Aufgaben:Aufgabe 2.15: RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei AWGN: Unterschied zwischen den Versionen
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{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete}} | {{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete}} | ||
| − | [[Datei:P_ID2571__KC_A_2_15neu.png|right|frame|Unvollständige Ergebnistabelle | + | [[Datei:P_ID2571__KC_A_2_15neu.png|right|frame|Unvollständige Ergebnistabelle]] |
| − | Am Beispiel des $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ mit den Parametern | + | Am Beispiel des $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ mit den Parametern |
| − | * $n = 7$ (Anzahl der Codesymbole), | + | * $n = 7$ (Anzahl der Codesymbole), |
| − | * $k =3$ (Anzahl der Informationssymbole), | + | * $k =3$ (Anzahl der Informationssymbole), |
| − | * $t = 2$ (Korrekturfähigkeit) | + | * $t = 2$ (Korrekturfähigkeit) |
| − | soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|Bounded Distance Decoding]] (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet: | + | soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|Bounded Distance Decoding]] (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet: |
:$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) = | :$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) = | ||
\sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$ | \sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Die Berechnung erfolgt für den [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN–Kanal]], der durch den Parameter $E_{\rm B}/N_0$ gekennzeichnet ist. | + | Die Berechnung erfolgt für den [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN–Kanal]], der durch den Parameter $E_{\rm B}/N_0$ gekennzeichnet ist. |
| − | *Der Quotient $E_{\rm B}/{N_0}$ lässt sich über die Beziehung | + | *Der Quotient $E_{\rm B}/{N_0}$ lässt sich über die Beziehung |
:$$\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}/{N_0}} \big ) $$ | :$$\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}/{N_0}} \big ) $$ | ||
| − | in das [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|BSC–Modell]] überführen, wobei $R$ die Coderate bezeichnet (hier: $R = 3/7$ | + | in das [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|BSC–Modell]] überführen, wobei $R$ die Coderate bezeichnet $($hier: $R = 3/7)$ und ${\rm Q}(x)$ das [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|komplementäre Gaußsche Fehlerintegral]] angibt. |
| − | *Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus $\rm GF(2^3)$ entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter $\ | + | *Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus $\rm GF(2^3)$ entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter $\varepsilon$ ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden. |
| + | *Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|$m$–BSC–Modells]] gilt, wobei hier $m = 3$ zu setzen ist (drei Bit pro Codesymbol): | ||
:$$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m | :$$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m | ||
| − | \hspace{0.05cm} | + | \hspace{0.05cm}.$$ |
| − | Für einige $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind die Ergebnisse | + | Für einige $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind die Ergebnisse in obiger Tabelle eingetragen. Die beiden gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert: |
| − | * Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$ ergibt sich $\varepsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$ und $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.2$. | + | * Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$ ergibt sich $\varepsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$ und $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.2$. Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit kann hier am einfachsten über das Komplement berechnet werden: |
| − | :$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \ | + | :$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \left [ {7 \choose 0} \cdot 0.8^7 + {7 \choose 1} \cdot 0.2 \cdot 0.8^6 + {7 \choose 2} \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^5\right ] |
\approx 0.148 \hspace{0.05cm}.$$ | \approx 0.148 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | * Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$ erhält man $\varepsilon \approx 1.2 \cdot 10^{-4}$ und $\varepsilon_{\rm S} \approx 3.5 \cdot 10^{-4}$. Mit dieser sehr kleinen Verfälschungswahrscheinlichkeit dominiert der $f = 3$–Term und man erhält: | + | * Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$ erhält man $\varepsilon \approx 1.2 \cdot 10^{-4}$ und $\varepsilon_{\rm S} \approx 3.5 \cdot 10^{-4}$. Mit dieser sehr kleinen Verfälschungswahrscheinlichkeit dominiert der $f = 3$–Term, und man erhält: |
