{ \approx  3.49 \cdot 10^{-8}}
 
\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.05cm}.$$
  
Der relative Fehler beträgt hier nur noch etwa $-0.1\%$.
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*Der relative Fehler beträgt auch hier nur etwa $-0.1\%$.
  
  
 
'''(5)'''&nbsp; Entsprechend der hergeleiteten Näherung gilt für den betrachteten Code:
 
'''(5)'''&nbsp; Entsprechend der hergeleiteten Näherung gilt für den betrachteten Code:
:$${\rm Pr(Blockfehler)}  \approx {7 \choose 3} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^3 = 35 \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^3$$
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:$${\rm Pr(Blockfehler)}  \approx {7 \choose 3} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^3 = 35 \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^3\hspace{0.3cm}
:$$\Rightarrow  \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} = 10^{-10}: \hspace{0.4cm} {\varepsilon_{\rm S}} =  
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\Rightarrow  \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} = 10^{-10}: \hspace{0.4cm} {\varepsilon_{\rm S}} =  
 
\big ( \frac{10^{-10}}{35} \big )^{1/3} = 2.857^{1/3} \cdot 10^{-4}  
 
\big ( \frac{10^{-10}}{35} \big )^{1/3} = 2.857^{1/3} \cdot 10^{-4}  
 
\hspace{0.15cm} \underline{ \approx  1.42 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.15cm} \underline{ \approx  1.42 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$
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[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^2.6 Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete^]]
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[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^2.6 RSC&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeit^]]

Version vom 30. Mai 2019, 17:11 Uhr

Binominal–Wahrscheinlichkeiten

Bei Verwendung eines Reed–Solomon–Codes mit der Korrekturfähigkeit  $t$  und  Bounded Distance Decoding  (BDD) erhält man mit

  • der Codewortlänge  $n$  und
  • der Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit  $\varepsilon_{\rm S}$


für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit:

$${\rm Pr(Blockfehler)} = \sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe soll die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für den  $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$  und verschiedene  $\varepsilon_{\rm S}$–Werte berechnet und angenähert werden.

Obige Gleichung erinnert an die  Biomialverteilung. Die Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung für die Parameter  $n = 7$  (Codewortlänge) und  $\varepsilon_{\rm S} = 0.25$  (Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit).





Hinweise:



Fragebogen

1

Welche Blockfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für  $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-1}$?

$\rm Pr(Blockfehler) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-2}$

2

Welche Blockfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich für  $\varepsilon_{\rm S} =10^{-2}$?

$\rm Pr(Blockfehler) \ = \ $

$\ \cdot 10^{-5}$

3

Welches Ergebnis erhält man für  $\varepsilon_{\rm S} =10^{-2}$, wenn man nur den Term  $f = t + 1$  berücksichtigt?

$\rm Näherung \text{:} \hspace{0.2cm} Pr(Blockfehler) \ \approx \ $

$\ \cdot 10^{-5}$

4

Welches Ergebnis erhält man näherungsweise für  $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-3}$?

$\rm Pr(Blockfehler) \ \approx \ $

$\ \cdot 10^{-8}$

5

Welches  $\varepsilon_{\rm S}$  benötigt man für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit  $10^{-10}$?

$\varepsilon_{\rm S} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-4}$


Musterlösung

(1)  Für den $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ ergibt sich wegen $d_{\rm min} = 5 \ \Rightarrow \ t = 2$ für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit:

$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \sum_{f = 3}^{7} {7 \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{7-f} $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr(Blockfehler)} ={7 \choose 3} \cdot 0.1^3 \cdot 0.9^4 + {7 \choose 4} \cdot 0.1^4 \cdot 0.9^3 + {7 \choose 5} \cdot 0.1^5 \cdot 0.9^2+ {7 \choose 6} \cdot 0.1^6 \cdot 0.9+ {7 \choose 7} \cdot 0.1^7 \hspace{0.05cm}.$$
  • Nach dieser Berechnung müssten fünf Terme berücksichtigt werden. Da aber auch
$${\rm Pr(Blockfehler)} = \sum_{f = 0}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} = 1$$

gilt, kommt man über den nachfolgenden Rechenweg schneller zum Erfolg:

$${\rm Pr(Blockfehler)} =1 - \big [ {7 \choose 0} \cdot 0.9^7 + {7 \choose 1} \cdot 0.1 \cdot 0.9^6 + {7 \choose 2} \cdot 0.1^2 \cdot 0.9^5 \big ] =1 - \big [ 0.4783 + 0.3720 + 0.1240 \big ] \hspace{0.15cm} \underline{= 2.57 \cdot 10^{-2}} \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Analog zur Teilaufgabe (1) erhält man hier:

$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - \big [ 0.99^7 + 7 \cdot 0.01 \cdot 0.99^6 + 21 \cdot 0.01^2 \cdot 0.99^5 \big ] =1 - \big [ 0.9321 + 0.0659 + 0.0020 \big ] \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
  • Das bedeutet:   Für die Wahrscheinlichkeit $\varepsilon_{\rm S} = 0.01$ ist die vereinfachte Rechnung sehr fehleranfällig, weil sich für den Klammerausdruck ein Wert nahezu $1$ ergibt.
  • Die vollständige Rechnung ergibt hier:
$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {7 \choose 3} \cdot 0.01^3 \cdot 0.99^4 + {7 \choose 4} \cdot 0.01^4 \cdot 0.99^3 + {7 \choose 5} \cdot 0.01^5 \cdot 0.99^2+ {7 \choose 6} \cdot 0.01^6 \cdot 0.99+ {7 \choose 7} \cdot 0.01^7 $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr(Blockfehler)}= 10^{-6} \cdot \big [ 33.6209 + 0.3396 + 0.0021 + ... \big ] \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 3.396 \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Aus der Musterlösung zur Teilaufgabe (2) kann das Ergebnis direkt abgelesen werden:

$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 3.362 \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Der relative Fehler beträgt ca. $-1\%$.
  • Das Minuszeichen zeigt an, dass es sich hier nur um eine Näherung handelt und nicht um eine Schranke:
  • Der Näherungswert ist etwas kleiner als der tatsächliche Wert.


(4)  Beschränkt man sich auf den relevanten Term $(f = 3)$, so ergibt sich für $\varepsilon_{\rm S} = 0.001$:

$${\rm Pr(Blockfehler)} \approx {7 \choose 3} \cdot [10^{-3}]^3 \cdot 0.999^4 \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 3.49 \cdot 10^{-8}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Der relative Fehler beträgt auch hier nur etwa $-0.1\%$.


(5)  Entsprechend der hergeleiteten Näherung gilt für den betrachteten Code:

$${\rm Pr(Blockfehler)} \approx {7 \choose 3} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^3 = 35 \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^3\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} = 10^{-10}: \hspace{0.4cm} {\varepsilon_{\rm S}} = \big ( \frac{10^{-10}}{35} \big )^{1/3} = 2.857^{1/3} \cdot 10^{-4} \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 1.42 \cdot 10^{-4}}\hspace{0.05cm}.$$