Aufgaben:Aufgabe 2.15: RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei AWGN: Unterschied zwischen den Versionen

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Am Beispiel des $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ mit den Parametern
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Am Beispiel des  $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$  mit den Parametern
* $n = 7$ (Anzahl der Codesymbole),
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* $n = 7$  (Anzahl der Codesymbole),
* $k =3$ (Anzahl der Informationssymbole),
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* $k =3$  (Anzahl der Informationssymbole),
* $t = 2$ (Korrekturfähigkeit)
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* $t = 2$  (Korrekturfähigkeit)
  
  
soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|Bounded Distance Decoding]] (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet:
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soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim  [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|Bounded Distance Decoding]]  (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet:
:$${\rm Pr(Blockfehler)}  =$$
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:$${\rm Pr(Blockfehler)}  = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) =
:$$ =
 
 
\sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$
 
\sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$
  
Die Berechnung erfolgt für den [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN–Kanal]], der durch den Parameter $E_{\rm B}/N_0$ gekennzeichnet ist. Dieser Quotient lässt sich über die Beziehung
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Die Berechnung erfolgt für den  [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN–Kanal]], der durch den Parameter  $E_{\rm B}/N_0$  gekennzeichnet ist.  
:$$\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{\frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \big ) $$
 
  
in das [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|BSC–Modell]] übeführen, wobei $R$ die Coderate bezeichnet (hier: $R = 3/7$) und ${\rm Q}(x)$ und [[komplementäre Gaußsche Fehlerintegral]] angibt. Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus $\rm GF(2^3)$ entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter $\epsilon$ ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden. Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|m–BSC–Modells]] gilt:
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*Der Quotient  $E_{\rm B}/{N_0}$  lässt sich über die Beziehung
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:$$\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}/{N_0}} \big ) $$
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in das  [[Kanalcodierung/Klassifizierung_von_Signalen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|BSC–Modell]]  überführen, wobei  $R$  die Coderate bezeichnet  $($hier:  $R = 3/7)$  und  ${\rm Q}(x)$  das  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit|komplementäre Gaußsche Fehlerintegral]]  angibt.  
 +
*Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus  $\rm GF(2^3)$  entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter  $\varepsilon$  ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden.  
 +
*Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des  [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete#Blockfehlerwahrscheinlichkeit_f.C3.BCr_RSC_und_BDD|$m$–BSC–Modells]]  gilt, wobei hier  $m = 3$  zu setzen ist (drei Bit pro Codesymbol):
 
:$$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m  
 
:$$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m  
\hspace{0.05cm},$$
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\hspace{0.05cm}.$$
  
wobei hier $m = 3$ zu setzen ist (3 Bit pro Codesymbol).
 
  
Für einige $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind alle Ergebnisse bereits in obiger Tabelle eingetragen. Die gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert.
+
Für einige  $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind die Ergebnisse in obiger Tabelle eingetragen. Die beiden gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert:
* Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$ ergibt sich $\epsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$ und $\epsilon_{\rm S} \approx 0.2$. Der einfachste Weg zur Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit führt hier über das Kompliment:
+
* Für  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$  ergibt sich  $\varepsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$  und  $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.2$. Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit kann hier am einfachsten über das Komplement berechnet werden:
:$${\rm Pr(Blockfehler)}  = 1 - \big [ {7 \choose 0} \cdot 0.8^7 + {7 \choose 1} \cdot 0.2 \cdot 0.8^6 + {7 \choose 2} \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^5\big ]  
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:$${\rm Pr(Blockfehler)}  = 1 - \left [ {7 \choose 0} \cdot 0.8^7 + {7 \choose 1} \cdot 0.2 \cdot 0.8^6 + {7 \choose 2} \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^5\right ]  
 