:$${\rm Pr(Blockfehler)} \approx {7 \choose 3} \cdot (3.5 \cdot 10^{-4})^3 \cdot (1- 3.5 \cdot 10^{-4})^4 | :$${\rm Pr(Blockfehler)} \approx {7 \choose 3} \cdot (3.5 \cdot 10^{-4})^3 \cdot (1- 3.5 \cdot 10^{-4})^4 | ||
\approx 1.63 \cdot 10^{-9} \hspace{0.05cm}.$$ | \approx 1.63 \cdot 10^{-9} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | *Sie sollen | + | *Sie sollen für die rot hinterlegten Zeilen $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \ dB$, $10 \ \rm dB)$ die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten berechnen. |
| − | *Die blau hinterlegten Zeilen zeigen einige Ergebnisse der [[Aufgaben:Aufgabe_2.15Z:_Nochmals_RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Aufgabe 2.15Z]]. Dort wird ${\rm Pr}(\underline{v} ≠ \underline{u})$ für $\varepsilon_{\rm S} = 10\%, \ 1\%$ | + | *Die blau hinterlegten Zeilen zeigen einige Ergebnisse der [[Aufgaben:Aufgabe_2.15Z:_Nochmals_RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Aufgabe 2.15Z]]. Dort wird ${\rm Pr}(\underline{v} ≠ \underline{u})$ für $\varepsilon_{\rm S} = 10\%, \ 1\%$ $0.1\%$ berechnet. |
| − | *In den Teilaufgaben (4) und (5) sollen Sie den Zusammenhang zwischen | + | *In den Teilaufgaben '''(4)''' und '''(5)''' sollen Sie den Zusammenhang zwischen der Größe $\varepsilon_{\rm S}$ und dem AWGN–Parameter $E_{\rm B}/N_0$ herstellen und somit die obige Tabelle vervollständigen. |
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''Hinweise:'' | ''Hinweise:'' | ||
| − | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete| Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete]]. | + | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete| Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete]]. |
| − | * Wir verweisen Sie hier auf die beiden interaktive Applets [[Applets: | + | * Wir verweisen Sie hier auf die beiden interaktive Applets |
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| + | ::[[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)|Binomial- und Poissonverteilung]]. | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \ \rm dB}$? | + | {Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \ \rm dB}$? |
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${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ ${ 6.66 3% } $\ \cdot 10^{-2}$ | ${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ ${ 6.66 3% } $\ \cdot 10^{-2}$ | ||
| − | {Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \hspace{0.15cm}\underline{= 8 \ \rm dB}$? | + | {Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \hspace{0.15cm}\underline{= 8 \ \rm dB}$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ ${ 8.63 3% } $\ \cdot 10^{-4}$ | ${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ ${ 8.63 3% } $\ \cdot 10^{-4}$ | ||
| − | {Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.15cm}\underline{ = 10 \ \rm dB}$? | + | {Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.15cm}\underline{ = 10 \ \rm dB}$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ ${ 4.3 3% } $\ \cdot 10^{-6}$ | ${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ ${ 4.3 3% } $\ \cdot 10^{-6}$ | ||
| − | {Wie hängt $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$ mit $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$ zusammen? ''Hinweis:'' Verwenden Sie das angegebene Applet zur Berechnung von ${\rm Q}(x)$. | + | {Wie hängt $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$ mit $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$ zusammen? ''Hinweis:'' Verwenden Sie das angegebene Applet zur Berechnung von ${\rm Q}(x)$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$\varepsilon_{\rm S} = 10^{-1} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ ${ 5.87 3% } $\ \rm dB$ | $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-1} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ ${ 5.87 3% } $\ \rm dB$ | ||
| − | {Ermitteln Sie auch die $E_{\rm B}/N_0$–Werte (in $\rm dB$ | + | {Ermitteln Sie auch die $E_{\rm B}/N_0$–Werte $($in $\rm dB)$ für $\varepsilon_{\rm S} = 0.01$ und $\varepsilon_{\rm S} = 0.001$. Vervollständigen Sie die Tabelle. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$\varepsilon_{\rm S} = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $ { 9.32 3% } $\ \rm dB$ | $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $ { 9.32 3% } $\ \rm dB$ | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''(1)''' Aus der Tabelle auf der Angabenseite kann der BSC–Parameter $\varepsilon = 0.0505$ abgelesen werden. Damit erhält man für die Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon_{\rm S}$ mit $m = 3$: | + | '''(1)''' Aus der Tabelle auf der Angabenseite kann der BSC–Parameter $\varepsilon = 0.0505$ abgelesen werden. |
| + | *Damit erhält man für die Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon_{\rm S}$ mit $m = 3$: | ||
:$$1 - \varepsilon_{\rm S} = (1 - 0.0505)^3 \approx 0.856 | :$$1 - \varepsilon_{\rm S} = (1 - 0.0505)^3 \approx 0.856 | ||
