Aufgaben:Aufgabe 2.15: RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei AWGN: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Am Beispiel des $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ mit den Parametern | + | Am Beispiel des $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ mit den Parametern |
− | * $n = 7$ (Anzahl der Codesymbole), | + | * $n = 7$ (Anzahl der Codesymbole), |
− | * $k =3$ (Anzahl der Informationssymbole), | + | * $k =3$ (Anzahl der Informationssymbole), |
− | * $t = 2$ (Korrekturfähigkeit) | + | * $t = 2$ (Korrekturfähigkeit) |
− | soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|Bounded Distance Decoding]] (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet: | + | soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|Bounded Distance Decoding]] (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet: |
− | :$${\rm Pr(Blockfehler)} = | + | :$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) = |
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\sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$ | \sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Die Berechnung erfolgt für den [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN–Kanal]], der durch den Parameter $E_{\rm B}/N_0$ gekennzeichnet ist. | + | Die Berechnung erfolgt für den [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN–Kanal]], der durch den Parameter $E_{\rm B}/N_0$ gekennzeichnet ist. |
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− | in das [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|BSC–Modell]] | + | *Der Quotient $E_{\rm B}/{N_0}$ lässt sich über die Beziehung |
+ | :$$\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}/{N_0}} \big ) $$ | ||
+ | in das [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|BSC–Modell]] überführen, wobei $R$ die Coderate bezeichnet $($hier: $R = 3/7)$ und ${\rm Q}(x)$ das [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|komplementäre Gaußsche Fehlerintegral]] angibt. | ||
+ | *Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus $\rm GF(2^3)$ entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter $\varepsilon$ ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden. | ||
+ | *Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|$m$–BSC–Modells]] gilt, wobei hier $m = 3$ zu setzen ist (drei Bit pro Codesymbol): | ||
:$$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m | :$$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m | ||
− | \hspace{0.05cm} | + | \hspace{0.05cm}.$$ |
− | |||
− | Für einige $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind | + | Für einige $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind die Ergebnisse in obiger Tabelle eingetragen. Die beiden gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert: |
− | * Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$ ergibt sich $\ | + | * Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$ ergibt sich $\varepsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$ und $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.2$. Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit kann hier am einfachsten über das Komplement berechnet werden: |
− | :$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \ | + | :$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \left [ {7 \choose 0} \cdot 0.8^7 + {7 \choose 1} \cdot 0.2 \cdot 0.8^6 + {7 \choose 2} \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^5\right ] |
\approx 0.148 \hspace{0.05cm}.$$ | \approx 0.148 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | * Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$ erhält man $\ | + | * Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$ erhält man $\varepsilon \approx 1.2 \cdot 10^{-4}$ und $\varepsilon_{\rm S} \approx 3.5 \cdot 10^{-4}$. Mit dieser sehr kleinen Verfälschungswahrscheinlichkeit dominiert der $f = 3$–Term, und man erhält: |
:$${\rm Pr(Blockfehler)} \approx {7 \choose 3} \cdot (3.5 \cdot 10^{-4})^3 \cdot (1- 3.5 \cdot 10^{-4})^4 | :$${\rm Pr(Blockfehler)} \approx {7 \choose 3} \cdot (3.5 \cdot 10^{-4})^3 \cdot (1- 3.5 \cdot 10^{-4})^4 | ||
\approx 1.63 \cdot 10^{-9} \hspace{0.05cm}.$$ | \approx 1.63 \cdot 10^{-9} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | + | *Sie sollen für die rot hinterlegten Zeilen $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \ dB$, $10 \ \rm dB)$ die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten berechnen. | |
+ | *Die blau hinterlegten Zeilen zeigen einige Ergebnisse der [[Aufgaben:Aufgabe_2.15Z:_Nochmals_RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Aufgabe 2.15Z]]. Dort wird ${\rm Pr}(\underline{v} ≠ \underline{u})$ für $\varepsilon_{\rm S} = 10\%, \ 1\%$ $0.1\%$ berechnet. | ||
+ | *In den Teilaufgaben '''(4)''' und '''(5)''' sollen Sie den Zusammenhang zwischen der Größe $\varepsilon_{\rm S}$ und dem AWGN–Parameter $E_{\rm B}/N_0$ herstellen und somit die obige Tabelle vervollständigen. | ||
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''Hinweise:'' | ''Hinweise:'' | ||
− | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete| Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete]]. | + | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete| Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete]]. |
− | * Wir | + | * Wir verweisen Sie hier auf die beiden interaktive Applets |
− | + | ::[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] und | |
− | + | ::[[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)|Binomial- und Poissonverteilung]]. | |
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB$? | + | {Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \ \rm dB}$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | ${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ ${ 6.66 3% } $\ \cdot 10^{-2}$ |
− | {Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 8 \ \rm dB$? | + | {Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \hspace{0.15cm}\underline{= 8 \ \rm dB}$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | ${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ ${ 8.63 3% } $\ \cdot 10^{-4}$ |
− | {Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 10 \ \rm dB$? | + | {Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.15cm}\underline{ = 10 \ \rm dB}$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | ${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ ${ 4.3 3% } $\ \cdot 10^{-6}$ |
− | {Wie hängt $\ | + | {Wie hängt $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$ mit $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$ zusammen? ''Hinweis:'' Verwenden Sie das angegebene Applet zur Berechnung von ${\rm Q}(x)$. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\ | + | $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-1} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ ${ 5.87 3% } $\ \rm dB$ |
− | {Ermitteln Sie auch die $E_{\rm B}/N_0$–Werte (in $\rm dB$ | + | {Ermitteln Sie auch die $E_{\rm B}/N_0$–Werte $($in $\rm dB)$ für $\varepsilon_{\rm S} = 0.01$ und $\varepsilon_{\rm S} = 0.001$. Vervollständigen Sie die Tabelle. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\ | + | $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $ { 9.32 3% } $\ \rm dB$ |
− | $\ | + | $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $ { 11.3 3% } $\ \rm dB$ |
</quiz> | </quiz> | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''(1)''' | + | '''(1)''' Aus der Tabelle auf der Angabenseite kann der BSC–Parameter $\varepsilon = 0.0505$ abgelesen werden. |
+ | *Damit erhält man für die Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon_{\rm S}$ mit $m = 3$: | ||
+ | :$$1 - \varepsilon_{\rm S} = (1 - 0.0505)^3 \approx 0.856 | ||
+ | \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} | ||
+ | \varepsilon_{\rm S} \approx 0.144 | ||
+ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | *Der schnellste Weg zur Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit führt hier über die Formel | ||
+ | :$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm Pr}(f=0) - {\rm Pr}(f=1) - {\rm Pr}(f=2) = 1 - 1 \cdot 0.856^7 - | ||
+ | 7 \cdot 0.144^1 \cdot 0.856^6 - 21 \cdot 0.144^2 \cdot 0.856^5$$ | ||
+ | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) =1 - 0.3368 - 0.3965 - 0.2001 \hspace{0.15cm} \underline{=0.0666} | ||
+ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''(2)''' Nach gleichem Rechengang wie in Teilaufgabe '''(1)''' ergibt sich mit $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.03 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.97$: | ||
+ | :$${\rm Pr(Blockfehler)} | ||
+ | \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 1 \cdot 0.97^7 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} | ||
+ | 7 \cdot 0.03^1 \cdot 0.97^6 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 21 \cdot 0.03^2 \cdot 0.97^5 =1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.8080 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.1749\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.0162= 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.9991 = 9 \cdot 10^{-4} | ||
+ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | *Man sieht, dass hier die Differenz zwischen zwei fast gleich großen Zahlen gebildet werden muss, so dass das Ergebnis mit einem Fehler behaftet sein könnte. | ||
+ | *Deshalb berechnen wir noch folgende Größen: | ||
+ | :$${\rm Pr}(f=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} | ||
+ | {7 \choose 3} \cdot \varepsilon_{\rm S}^3 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^4 = 35 \cdot 0.03^3 \cdot 0.97^4 = 8.366 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$ | ||
+ | :$${\rm Pr}(f=4) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} | ||
+ | {7 \choose 4} \cdot \varepsilon_{\rm S}^4 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^3 = 35 \cdot 0.03^4 \cdot 0.97^3 = 0.259 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$ | ||
+ | :$${\rm Pr}(f=5) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} | ||
