Aufgaben:Aufgabe 2.11: Hüllkurvendemodulation eines ESB-Signals: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 18. Februar 2022, 16:19 Uhr

(Normierte) Hüllkurve bei der
Einseitenband–Modulation

Wir betrachten die Übertragung des Cosinussignals

$$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)$$

gemäß dem Modulationsverfahren „OSB–AM mit Träger”. Beim Empfänger wird das hochfrequente Signal mittels eines Hüllkurvendemodulators in den NF-Bereich zurückgesetzt.

Der Kanal wird als ideal vorausgesetzt, so dass das Empfangssignal $r(t)$ identisch mit dem Sendesignal $s(t)$ ist. Mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis

$$ \mu = \frac{A_{\rm N}}{2 \cdot A_{\rm T}}$$

kann für das äquivalente Tiefpass–Signal auch geschrieben werden:

$$r_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \left( 1 + \mu \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot \hspace{0.03cm}\hspace{0.03cm}t} \right) \hspace{0.05cm}$$

Die Hüllkurve – also der Betrag dieses komplexen Signals – kann durch geometrische Überlegungen ermittelt werden. Man erhält abhängig vom Parameter $μ$:

$$a(t ) = A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 + 2 \mu \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)}\hspace{0.05cm}.$$

In der Grafik ist die zeitabhängige Hüllkurve $a(t)$ für $μ = 1$ und $μ = 0.5$ dargestellt. Als gestrichelte Vergleichskurven sind jeweils die in der Amplitude angepassten Cosinusschwingungen eingezeichnet, die für eine verzerrungsfreie Demodulation Voraussetzung wären.

Das periodische Signal $a(t)$ kann durch eine Fourierreihe angenähert werden:

$$a(t ) = A_{\rm 0} + A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t) + A_{\rm 2} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} \cdot t)+ A_{\rm 3} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t)\hspace{0.05cm}+\text{...}$$

Die Fourierkoeffizienten wurden mit Hilfe eines Simulationsprogrammes ermittelt. Für $μ = 1$ ergaben sich folgende Werte:

$$A_{\rm 0} = 1.273\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 1} = 0.849\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = -0.170\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 3} = 0.073\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 4} = 0.040\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend ergab die Simulation mit $μ = 0.5$:

$$A_{\rm 0} = 1.064\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 1} = 0.484\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = 0.058\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$

Die hier nicht angegebenen Werte können bei der Klirrfaktorberechnung vernachlässigt werden.

Das Sinkensignal $v(t)$ ergibt sich aus $a(t)$ wie folgt:

$$v(t) = 2 \cdot \big [a(t ) - A_{\rm 0} \big ] \hspace{0.05cm}.$$

Der Faktor $2$ korrigiert dabei die Amplitudenminderung durch die Einseitenband–Amplitudenmodulation, während die Subtraktion des Gleichsignalkoeffizienten $A_0$ den Einfluss des Hochpasses innerhalb des Hüllkurvendemodulators berücksichtigt.

Für die Fragen (1) bis (3) wird $A_{\rm N} = 2 \ \rm V$, $A_{\rm T} = 1 \ \rm V$ ⇒ $μ = 1$ vorausgesetzt, während ab Frage (4) für den Parameter $μ = 0.5$ ⇒ $A_{\rm N} = A_{\rm T} = 1 \ \rm V$ gelten soll.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einseitenbandmodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Seitenband-zu-Träger-Verhältnis.
Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse auch mit der Faustformel, die besagt, dass bei der Hüllkurvendemodulation eines ESB–AM–Signals mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis $μ$ der Klirrfaktor $K ≈ μ/4$ beträgt.

Fragebogen

$v_{\rm max} \ = \ $

$\ \rm V$

$v_{\rm min} \ = \ $

$\ \rm V$

$K \ = \ $

$\ \text{%}$

	Die untere Cosinushalbwelle ist spitzförmiger als die obere.
	Der Gleichsignalanteil ${\rm Ε}\big[v(t)\big ] = 0$.