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} | \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} | ||
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\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Der schnellste Weg zur Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit führt hier über die Formel | + | *Der schnellste Weg zur Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit führt hier über die Formel |
:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm Pr}(f=0) - {\rm Pr}(f=1) - {\rm Pr}(f=2) = 1 - 1 \cdot 0.856^7 - | :$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm Pr}(f=0) - {\rm Pr}(f=1) - {\rm Pr}(f=2) = 1 - 1 \cdot 0.856^7 - | ||
7 \cdot 0.144^1 \cdot 0.856^6 - 21 \cdot 0.144^2 \cdot 0.856^5$$ | 7 \cdot 0.144^1 \cdot 0.856^6 - 21 \cdot 0.144^2 \cdot 0.856^5$$ | ||
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| − | '''(2)''' Nach gleichem Rechengang wie in Teilaufgabe (1) ergibt sich mit $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.03 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.97$: | + | '''(2)''' Nach gleichem Rechengang wie in Teilaufgabe '''(1)''' ergibt sich mit $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.03 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.97$: |
:$${\rm Pr(Blockfehler)} | :$${\rm Pr(Blockfehler)} | ||
\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 1 \cdot 0.97^7 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} | \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 1 \cdot 0.97^7 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} | ||
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\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Man sieht, dass hier die Differenz zwischen zwei fast gleich großen Zahlen gebildet werden muss, so dass das Ergebnis mit einem Fehler behaftet sein könnte. Deshalb berechnen wir noch folgende Größen: | + | *Man sieht, dass hier die Differenz zwischen zwei fast gleich großen Zahlen gebildet werden muss, so dass das Ergebnis mit einem Fehler behaftet sein könnte. |
| + | *Deshalb berechnen wir noch folgende Größen: | ||
:$${\rm Pr}(f=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} | :$${\rm Pr}(f=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} | ||
{7 \choose 3} \cdot \varepsilon_{\rm S}^3 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^4 = 35 \cdot 0.03^3 \cdot 0.97^4 = 8.366 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$ | {7 \choose 3} \cdot \varepsilon_{\rm S}^3 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^4 = 35 \cdot 0.03^3 \cdot 0.97^4 = 8.366 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$ | ||
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:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) + {\rm Pr}(f=4) + {\rm Pr}(f=5) \hspace{0.15cm} \underline{=8.63 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) + {\rm Pr}(f=4) + {\rm Pr}(f=5) \hspace{0.15cm} \underline{=8.63 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Auf die Terme für $f = 6$ und $f = 7$ kann hier verzichtet werden. Sie liefern keinen relevanten Beitrag. | + | *Auf die Terme für $f = 6$ und $f = 7$ kann hier verzichtet werden. Sie liefern keinen relevanten Beitrag. |
| − | '''(3)''' Hier ist bereits $\varepsilon_{\rm S} = 0.005 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.995$ in der Tabelle vorgegeben. Der (weitaus) dominierende Term bei der Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist ${\rm Pr}(f = 3)$: | + | |
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| + | '''(3)''' Hier ist bereits $\varepsilon_{\rm S} = 0.005 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.995$ in der Tabelle vorgegeben. | ||
| + | *Der (weitaus) dominierende Term bei der Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist ${\rm Pr}(f = 3)$: | ||
:$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) = {7 \choose 3} \cdot 0.005^3 \cdot 0.995^4 | :$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) = {7 \choose 3} \cdot 0.005^3 \cdot 0.995^4 | ||
\hspace{0.15cm} \underline{\approx 4.3 \cdot 10^{-6}} \hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.15cm} \underline{\approx 4.3 \cdot 10^{-6}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| Zeile 112: | Zeile 123: | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Der Zusammenhang zwischen $\varepsilon$ und $E_{\rm B}/N_0$ lautet: | + | *Der Zusammenhang zwischen $\varepsilon$ und $E_{\rm B}/N_0$ lautet: |
:$$\varepsilon = {\rm Q}(x)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} x = \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$\varepsilon = {\rm Q}(x)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} x = \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Die Inverse $x = {\rm Q}^{-1}(0.0345)$ ergibt sich mit dem Applet [[Applets:QFunction|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] zu $x = 1.82$. Damit erhält man weiter: | + | *Die Inverse $x = {\rm Q}^{-1}(0.0345)$ ergibt sich mit dem Applet [[Applets:QFunction|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] zu $x = 1.82$. |