+ | {7 \choose 5} \cdot \varepsilon_{\rm S}^5 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^2 = 21 \cdot 0.03^5 \cdot 0.97^2 = 0.005 \cdot 10^{-4}$$ | ||
+ | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) + {\rm Pr}(f=4) + {\rm Pr}(f=5) \hspace{0.15cm} \underline{=8.63 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | *Auf die Terme für $f = 6$ und $f = 7$ kann hier verzichtet werden. Sie liefern keinen relevanten Beitrag. | ||
− | |||
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+ | '''(3)''' Hier ist bereits $\varepsilon_{\rm S} = 0.005 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.995$ in der Tabelle vorgegeben. | ||
+ | *Der (weitaus) dominierende Term bei der Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist ${\rm Pr}(f = 3)$: | ||
+ | :$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) = {7 \choose 3} \cdot 0.005^3 \cdot 0.995^4 | ||
+ | \hspace{0.15cm} \underline{\approx 4.3 \cdot 10^{-6}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | |||
+ | '''(4)''' Für den BSC–Parameter $\varepsilon$ gilt mit $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$: | ||
+ | :$$\varepsilon = 1 -(1 - \varepsilon_{\rm S})^{1/3} = 1 - 0.9^{1/3} \approx 0.0345 | ||
+ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | '''(5)''' | + | *Der Zusammenhang zwischen $\varepsilon$ und $E_{\rm B}/N_0$ lautet: |
− | {{ | + | :$$\varepsilon = {\rm Q}(x)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} x = \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.$$ |
+ | |||
+ | *Die Inverse $x = {\rm Q}^{-1}(0.0345)$ ergibt sich mit dem Applet [[Applets:QFunction|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]] zu $x = 1.82$. | ||
+ | *Damit erhält man weiter: | ||
+ | :$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{1.82^2}{2R \cdot 3/7} \approx 3.864 | ||
+ | \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} | ||
+ | 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0) | ||
+ | \hspace{0.15cm} \underline{\approx 5.87 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''(5)''' Nach gleicher Rechnung erhält man | ||
+ | * für $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-2} \ \Rightarrow \ \varepsilon \approx 0.33 \cdot 10^{-2} \ \Rightarrow \ x = {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 2.71$ | ||
+ | :$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{2.71^2}{2R \cdot 3/7} \approx 8.568 | ||
+ | \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} | ||
+ | 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0) | ||
+ | \hspace{0.15cm} \underline{\approx 9.32 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}, $$ | ||
+ | |||
+ | * für $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-3} \ \Rightarrow \ \varepsilon \approx 0.33 \cdot 10^{-3} \ \Rightarrow \ x = {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 3.4$: | ||
+ | :$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{3.4^2}{2R \cdot 3/7} \approx 13.487 | ||
+ | \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} | ||
+ | 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0) | ||
+ | \hspace{0.15cm} \underline{\approx 11.3 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$ | ||
+ | |||
+ | [[Datei:P_ID2572__KC_A_2_15e_neu.png|right|frame|Ergebnisse zur $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$–Decodierung]] | ||
+ | <br><br><br><br><br><br><br><br><br><br> | ||
+ | Die Grafik zeigt den Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$ sowie die vollständig ausgefüllte Ergebnistabelle. | ||
+ | |||
+ | Man erkennt das deutlich ungünstigere (asymptotische) Verhalten dieses kurzen (grünen) Codes $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ gegenüber dem (roten) Vergleichscode $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_8$: | ||
+ | *Für Abszissenwerte kleiner als $10 \ \rm dB$ ergibt sich sogar ein schlechteres Ergebnis als ohne Codierung. | ||
+ | *Deshalb soll hier nochmals darauf hingewiesen werden, dass dieser $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ wenig praktische Bedeutung hat. | ||
+ | *Er wurde für diese Aufgabe nur deshalb ausgewählt, um mit vertretbarem Aufwand die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei ''Bounded Distance Decoding'' (BDD) demonstrieren zu können. | ||
+ | {{ML-Fuß}} | ||
− | [[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung|^2.6 Fehlerwahrscheinlichkeit | + | [[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung|^2.6 RSC–Fehlerwahrscheinlichkeit^]] |
Version vom 10. Juni 2020, 17:50 Uhr
Am Beispiel des $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ mit den Parametern
- $n = 7$ (Anzahl der Codesymbole),
- $k =3$ (Anzahl der Informationssymbole),
- $t = 2$ (Korrekturfähigkeit)
soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim Bounded Distance Decoding (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet:
- $${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) = \sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$
Die Berechnung erfolgt für den AWGN–Kanal, der durch den Parameter $E_{\rm B}/N_0$ gekennzeichnet ist.