\approx 0.148  \hspace{0.05cm}.$$
 
\approx 0.148  \hspace{0.05cm}.$$
* Für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$ erhält man $\epsilon \approx 1.2 \cdot 10^{-4}$ und $\epsilon_{\rm S} \approx 3.5 \cdot 10^{-4}$. Mit dieser sehr kleinen Verfälschungswahrscheinlichkeit dominiert der $f = 3$–Term und man erhält
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* Für  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$  erhält man  $\varepsilon \approx 1.2 \cdot 10^{-4}$  und  $\varepsilon_{\rm S} \approx 3.5 \cdot 10^{-4}$. Mit dieser sehr kleinen Verfälschungswahrscheinlichkeit dominiert der  $f = 3$–Term, und man erhält:
 
:$${\rm Pr(Blockfehler)}  \approx  {7 \choose 3} \cdot (3.5 \cdot 10^{-4})^3 \cdot (1- 3.5 \cdot 10^{-4})^4  
 
:$${\rm Pr(Blockfehler)}  \approx  {7 \choose 3} \cdot (3.5 \cdot 10^{-4})^3 \cdot (1- 3.5 \cdot 10^{-4})^4  
 
\approx 1.63 \cdot 10^{-9}  \hspace{0.05cm}.$$
 
\approx 1.63 \cdot 10^{-9}  \hspace{0.05cm}.$$
  
In dieser Aufgabe sollen Sie für die rot hinterlegten Zeilen $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \ dB$ und $10 \ \rm dB)$ die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten berechnen.
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*Sie sollen für die rot hinterlegten Zeilen  $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \ dB$,   $10 \ \rm dB)$  die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten berechnen.
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*Die blau hinterlegten Zeilen zeigen einige Ergebnisse der  [[Aufgaben:Aufgabe_2.15Z:_Nochmals_RS-Blockfehlerwahrscheinlichkeit|Aufgabe 2.15Z]]. Dort wird  ${\rm Pr}(\underline{v} ≠ \underline{u})$  für  $\varepsilon_{\rm S} = 10\%,  \ 1\%$  $0.1\%$ berechnet.
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*In den Teilaufgaben '''(4)''' und '''(5)''' sollen Sie den Zusammenhang zwischen der Größe  $\varepsilon_{\rm S}$  und dem AWGN–Parameter  $E_{\rm B}/N_0$  herstellen und somit die obige Tabelle vervollständigen.
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Die blau hinterlegten Zeilen zeigen einige Ergebnisse der [[Aufgaben:2.15Z_Nochmals_Pr(%CF%85_%E2%89%A0_u)_f%C3%BCr_BDD|Zusatzaufgabe Z2.15]]. Dort wird ${\rm Pr}(\underline{\upsilon} ≠ \underline{u})$ für $\epsilon_{\rm S} = 10\%, \ 1\%$ und $0.1\%$ berechnet. In den Teilaufgaben (4) und (5) sollen Sie den Zusammenhang zwischen dieser Größe $\epsilon_{\rm S}$ und dem AWGN–Parameter $E_{\rm B}/N_0$ herstellen und somit die obige Tabelle vervollständigen.
 
  
 
''Hinweise:''
 
''Hinweise:''
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete| Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete]].
+
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Kanalcodierung/Fehlerwahrscheinlichkeit_und_Anwendungsgebiete| Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete]].
* Wir weisen Sie auf folgende Interaktionsmodule hin:
+
* Wir verweisen Sie hier auf die beiden  interaktive Applets 
# [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]
+
::[[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  und 
# [[Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung]]
+
::[[Applets:Binomial-_und_Poissonverteilung_(Applet)|Binomial- und Poissonverteilung]].
* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 
  
  
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB$?
+
{Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für&nbsp;  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \ \rm dB}$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$E_{\rm B}/N_0 = 5 \ \rm dB \text{:} \hspace{0.2cm} Pr(Blockfehler) \ = \ ${ 6.66 3% } $\ \cdot 10^{-2}$
+
${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ ${ 6.66 3% } $\ \cdot 10^{-2}$
  
{Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 8 \ \rm dB$?
+
{Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für&nbsp; $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \hspace{0.15cm}\underline{= 8 \ \rm dB}$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB \text{:} \hspace{0.2cm} Pr(Blockfehler) \ = \ ${ 8.63 3% } $\ \cdot 10^{-4}$
+
${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ ${ 8.63 3% } $\ \cdot 10^{-4}$
  
{Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 10 \ \rm dB$?
+
{Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für&nbsp; $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.15cm}\underline{ = 10 \ \rm dB}$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB \text{:} \hspace{0.2cm} Pr(Blockfehler) \ = \ ${ 4.3 3% } $\ \cdot 10^{-6}$
+
${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ ${ 4.3 3% } $\ \cdot 10^{-6}$
  
{Wie hängt $\epsilon_{\rm S} = 0.1$ mit $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$ zusammen? ''Hinweis:'' Verwenden Sie das angegebene Flash&ndash;Modul zur Berechnung von ${\rm Q}(x)$.
+
{Wie hängt&nbsp; $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$&nbsp; mit&nbsp; $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$&nbsp; zusammen? &nbsp; ''Hinweis:'' &nbsp;Verwenden Sie das angegebene Applet zur Berechnung von&nbsp; ${\rm Q}(x)$.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\epsilon_{\rm S} = 0.1 \text{:} \hspace{0.2cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ ${ 5.87 3% } $\ \rm dB$
+
$\varepsilon_{\rm S} = 10^{-1} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ ${ 5.87 3% } $\ \rm dB$
  
{Ermitteln Sie auch die $E_{\rm B}/N_0$&ndash;Werte (in $\rm dB$) für $\epsilon_{\rm S} = 0.01$ und $\epsilon_{\rm S} = 0.001$ und vervollständigen Sie die Tabelle.
+
{Ermitteln Sie auch die&nbsp; $E_{\rm B}/N_0$&ndash;Werte&nbsp; $($in&nbsp; $\rm dB)$&nbsp; für&nbsp; $\varepsilon_{\rm S} = 0.01$&nbsp; und&nbsp; $\varepsilon_{\rm S} = 0.001$. Vervollständigen Sie die Tabelle.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\epsilon_{\rm S} = 0.01 \text{:} \hspace{0.2cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ ${ 9.32 3% } $\ \rm dB$
+
$\varepsilon_{\rm S} = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $ { 9.32 3% } $\ \rm dB$
$\epsilon_{\rm S} = 0.001 \text{:} \hspace{0.2cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ ${ 11.3 3% } $\ \rm dB$
+
$\varepsilon_{\rm S} = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $ { 11.3 3% } $\ \rm dB$
 
</quiz>
 
</quiz>
  
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp;  
+
'''(1)'''&nbsp; Aus der Tabelle auf der Angabenseite kann der BSC&ndash;Parameter $\varepsilon = 0.0505$ abgelesen werden.
'''(2)'''&nbsp;  
+
*Damit erhält man für die Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon_{\rm S}$ mit $m = 3$:
'''(3)'''&nbsp;  
+
:$$1 - \varepsilon_{\rm S} = (1 - 0.0505)^3 \approx 0.856
'''(4)'''&nbsp;  
+
\hspace{0.3cm}\Rightarrow  \hspace{0.3cm}
'''(5)'''&nbsp;  
+
\varepsilon_{\rm S} \approx 0.144
{{ML-Fuß}}
+
\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
*Der schnellste Weg zur Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit führt hier über die Formel
 +
:$${\rm Pr(Blockfehler)}  \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm Pr}(f=0) -  {\rm Pr}(f=1) - {\rm Pr}(f=2) = 1 - 1 \cdot 0.856^7 -
 +
7 \cdot 0.144^1 \cdot 0.856^6 -  21 \cdot 0.144^2 \cdot 0.856^5$$
 +
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)}  \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) =1 - 0.3368 - 0.3965 - 0.2001 \hspace{0.15cm} \underline{=0.0666}
 +
\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
 