$v_{\rm max} \ = \ $

$\ \rm V$

$v_{\rm min} \ = \ $

$\ \rm V$

$K \ = \ $

$\ \text{%}$

$K_{\rm max} \ = \ $

$\ \text{%}$

Musterlösung

(1) Der Maximalwert $a_{\rm max} = 2\ \rm V$ und der Minimalwert $a_{\rm min} = 0$ können aus der Grafik abgelesen oder über die angegebene Gleichung berechnet werden:

$$ a_{\rm max} = A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 + 2 \mu}= A_{\rm T} \cdot (1+ \mu) = 2\,{\rm V} \hspace{0.05cm},$$

$$a_{\rm min} = A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 - 2 \mu}= A_{\rm T} \cdot (1- \mu) = 0 \hspace{0.05cm}.$$

Für die beiden Extremwerte des Sinkensignals folgt daraus:

$$ v_{\rm max} = 2 \cdot [a_{\rm max} - A_{\rm 0}] = 2 \cdot [2\,{\rm V} - 1.273\,{\rm V}] \hspace{0.15cm}\underline {=1.454\,{\rm V}}\hspace{0.05cm},$$

$$ v_{\rm min} = -2 \cdot A_{\rm 0} \hspace{0.15cm}\underline {= -2.546\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(2) Unter Vernachlässigung der Fourierkoeffizienten $A_5$, $A_6$, usw. erhält man:

$$K = \frac{\sqrt{A_2^2 + A_3^2+ A_4^2 }}{A_1}= \frac{\sqrt{0.170^2 + 0.073^2 + 0.040^2 }{\,\rm V}}{0.849\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 22.3 \%}.$$

Die Näherung $K ≈ μ/4$ liefert hier den Wert $25\%$.

(3) Nur der erste Lösungsvorschlag ist richtig.

Aufgrund des Hochpasses innerhalb des Hüllkurvendemodulators wäre der Gleichsignalanteil auch dann Null, wenn keine Verzerrungen vorlägen.

(4) Analog zur Teilaufgabe (1) gilt hier:

$$v_{\rm max} = 2 \cdot [a_{\rm max} - A_{\rm 0}] = 2 \cdot [1.5\,{\rm V} - 1.064\,{\rm V}] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.872\,{\rm V}}\hspace{0.05cm},$$

$$ v_{\rm min} = -2 \cdot A_{\rm 0} \hspace{0.15cm}\underline {= -2.128\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(5) Bei kleinerem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis ergibt sich auch ein kleinerer Klirrfaktor:

$$K = \frac{0.058{\,\rm V}}{0.484\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 12 \%}.$$

Die einfache Näherung $K ≈ μ/4$ ergibt hier $12.5\%$.
Daraus kann geschlossen werden, dass die angegebene Faustformel bei kleinerem $μ$ genauer ist.

(6) Der Klirrfaktor ist dann am größten, wenn eines der Seitenbänder völlig abgeschnitten wird.

Da aber der Hüllkurvendemodulator keinerlei Kenntnis davon hat, ob

eine ESB–AM, oder
eine durch den Kanal extrem beeinträchtigte ZSB–AM

vorliegt, gibt $K_{\rm max} ≈ μ/4$ gleichzeitig eine obere Schranke für die ZSB–AM an.

Ein Vergleich der Parameter $m = A_{\rm N}/A_{\rm T}$ und $μ = A_{\rm N}/(2A_{\rm T})$ führt zum Ergebnis:

