Aufgabe 2.11: Hüllkurvendemodulation eines ESB-Signals

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Wir betrachten die Übertragung des Cosinussignals $$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)$$ gemäß dem Modulationsverfahren „OSB–AM mit Träger”. Beim Empfänger wird das hochfrequente Signal mittels eines Hüllkurvendemodulators in den NF-Bereich zurückgesetzt

Der Kanal wird als ideal vorausgesetzt, so dass $r(t) = s(t)$ gilt. Mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis $$ \mu = \frac{A_{\rm N}}{2 \cdot A_{\rm T}}$$ kann für das äquivalente TP–Signal auch geschrieben werden: $$r_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \left( 1 + \mu \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot \hspace{0.03cm}\hspace{0.03cm}t} \right) \hspace{0.05cm}$$ Die Hüllkurve – also der Betrag dieses komplexen Signals – kann durch geometrische Überlegungen ermittelt werden. Man erhält abhängig vom Parameter $μ$: $$a(t ) = A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 + 2 \mu \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)}\hspace{0.05cm}.$$ In der Grafik ist die zeitabhängige Hüllkurve a(t) für $μ = 1$ und $μ = 0.5$ dargestellt. Als gestrichelte Vergleichskurven sind jeweils die in der Amplitude angepassten Cosinusschwingungen eingezeichnet, die für eine verzerrungsfreie Demodulation Voraussetzung wären.

Das periodische Signal a(t) kann durch eine Fourierreihe angenähert werden: $$a(t ) = A_{\rm 0} + A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t) + A_{\rm 2} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} \cdot t)+ A_{\rm 3} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t)\hspace{0.05cm}+...$$ Die Fourierkoeffizienten wurden mit Hilfe eines Simulationsprogrammes ermittelt. Für $μ = 1$ ergaben sich folgende Werte: $$A_{\rm 0} = 1.273\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 1} = 0.849\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = -0.170\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 3} = 0.073\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 4} = 0.040\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$ Entsprechend ergab die Simulation mit $μ = 0.5$: $$A_{\rm 0} = 1.064\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 1} = 0.484\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = 0.058\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$ Die hier nicht angegebenen Werte können bei der Berechnung des Klirrfaktors vernachlässigt werden. Das Sinkensignal $υ(t)$ ergibt sich aus $a(t)$ wie folgt: $$v(t) = 2 \cdot [a(t ) - A_{\rm 0}] \hspace{0.05cm}.$$ Der Faktor 2 korrigiert dabei die Amplitudenminderung durch die ESB–AM, während die Subtraktion des Gleichsignalkoeffizienten $A_0$ den Einfluss des Hochpasses innerhalb des Hüllkurvendemodulators berücksichtigt.

Für die Teilaufgaben a) bis c) wird $A_N = 2 V$, $A_T = 1 V$ und somit $μ = 1$ vorausgesetzt, während ab Frage d) der Parameter $μ = 0.5 (A_N = A_T = 1 V)$ festgelegt ist.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 2.4. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse auch mit der Faustformel, die besagt, dass bei der Hüllkurvendemodulation eines ESB–AM–Signals mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis $μ$ der Klirrfaktor $K ≈ μ/4$ beträgt.

Fragebogen

1

Geben Sie den Maximal– und Minimalwert des Sinkensignals für $μ = 1$ an.

$μ = 1: υ_{max}$ = $V$

$μ = 1: υ_{min}$ = $V$

2

Berechnen Sie den Klirrfaktor für '$μ = 1$.

$μ = 1: K$ = $\text{%}$

3

Woran erkennt man die nichtlinearen Verzerrungen im vorliegenden Signal $υ(t)$?

	Die untere Cosinushalbwelle ist spitzförmiger als die obere.
	Der Gleichsignalanteil $Ε[υ(t)] = 0$.

4

Geben Sie den Maximal– und Minimalwert des Sinkensignals für $μ = 0.5$ an.

$μ = 0.5: υ_ {max}$ = $V$

$μ = 0.5: υ_ {min}$ = $V$

5

Berechnen Sie den Klirrfaktor für $μ = 0.5$.

$μ = 0.5: K$ = $\text{%}$

6

Geben Sie eine obere Schranke für den Klirrfaktor bei ZSB–AM (m = 0.5) und HKD an, wenn ein Seitenband durch den Kanal gedämpft wird.

$μ = 0.5: K_{max}$ = $\text{%}$

Musterlösung

Musterlösung

1.Der Maximalwert $a_{max} = 2 V$ und der Minimalwert $a_{min} = 0$ können aus der Grafik abgelesen oder über die angegebene Gleichung berechnet werden: $$ a_{\rm max} = A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 + 2 \mu}= A_{\rm T} \cdot (1+ \mu) = 2\,{\rm V} \hspace{0.05cm},$$ $$a_{\rm min} = A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 - 2 \mu}= A_{\rm T} \cdot (1- \mu) = 0 \hspace{0.05cm}.$$ Für die Extremwerte des Sinkensignals folgt daraus: $$ v_{\rm max} = 2 \cdot [a_{\rm max} - A_{\rm 0}] = 2 \cdot [2\,{\rm V} - 1.273\,{\rm V}] \hspace{0.15cm}\underline {=1.454\,{\rm V}}\hspace{0.05cm},$$ $$ v_{\rm min} = -2 \cdot A_{\rm 0} \hspace{0.15cm}\underline {= -2.546\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

2. Unter Vernachlässigung der Fourierkoeffizienten $A_5$, $A_6$, usw. erhält man: $$K = \frac{\sqrt{A_2^2 + A_3^2+ A_4^2 }}{A_1}= \frac{\sqrt{0.170^2 + 0.073^2 + 0.040^2 }{\,\rm V}}{0.849\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 22.3 \%}.$$ Die Näherung $K ≈ μ/4$ liefert hier den Wert $25%$.

3. Nur der erste Lösungsvorschlag ist richtig. Aufgrund des Hochpasses innerhalb des HKD wäre der Gleichsignalanteil auch dann 0, wenn keine Verzerrungen vorlägen.

4. Analog zur Teilaufgabe a) gilt hier: $$v_{\rm max} = 2 \cdot [a_{\rm max} - A_{\rm 0}] = 2 \cdot [1.5\,{\rm V} - 1.064\,{\rm V}] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.872\,{\rm V}}\hspace{0.05cm},$$ $$ v_{\rm min} = -2 \cdot A_{\rm 0} \hspace{0.15cm}\underline {= -2.128\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$ 5. Bei kleinerem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis ergibt sich auch ein kleinerer Klirrfaktor: $$K = \frac{0.058{\,\rm V}}{0.484\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 12 \%}.$$ Die Näherung $K ≈ μ/4$ ergibt hier $12.5%$. Daraus kann geschlossen werden, dass die angegebene Faustformel bei kleinerem $μ$ genauer ist.

6.Der Klirrfaktor ist dann am größten, wenn eines der Seitenbänder völlig abgeschnitten wird. Da aber der Hüllkurvendemodulator keinerlei Kenntnis davon hat, ob eine ESB–AM oder eine durch $H_K(f)$ beeinträchtigte ZSB–AM vorliegt, gibt $K_{max} ≈ μ/4$ gleichzeitig eine obere Schranke für die ZSB–AM an.

Ein Vergleich der Parameter $m = A_N/A_T$ und $μ = A_N/(2A_T)$ führt zum Ergebnis: $$K_{\rm max} = \frac{\mu}{4} = \frac{m}{8} \hspace{0.15cm}\underline {=6.25 \%}.$$