Aufgaben:Aufgabe 2.12: Decodierung beim RSC (7, 4, 4) zur Basis 8

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ELP–Belegungsschemata für $r = 1, \ r = 2, \ r = 3$

Wir analysieren den Peterson–Algorithmus, der im Theorieteil zu Kapitel 2.5 ausführlich dargelegt ist. Vorausgesetzt wird der Reed–Solomon–Code mit den Parametern $n = 7, \ k = 4$ und $d_{\rm min} = 4$, wobei alle Codesymbole aus $\rm GF(2^3)$ stammen und alle Rechenoperationen in $\rm GF(2^3)$ durchzuführen sind.

Die Prüfmatrix dieses Codes lautet:

$${ \boldsymbol{\rm H}} = \begin{pmatrix} 1 & \alpha^1 & \alpha^2 & \alpha^3 & \alpha^4 & \alpha^5 & \alpha^6\\ 1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^6 & \alpha^1 & \alpha^{3} & \alpha^{5}\\ 1 & \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^2 & \alpha^{5} & \alpha^{1} & \alpha^{4} \end{pmatrix} \hspace{0.05cm}.$$

Im Schritt (A) des hier betrachteten Decodier–Algorithmuses muss das Syndrom $\underline{s} = \underline{y} \cdot \mathbf{H}^{\rm T}$ berechnet werden. Für das hier vorausgesetzte Empfangswort $\underline{y} = (\alpha^1, \, 0, \, \alpha^3, \, 0, \, 1, \, \alpha, \, 0)$ ergibt sich das Syndrom zu $\underline{s} = (\alpha^4, \, \alpha^5, \, \alpha^6)$, wie in Aufgabe Z.12 noch gezeigt wird.

Danach müssen die ELP–Koeffizientenvektoren gemäß der nebenstehenden Abbildung aufgestellt und ausgewertet werden, wobei die Belegung davon abhängt, ob man von $r = 1, \ r = 2$ oder $r = 3$ Symbolfehlern im Empfangswort ausgeht.

Sind für die angenommene Symbolfehlerzahl $r$ alle Gleichungen ${\it \underline{\Lambda}}_l \cdot \underline{s}^{\rm T} = 0$ erfüllt, so weist das Empfangswort $\underline{y}$ tatsächlich genau $r$ Symbolfehler auf.

Die weiteren Schritte können Sie dem Theorieteil entnehmen:

• Schritt (C): Lokalisierung der Fehlerpositionen,
• Schritt (D): Ermittlung der Fehlerwerte.

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Fehlerkorrektur nach Reed–Solomon–Codierung.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Welche Belegungsschemata sind für diese Aufgabe relevant?

	Das blau hinterlegte Schema $(r = 1)$.
	Das rot hinterlegte Schema $(r = 2)$.
	Das grün hinterlegte Schema $(r = 3)$.

2

Wie lang sind die ELP–Koeffizientenvektoren ${\it \underline{\Lambda}}_l$?

$L \ = \ $

3

Wieviele solcher Vektoren ${\it \underline{\Lambda}}_l$ mit Index $l = 1, \ ... \ , \ l_{\rm max}$ gibt es?

$l_{\rm max} \ = \ $

4

Das Syndrom ergibt sich zu $\underline{s} = (\alpha^4, \, \alpha^5, \, \alpha^6)$. Ist die Decodierung erfolgreich?

	JA.
	NEIN.

5

Welche Symbole wurden verfälscht?

	Symbol 0,
	Symbol 1,
	Symbol 6.

6

Geben Sie den Wert des verfälschten Symbols $e_i ≠ 0$ an.

	$e_i = \alpha^2$,
	$e_i = \alpha^3$,
	$e_i = 1$.

7

Das Syndrom sei nun $\underline{s} = (\alpha^2, \, \alpha^4, \, \alpha^5)$. Ist damit die Decodierung erfolgreich?

	JA.
	NEIN.

Musterlösung

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