- Der Quotient $E_{\rm B}/{N_0}$ lässt sich über die Beziehung
- $$\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}/{N_0}} \big ) $$
in das BSC–Modell überführen, wobei $R$ die Coderate bezeichnet $($hier: $R = 3/7)$ und ${\rm Q}(x)$ das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral angibt.
- Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus $\rm GF(2^3)$ entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter $\varepsilon$ ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden.
- Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des $m$–BSC–Modells gilt, wobei hier $m = 3$ zu setzen ist (drei Bit pro Codesymbol):
- $$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m \hspace{0.05cm}.$$
Für einige $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind die Ergebnisse in obiger Tabelle eingetragen. Die beiden gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert:
- Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$ ergibt sich $\varepsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$ und $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.2$. Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit kann hier am einfachsten über das Komplement berechnet werden:
- $${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \left [ {7 \choose 0} \cdot 0.8^7 + {7 \choose 1} \cdot 0.2 \cdot 0.8^6 + {7 \choose 2} \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^5\right ] \approx 0.148 \hspace{0.05cm}.$$
- Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$ erhält man $\varepsilon \approx 1.2 \cdot 10^{-4}$ und $\varepsilon_{\rm S} \approx 3.5 \cdot 10^{-4}$. Mit dieser sehr kleinen Verfälschungswahrscheinlichkeit dominiert der $f = 3$–Term, und man erhält:
- $${\rm Pr(Blockfehler)} \approx {7 \choose 3} \cdot (3.5 \cdot 10^{-4})^3 \cdot (1- 3.5 \cdot 10^{-4})^4 \approx 1.63 \cdot 10^{-9} \hspace{0.05cm}.$$
- Sie sollen für die rot hinterlegten Zeilen $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \ dB$, $10 \ \rm dB)$ die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten berechnen.
- Die blau hinterlegten Zeilen zeigen einige Ergebnisse der Aufgabe 2.15Z. Dort wird ${\rm Pr}(\underline{v} ≠ \underline{u})$ für $\varepsilon_{\rm S} = 10\%, \ 1\%$ $0.1\%$ berechnet.
- In den Teilaufgaben (4) und (5) sollen Sie den Zusammenhang zwischen der Größe $\varepsilon_{\rm S}$ und dem AWGN–Parameter $E_{\rm B}/N_0$ herstellen und somit die obige Tabelle vervollständigen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete.
- Wir verweisen Sie hier auf die beiden interaktive Applets
Fragebogen
Musterlösung
- Damit erhält man für die Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon_{\rm S}$ mit $m = 3$:
- $$1 - \varepsilon_{\rm S} = (1 - 0.0505)^3 \approx 0.856 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon_{\rm S} \approx 0.144 \hspace{0.05cm}.$$
- Der schnellste Weg zur Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit führt hier über die Formel
- $${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm Pr}(f=0) - {\rm Pr}(f=1) - {\rm Pr}(f=2) = 1 - 1 \cdot 0.856^7 - 7 \cdot 0.144^1 \cdot 0.856^6 - 21 \cdot 0.144^2 \cdot 0.856^5$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) =1 - 0.3368 - 0.3965 - 0.2001 \hspace{0.15cm} \underline{=0.0666} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Nach gleichem Rechengang wie in Teilaufgabe (1) ergibt sich mit $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.03 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.97$:
- $${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 1 \cdot 0.97^7 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 7 \cdot 0.03^1 \cdot 0.97^6 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 21 \cdot 0.03^2 \cdot 0.97^5 =1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.8080 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.1749\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.0162= 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.9991 = 9 \cdot 10^{-4} \hspace{0.05cm}.$$
- Man sieht, dass hier die Differenz zwischen zwei fast gleich großen Zahlen gebildet werden muss, so dass das Ergebnis mit einem Fehler behaftet sein könnte.