| + | *Damit erhält man weiter: | ||
:$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{1.82^2}{2R \cdot 3/7} \approx 3.864 | :$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{1.82^2}{2R \cdot 3/7} \approx 3.864 | ||
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} | \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} | ||
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\hspace{0.15cm} \underline{\approx 11.3 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$ | \hspace{0.15cm} \underline{\approx 11.3 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$ | ||
| − | [[Datei:P_ID2572__KC_A_2_15e_neu.png| | + | [[Datei:P_ID2572__KC_A_2_15e_neu.png|right|frame|Ergebnisse zur $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$–Decodierung]] |
| + | <br><br><br><br><br><br><br><br><br><br> | ||
| + | Die Grafik zeigt den Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$ sowie die vollständig ausgefüllte Ergebnistabelle. | ||
| + | |||
| + | Man erkennt das deutlich ungünstigere (asymptotische) Verhalten dieses kurzen (grünen) Codes $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ gegenüber dem (roten) Vergleichscode $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_8$: | ||
| − | |||
*Für Abszissenwerte kleiner als $10 \ \rm dB$ ergibt sich sogar ein schlechteres Ergebnis als ohne Codierung. | *Für Abszissenwerte kleiner als $10 \ \rm dB$ ergibt sich sogar ein schlechteres Ergebnis als ohne Codierung. | ||
Version vom 10. Juni 2020, 17:50 Uhr
Unvollständige Ergebnistabelle
Am Beispiel des $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ mit den Parametern
- $n = 7$ (Anzahl der Codesymbole),
- $k =3$ (Anzahl der Informationssymbole),
- $t = 2$ (Korrekturfähigkeit)
soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim Bounded Distance Decoding (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet:
- $${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) = \sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$
Die Berechnung erfolgt für den AWGN–Kanal, der durch den Parameter $E_{\rm B}/N_0$ gekennzeichnet ist.
- Der Quotient $E_{\rm B}/{N_0}$ lässt sich über die Beziehung
- $$\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}/{N_0}} \big ) $$
in das BSC–Modell überführen, wobei $R$ die Coderate bezeichnet $($hier: $R = 3/7)$ und ${\rm Q}(x)$ das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral angibt.
- Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus $\rm GF(2^3)$ entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter $\varepsilon$ ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden.
- Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des $m$–BSC–Modells gilt, wobei hier $m = 3$ zu setzen ist (drei Bit pro Codesymbol):
- $$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m \hspace{0.05cm}.$$
Für einige $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind die Ergebnisse in obiger Tabelle eingetragen. Die beiden gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert:
- Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$ ergibt sich $\varepsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$ und $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.2$. Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit kann hier am einfachsten über das Komplement berechnet werden:
- $${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \left [ {7 \choose 0} \cdot 0.8^7 + {7 \choose 1} \cdot 0.2 \cdot 0.8^6 + {7 \choose 2} \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^5\right ] \approx 0.148 \hspace{0.05cm}.$$
- Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$ erhält man $\varepsilon \approx 1.2 \cdot 10^{-4}$ und $\varepsilon_{\rm S} \approx 3.5 \cdot 10^{-4}$. Mit dieser sehr kleinen Verfälschungswahrscheinlichkeit dominiert der $f = 3$–Term, und man erhält:
- $${\rm Pr(Blockfehler)} \approx {7 \choose 3} \cdot (3.5 \cdot 10^{-4})^3 \cdot (1- 3.5 \cdot 10^{-4})^4 \approx 1.63 \cdot 10^{-9} \hspace{0.05cm}.$$
- Sie sollen für die rot hinterlegten Zeilen $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \ dB$, $10 \ \rm dB)$ die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten berechnen.
- Die blau hinterlegten Zeilen zeigen einige Ergebnisse der Aufgabe 2.15Z. Dort wird ${\rm Pr}(\underline{v} ≠ \underline{u})$ für $\varepsilon_{\rm S} = 10\%, \ 1\%$ $0.1\%$ berechnet.
- In den Teilaufgaben (4) und (5) sollen Sie den Zusammenhang zwischen der Größe $\varepsilon_{\rm S}$ und dem AWGN–Parameter $E_{\rm B}/N_0$ herstellen und somit die obige Tabelle vervollständigen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete.
- Wir verweisen Sie hier auf die beiden interaktive Applets
Fragebogen
Musterlösung
(1) Aus der Tabelle auf der Angabenseite kann der BSC–Parameter $\varepsilon = 0.0505$ abgelesen werden.
