Aufgabe 2.11Z: Erasure–Kanal für Symbole
Das Kanalmodell Binary Erasure Channel (BEC) beschreibt einen Auslöschungskanal auf Bitebene. Ein Binärsymbol $0$ bzw. $1$ wird mit der Wahrscheinlichkeit $1 - \lambda$ richtig übertragen und mit der Wahrscheinlichkeit $\lambda$ als Auslöschung $\rm E$ (Erasure) markiert. Im Gegensatz zum BSC kann es hier nicht zu Verfälschungen $(0 → 1, \ 1 → 0)$ kommen.
Ein Reed–Solomon–Code basiert auf einem Galoisfeld ${\rm GF}(2^m)$ mit ganzzahligem $m$. Jedes Codesymbol $c$ lässt sich somit durch $m \ \rm Bit$ darstellen. Will man hier das BEC–Modell anwenden, so muss man dieses zum m–BEC–Modell modifizieren, wie es in der unteren Grafik für $m = 2$ gezeigt ist:
Alle Codesymbole – in binärer Darstellung $00, \ 01, \ 10$ und $11$ – werden mit der Wahrscheinlichkeit $1 - \lambda_2$ richtig übertragen. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für ein ausgelöschtes Symbol $\lambda_2$. Zu beachten ist, dass bereits ein einziges ausgelöschtes Bit zum ausgelöschten Empfangssymbol $y = \rm E$ führt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Reed–Solomon–Decodierung beim Auslöschungskanal.
- Bei einem auf ${\rm GF}(2^m)$ basierenden Code ist das skizzierte 2–BEC–Modell zum $m$–BEC zu erweitern. Die Auslöschungswahrscheinlichkeit dieses Modell wird dann mit $\lambda_m$ bezeichnet.
- Für die Teilaufgaben (1), (2) und (3) gelte für die Auslöschungswahrscheinlichkeit des Grundmodells gemäß der oberen Grafik stets $\lambda = 0.2$.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