- Deshalb berechnen wir noch folgende Größen:
- $${\rm Pr}(f=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {7 \choose 3} \cdot \varepsilon_{\rm S}^3 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^4 = 35 \cdot 0.03^3 \cdot 0.97^4 = 8.366 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Pr}(f=4) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {7 \choose 4} \cdot \varepsilon_{\rm S}^4 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^3 = 35 \cdot 0.03^4 \cdot 0.97^3 = 0.259 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Pr}(f=5) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {7 \choose 5} \cdot \varepsilon_{\rm S}^5 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^2 = 21 \cdot 0.03^5 \cdot 0.97^2 = 0.005 \cdot 10^{-4}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) + {\rm Pr}(f=4) + {\rm Pr}(f=5) \hspace{0.15cm} \underline{=8.63 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$
- Auf die Terme für $f = 6$ und $f = 7$ kann hier verzichtet werden. Sie liefern keinen relevanten Beitrag.
(3) Hier ist bereits $\varepsilon_{\rm S} = 0.005 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.995$ in der Tabelle vorgegeben.
- Der (weitaus) dominierende Term bei der Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist ${\rm Pr}(f = 3)$:
- $${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) = {7 \choose 3} \cdot 0.005^3 \cdot 0.995^4 \hspace{0.15cm} \underline{\approx 4.3 \cdot 10^{-6}} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Für den BSC–Parameter $\varepsilon$ gilt mit $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$:
- $$\varepsilon = 1 -(1 - \varepsilon_{\rm S})^{1/3} = 1 - 0.9^{1/3} \approx 0.0345 \hspace{0.05cm}.$$
- Der Zusammenhang zwischen $\varepsilon$ und $E_{\rm B}/N_0$ lautet:
- $$\varepsilon = {\rm Q}(x)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} x = \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.$$
- Die Inverse $x = {\rm Q}^{-1}(0.0345)$ ergibt sich mit dem Applet Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen zu $x = 1.82$.
- Damit erhält man weiter:
- $$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{1.82^2}{2R \cdot 3/7} \approx 3.864 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 5.87 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$
(5) Nach gleicher Rechnung erhält man
- für $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-2} \ \Rightarrow \ \varepsilon \approx 0.33 \cdot 10^{-2} \ \Rightarrow \ x = {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 2.71$
- $$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{2.71^2}{2R \cdot 3/7} \approx 8.568 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 9.32 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}, $$
- für $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-3} \ \Rightarrow \ \varepsilon \approx 0.33 \cdot 10^{-3} \ \Rightarrow \ x = {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 3.4$:
- $$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{3.4^2}{2R \cdot 3/7} \approx 13.487 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 11.3 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$
Die Grafik zeigt den Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$ sowie die vollständig ausgefüllte Ergebnistabelle.
Man erkennt das deutlich ungünstigere (asymptotische) Verhalten dieses kurzen (grünen) Codes $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ gegenüber dem (roten) Vergleichscode $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_8$:
- Für Abszissenwerte kleiner als $10 \ \rm dB$ ergibt sich sogar ein schlechteres Ergebnis als ohne Codierung.
- Deshalb soll hier nochmals darauf hingewiesen werden, dass dieser $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ wenig praktische Bedeutung hat.
- Er wurde für diese Aufgabe nur deshalb ausgewählt, um mit vertretbarem Aufwand die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei Bounded Distance Decoding (BDD) demonstrieren zu können.