 +
'''(2)'''&nbsp; Nach gleichem Rechengang wie in Teilaufgabe '''(1)''' ergibt sich mit $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.03 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.97$:
 +
:$${\rm Pr(Blockfehler)} 
 +
\hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 1 \cdot 0.97^7 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}
 +
7 \cdot 0.03^1 \cdot 0.97^6 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}  21 \cdot 0.03^2 \cdot 0.97^5 =1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.8080 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.1749\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.0162= 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.9991  = 9 \cdot 10^{-4}
 +
\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
*Man sieht, dass hier die Differenz zwischen zwei fast gleich großen Zahlen gebildet werden muss, so dass das Ergebnis mit einem Fehler behaftet sein könnte.
 +
*Deshalb berechnen wir noch folgende Größen:
 +
:$${\rm Pr}(f=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}
 +
{7 \choose 3} \cdot \varepsilon_{\rm S}^3 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^4 = 35 \cdot 0.03^3 \cdot 0.97^4 = 8.366 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$
 +
:$${\rm Pr}(f=4) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}
 +
{7 \choose 4} \cdot \varepsilon_{\rm S}^4 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^3 = 35 \cdot 0.03^4 \cdot 0.97^3 = 0.259 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$
 +
:$${\rm Pr}(f=5) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}
 +
{7 \choose 5} \cdot \varepsilon_{\rm S}^5 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^2 = 21 \cdot 0.03^5 \cdot 0.97^2 = 0.005 \cdot 10^{-4}$$
 +
:$$\Rightarrow  \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u})  \approx {\rm Pr}(f=3) +  {\rm Pr}(f=4) + {\rm Pr}(f=5)  \hspace{0.15cm} \underline{=8.63 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
*Auf die Terme für $f = 6$ und $f = 7$ kann hier verzichtet werden. Sie liefern keinen relevanten Beitrag.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''(3)'''&nbsp; Hier ist bereits $\varepsilon_{\rm S} = 0.005 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.995$ in der Tabelle vorgegeben.
 +
*Der (weitaus) dominierende Term bei der Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist ${\rm Pr}(f = 3)$:
 +
:$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u})  \approx {\rm Pr}(f=3) = {7 \choose 3} \cdot 0.005^3 \cdot 0.995^4
 +
\hspace{0.15cm} \underline{\approx 4.3 \cdot 10^{-6}} \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
 
 +
'''(4)'''&nbsp; Für den BSC&ndash;Parameter $\varepsilon$ gilt mit $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$:
 +
:$$\varepsilon = 1 -(1 - \varepsilon_{\rm S})^{1/3} = 1 - 0.9^{1/3} \approx 0.0345
 +
\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
*Der Zusammenhang zwischen $\varepsilon$ und $E_{\rm B}/N_0$ lautet:
 +
:$$\varepsilon = {\rm Q}(x)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} x = \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
*Die Inverse $x = {\rm Q}^{-1}(0.0345)$ ergibt sich mit dem Applet  [[Applets:QFunction|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  zu $x = 1.82$.
 +
*Damit erhält man weiter:
 +
:$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{1.82^2}{2R \cdot 3/7} \approx 3.864
 +
\hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}
 +
10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0)
 +
\hspace{0.15cm} \underline{\approx 5.87 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$
 +
 
 +
 
 +
'''(5)'''&nbsp; Nach gleicher Rechnung erhält man
 +
* für $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-2} \ \Rightarrow \ \varepsilon \approx 0.33 \cdot 10^{-2} \ \Rightarrow \ x = {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 2.71$
 +
:$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{2.71^2}{2R \cdot 3/7} \approx 8.568
 +
\hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}
 +
10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0)
 +
\hspace{0.15cm} \underline{\approx 9.32 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}, $$
 +
 
 +
* für $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-3} \ \Rightarrow \ \varepsilon \approx 0.33 \cdot 10^{-3} \ \Rightarrow \ x = {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 3.4$:
 +
:$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{3.4^2}{2R \cdot 3/7} \approx 13.487
 +
\hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm}
 +
10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0)
 +
\hspace{0.15cm} \underline{\approx 11.3 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$
 +
 