- Damit erhält man für die Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon_{\rm S}$ mit $m = 3$:
- $$1 - \varepsilon_{\rm S} = (1 - 0.0505)^3 \approx 0.856 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon_{\rm S} \approx 0.144 \hspace{0.05cm}.$$
- Der schnellste Weg zur Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit führt hier über die Formel
- $${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm Pr}(f=0) - {\rm Pr}(f=1) - {\rm Pr}(f=2) = 1 - 1 \cdot 0.856^7 - 7 \cdot 0.144^1 \cdot 0.856^6 - 21 \cdot 0.144^2 \cdot 0.856^5$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) =1 - 0.3368 - 0.3965 - 0.2001 \hspace{0.15cm} \underline{=0.0666} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Nach gleichem Rechengang wie in Teilaufgabe (1) ergibt sich mit $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.03 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.97$:
- $${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 1 \cdot 0.97^7 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 7 \cdot 0.03^1 \cdot 0.97^6 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 21 \cdot 0.03^2 \cdot 0.97^5 =1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.8080 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.1749\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.0162= 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.9991 = 9 \cdot 10^{-4} \hspace{0.05cm}.$$
- Man sieht, dass hier die Differenz zwischen zwei fast gleich großen Zahlen gebildet werden muss, so dass das Ergebnis mit einem Fehler behaftet sein könnte.
- Deshalb berechnen wir noch folgende Größen:
- $${\rm Pr}(f=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {7 \choose 3} \cdot \varepsilon_{\rm S}^3 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^4 = 35 \cdot 0.03^3 \cdot 0.97^4 = 8.366 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Pr}(f=4) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {7 \choose 4} \cdot \varepsilon_{\rm S}^4 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^3 = 35 \cdot 0.03^4 \cdot 0.97^3 = 0.259 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Pr}(f=5) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {7 \choose 5} \cdot \varepsilon_{\rm S}^5 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^2 = 21 \cdot 0.03^5 \cdot 0.97^2 = 0.005 \cdot 10^{-4}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) + {\rm Pr}(f=4) + {\rm Pr}(f=5) \hspace{0.15cm} \underline{=8.63 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$
- Auf die Terme für $f = 6$ und $f = 7$ kann hier verzichtet werden. Sie liefern keinen relevanten Beitrag.
(3) Hier ist bereits $\varepsilon_{\rm S} = 0.005 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.995$ in der Tabelle vorgegeben.
- Der (weitaus) dominierende Term bei der Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist ${\rm Pr}(f = 3)$:
- $${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) = {7 \choose 3} \cdot 0.005^3 \cdot 0.995^4 \hspace{0.15cm} \underline{\approx 4.3 \cdot 10^{-6}} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Für den BSC–Parameter $\varepsilon$ gilt mit $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$:
- $$\varepsilon = 1 -(1 - \varepsilon_{\rm S})^{1/3} = 1 - 0.9^{1/3} \approx 0.0345 \hspace{0.05cm}.$$
- Der Zusammenhang zwischen $\varepsilon$ und $E_{\rm B}/N_0$ lautet:
- $$\varepsilon = {\rm Q}(x)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} x = \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.$$
- Die Inverse $x = {\rm Q}^{-1}(0.0345)$ ergibt sich mit dem Applet Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen zu $x = 1.82$.
- Damit erhält man weiter:
- $$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{1.82^2}{2R \cdot 3/7} \approx 3.864 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 5.87 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$
(5) Nach gleicher Rechnung erhält man
- für $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-2} \ \Rightarrow \ \varepsilon \approx 0.33 \cdot 10^{-2} \ \Rightarrow \ x = {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 2.71$
- $$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{2.71^2}{2R \cdot 3/7} \approx 8.568 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 9.32 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}, $$
- für $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-3} \ \Rightarrow \ \varepsilon \approx 0.33 \cdot 10^{-3} \ \Rightarrow \ x = {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 3.4$:
- $$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{3.4^2}{2R \cdot 3/7} \approx 13.487 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 11.3 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$
Ergebnisse zur $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$–Decodierung
Die Grafik zeigt den Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$ sowie die vollständig ausgefüllte Ergebnistabelle.
Man erkennt das deutlich ungünstigere (asymptotische) Verhalten dieses kurzen (grünen) Codes $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ gegenüber dem (roten) Vergleichscode $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_8$:
- Für Abszissenwerte kleiner als $10 \ \rm dB$ ergibt sich sogar ein schlechteres Ergebnis als ohne Codierung.
- Deshalb soll hier nochmals darauf hingewiesen werden, dass dieser $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ wenig praktische Bedeutung hat.
- Er wurde für diese Aufgabe nur deshalb ausgewählt, um mit vertretbarem Aufwand die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei Bounded Distance Decoding (BDD) demonstrieren zu können.