 +
[[Datei:P_ID2572__KC_A_2_15e_neu.png|right|frame|Ergebnisse zur $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$–Decodierung]]
 +
<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>
 +
Die Grafik zeigt den Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$ sowie die vollständig ausgefüllte Ergebnistabelle.
 +
 
 +
Man erkennt das deutlich ungünstigere (asymptotische) Verhalten dieses kurzen (grünen) Codes $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ gegenüber dem (roten) Vergleichscode $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_8$:
  
  
 +
*Für Abszissenwerte kleiner als $10 \ \rm dB$ ergibt sich sogar ein schlechteres Ergebnis als ohne Codierung.
 +
*Deshalb soll hier nochmals darauf hingewiesen werden, dass dieser $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ wenig praktische Bedeutung hat.
 +
*Er wurde für diese Aufgabe nur deshalb ausgewählt, um mit vertretbarem Aufwand die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei ''Bounded Distance Decoding'' (BDD) demonstrieren zu können.
 +
{{ML-Fuß}}
  
[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^2.6 Fehlerwahrscheinlichkeit und Anwendungsgebiete^]]
+
[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^2.6 RSC&ndash;Fehlerwahrscheinlichkeit^]]

Version vom 10. Juni 2020, 16:50 Uhr

Unvollständige Ergebnistabelle

Am Beispiel des  $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$  mit den Parametern

  • $n = 7$  (Anzahl der Codesymbole),
  • $k =3$  (Anzahl der Informationssymbole),
  • $t = 2$  (Korrekturfähigkeit)


soll die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit beim  Bounded Distance Decoding  (BDD) gezeigt werden. Die entsprechende Gleichung lautet:

$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) = \sum_{f = t + 1}^{n} {n \choose f} \cdot {\varepsilon_{\rm S}}^f \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^{n-f} \hspace{0.05cm}.$$

Die Berechnung erfolgt für den  AWGN–Kanal, der durch den Parameter  $E_{\rm B}/N_0$  gekennzeichnet ist.

  • Der Quotient  $E_{\rm B}/{N_0}$  lässt sich über die Beziehung
$$\varepsilon = {\rm Q} \big (\sqrt{{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}/{N_0}} \big ) $$

in das  BSC–Modell  überführen, wobei  $R$  die Coderate bezeichnet  $($hier:  $R = 3/7)$  und  ${\rm Q}(x)$  das  komplementäre Gaußsche Fehlerintegral  angibt.

  • Da aber beim betrachteten Code die Symbole aus  $\rm GF(2^3)$  entstammen, muss das BSC–Modell mit Parameter  $\varepsilon$  ebenfalls noch an die Aufgabenstellung adaptiert werden.
  • Für die Verfälschungwahrscheinlichkeit des  $m$–BSC–Modells  gilt, wobei hier  $m = 3$  zu setzen ist (drei Bit pro Codesymbol):
$$\varepsilon_{\rm S} = 1 - (1 - \varepsilon)^m \hspace{0.05cm}.$$


Für einige  $E_{\rm B}/N_0$–Werte sind die Ergebnisse in obiger Tabelle eingetragen. Die beiden gelb hinterlegten Zeilen werden hier kurz erläutert:

  • Für  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 4 \ \rm dB$  ergibt sich  $\varepsilon \approx {\rm Q}(1.47) \approx 0.071$  und  $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.2$. Die Blockfehlerwahrscheinlichkeit kann hier am einfachsten über das Komplement berechnet werden:
$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \left [ {7 \choose 0} \cdot 0.8^7 + {7 \choose 1} \cdot 0.2 \cdot 0.8^6 + {7 \choose 2} \cdot 0.2^2 \cdot 0.8^5\right ] \approx 0.148 \hspace{0.05cm}.$$
  • Für  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 12 \ \rm dB$  erhält man  $\varepsilon \approx 1.2 \cdot 10^{-4}$  und  $\varepsilon_{\rm S} \approx 3.5 \cdot 10^{-4}$. Mit dieser sehr kleinen Verfälschungswahrscheinlichkeit dominiert der  $f = 3$–Term, und man erhält:
$${\rm Pr(Blockfehler)} \approx {7 \choose 3} \cdot (3.5 \cdot 10^{-4})^3 \cdot (1- 3.5 \cdot 10^{-4})^4 \approx 1.63 \cdot 10^{-9} \hspace{0.05cm}.$$
  • Sie sollen für die rot hinterlegten Zeilen  $(10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} = 5 \ \rm dB, \ 8 \ dB$,  $10 \ \rm dB)$  die Blockfehlerwahrscheinlichkeiten berechnen.
  • Die blau hinterlegten Zeilen zeigen einige Ergebnisse der  Aufgabe 2.15Z. Dort wird  ${\rm Pr}(\underline{v} ≠ \underline{u})$  für  $\varepsilon_{\rm S} = 10\%,  \ 1\%$  $0.1\%$ berechnet.
  • In den Teilaufgaben (4) und (5) sollen Sie den Zusammenhang zwischen der Größe  $\varepsilon_{\rm S}$  und dem AWGN–Parameter  $E_{\rm B}/N_0$  herstellen und somit die obige Tabelle vervollständigen.





Hinweise:

Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen  und 
Binomial- und Poissonverteilung.



Fragebogen

1

Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \ \rm dB}$?

${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-2}$

2

Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \hspace{0.15cm}\underline{= 8 \ \rm dB}$?

${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-4}$

3

Wie groß ist die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.15cm}\underline{ = 10 \ \rm dB}$?

${\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6}$

4

Wie hängt  $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$  mit  $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$  zusammen?   Hinweis:  Verwenden Sie das angegebene Applet zur Berechnung von  ${\rm Q}(x)$.

$\varepsilon_{\rm S} = 10^{-1} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $

$\ \rm dB$

5

Ermitteln Sie auch die  $E_{\rm B}/N_0$–Werte  $($in  $\rm dB)$  für  $\varepsilon_{\rm S} = 0.01$  und  $\varepsilon_{\rm S} = 0.001$. Vervollständigen Sie die Tabelle.

$\varepsilon_{\rm S} = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $

$\ \rm dB$
$\varepsilon_{\rm S} = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $

$\ \rm dB$


Musterlösung

(1)  Aus der Tabelle auf der Angabenseite kann der BSC–Parameter $\varepsilon = 0.0505$ abgelesen werden.

  • Damit erhält man für die Symbolverfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon_{\rm S}$ mit $m = 3$:
$$1 - \varepsilon_{\rm S} = (1 - 0.0505)^3 \approx 0.856 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varepsilon_{\rm S} \approx 0.144 \hspace{0.05cm}.$$
  • Der schnellste Weg zur Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit führt hier über die Formel
$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm Pr}(f=0) - {\rm Pr}(f=1) - {\rm Pr}(f=2) = 1 - 1 \cdot 0.856^7 - 7 \cdot 0.144^1 \cdot 0.856^6 - 21 \cdot 0.144^2 \cdot 0.856^5$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) =1 - 0.3368 - 0.3965 - 0.2001 \hspace{0.15cm} \underline{=0.0666} \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Nach gleichem Rechengang wie in Teilaufgabe (1) ergibt sich mit $\varepsilon_{\rm S} \approx 0.03 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.97$:

$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 1 \cdot 0.97^7 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 7 \cdot 0.03^1 \cdot 0.97^6 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 21 \cdot 0.03^2 \cdot 0.97^5 =1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.8080 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.1749\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.0162= 1 \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} 0.9991 = 9 \cdot 10^{-4} \hspace{0.05cm}.$$
  • Man sieht, dass hier die Differenz zwischen zwei fast gleich großen Zahlen gebildet werden muss, so dass das Ergebnis mit einem Fehler behaftet sein könnte.
  • Deshalb berechnen wir noch folgende Größen:
$${\rm Pr}(f=3) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {7 \choose 3} \cdot \varepsilon_{\rm S}^3 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^4 = 35 \cdot 0.03^3 \cdot 0.97^4 = 8.366 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$
$${\rm Pr}(f=4) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {7 \choose 4} \cdot \varepsilon_{\rm S}^4 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^3 = 35 \cdot 0.03^4 \cdot 0.97^3 = 0.259 \cdot 10^{-4}\hspace{0.05cm},$$
$${\rm Pr}(f=5) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {7 \choose 5} \cdot \varepsilon_{\rm S}^5 \cdot (1 - \varepsilon_{\rm S})^2 = 21 \cdot 0.03^5 \cdot 0.97^2 = 0.005 \cdot 10^{-4}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) + {\rm Pr}(f=4) + {\rm Pr}(f=5) \hspace{0.15cm} \underline{=8.63 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Auf die Terme für $f = 6$ und $f = 7$ kann hier verzichtet werden. Sie liefern keinen relevanten Beitrag.



(3)  Hier ist bereits $\varepsilon_{\rm S} = 0.005 \ \Rightarrow \ 1 - \varepsilon_{\rm S} = 0.995$ in der Tabelle vorgegeben.

  • Der (weitaus) dominierende Term bei der Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit ist ${\rm Pr}(f = 3)$:
$${\rm Pr(Blockfehler)} = {\rm Pr}(\underline{v} \ne \underline{u}) \approx {\rm Pr}(f=3) = {7 \choose 3} \cdot 0.005^3 \cdot 0.995^4 \hspace{0.15cm} \underline{\approx 4.3 \cdot 10^{-6}} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Für den BSC–Parameter $\varepsilon$ gilt mit $\varepsilon_{\rm S} = 0.1$:

$$\varepsilon = 1 -(1 - \varepsilon_{\rm S})^{1/3} = 1 - 0.9^{1/3} \approx 0.0345 \hspace{0.05cm}.$$
  • Der Zusammenhang zwischen $\varepsilon$ und $E_{\rm B}/N_0$ lautet:
$$\varepsilon = {\rm Q}(x)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.5cm} x = \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0}\hspace{0.05cm}.$$
$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{1.82^2}{2R \cdot 3/7} \approx 3.864 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 5.87 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$


(5)  Nach gleicher Rechnung erhält man

  • für $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-2} \ \Rightarrow \ \varepsilon \approx 0.33 \cdot 10^{-2} \ \Rightarrow \ x = {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 2.71$
$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{2.71^2}{2R \cdot 3/7} \approx 8.568 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 9.32 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}, $$
  • für $\varepsilon_{\rm S} = 10^{-3} \ \Rightarrow \ \varepsilon \approx 0.33 \cdot 10^{-3} \ \Rightarrow \ x = {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 3.4$:
$$E_{\rm B}/N_0 = \frac{x^2}{2R} = \frac{3.4^2}{2R \cdot 3/7} \approx 13.487 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm}(E_{\rm B}/N_0) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 11.3 \,\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}. $$
Ergebnisse zur $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$–Decodierung











Die Grafik zeigt den Verlauf der Blockfehlerwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $10 \cdot \lg {E_{\rm B}/N_0}$ sowie die vollständig ausgefüllte Ergebnistabelle.

Man erkennt das deutlich ungünstigere (asymptotische) Verhalten dieses kurzen (grünen) Codes $\rm RSC \, (7, \, 5, \, 3)_8$ gegenüber dem (roten) Vergleichscode $\rm RSC \, (255, \, 223, \, 33)_8$:


  • Für Abszissenwerte kleiner als $10 \ \rm dB$ ergibt sich sogar ein schlechteres Ergebnis als ohne Codierung.
  • Deshalb soll hier nochmals darauf hingewiesen werden, dass dieser $\rm RSC \, (7, \, 3, \, 5)_8$ wenig praktische Bedeutung hat.
  • Er wurde für diese Aufgabe nur deshalb ausgewählt, um mit vertretbarem Aufwand die Berechnung der Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei Bounded Distance Decoding (BDD) demonstrieren zu können.