$$K_{\rm max} = \frac{\mu}{4} = \frac{m}{8} \hspace{0.15cm}\underline {=6.25 \%}.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID1047__Mod_A_2_10.png|right|]]
+[[Datei:P_ID1047__Mod_A_2_10.png|right|frame|(Normierte) Hüllkurve bei der <br>Einseitenband–Modulation]]
 Wir betrachten die Übertragung des Cosinussignals
-$$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)$$
+:$$ q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)$$
-gemäß dem Modulationsverfahren „OSB–AM mit Träger”. Beim Empfänger wird das hochfrequente Signal mittels eines Hüllkurvendemodulators in den NF-Bereich zurückgesetzt
+gemäß dem Modulationsverfahren „OSB–AM mit Träger”.&nbsp; Beim Empfänger wird das hochfrequente Signal mittels eines&nbsp; [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulators]]&nbsp; in den NF-Bereich zurückgesetzt.
-Der Kanal wird als ideal vorausgesetzt, so dass $r(t) = s(t)$ gilt. Mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis
+Der Kanal wird als ideal vorausgesetzt,&nbsp; so dass das Empfangssignal&nbsp;  &nbsp;$r(t)$&nbsp; identisch mit dem Sendesignal  &nbsp;$s(t)$&nbsp; ist.&nbsp; Mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis
-$$ \mu = \frac{A_{\rm N}}{2 \cdot A_{\rm T}}$$
+:$$ \mu = \frac{A_{\rm N}}{2 \cdot A_{\rm T}}$$
-kann für das äquivalente TP–Signal auch geschrieben werden:
+kann für das äquivalente Tiefpass–Signal auch geschrieben werden:
-$$r_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \left( 1 + \mu \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot \hspace{0.03cm}\hspace{0.03cm}t} \right) \hspace{0.05cm}$$
+:$$r_{\rm TP}(t) = A_{\rm T} \cdot \left( 1 + \mu \cdot {\rm e}^{{\rm j} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm N}\cdot \hspace{0.03cm}\hspace{0.03cm}t} \right) \hspace{0.05cm}$$
-Die Hüllkurve – also der Betrag dieses komplexen Signals – kann durch geometrische Überlegungen ermittelt werden. Man erhält abhängig vom Parameter $μ$:
-$$a(t ) = A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 + 2 \mu \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)}\hspace{0.05cm}.$$
+Die Hüllkurve – also der Betrag dieses komplexen Signals – kann durch geometrische Überlegungen ermittelt werden.&nbsp; Man erhält abhängig vom Parameter &nbsp;$μ$:
-In der Grafik ist die zeitabhängige Hüllkurve a(t) für $μ = 1$ und $μ = 0.5$ dargestellt. Als gestrichelte Vergleichskurven sind jeweils die in der Amplitude angepassten Cosinusschwingungen eingezeichnet, die für eine verzerrungsfreie Demodulation Voraussetzung wären.
+:$$a(t ) = A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 + 2 \mu \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t)}\hspace{0.05cm}.$$
+In der Grafik ist die zeitabhängige Hüllkurve &nbsp;$a(t)$&nbsp; für &nbsp;$μ = 1$&nbsp; und &nbsp;$μ = 0.5$&nbsp; dargestellt.&nbsp; Als gestrichelte Vergleichskurven sind jeweils die in der Amplitude angepassten Cosinusschwingungen eingezeichnet, die für eine verzerrungsfreie Demodulation Voraussetzung wären.
+*Das periodische Signal &nbsp;$a(t)$&nbsp; kann durch eine&nbsp; [[Signaldarstellung/Fourierreihe|Fourierreihe]]&nbsp; angenähert werden:
+:$$a(t ) = A_{\rm 0} + A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t) + A_{\rm 2} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} \cdot t)+ A_{\rm 3} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t)\hspace{0.05cm}+\text{...}$$
+*Die Fourierkoeffizienten wurden mit Hilfe eines Simulationsprogrammes ermittelt.&nbsp; Für &nbsp;$μ = 1$&nbsp; ergaben sich folgende Werte:
+:$$A_{\rm 0} = 1.273\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 1} = 0.849\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = -0.170\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 3} = 0.073\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 4} = 0.040\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
+*Entsprechend ergab die Simulation mit &nbsp;$μ = 0.5$:
+:$$A_{\rm 0} = 1.064\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 1} = 0.484\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = 0.058\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
+:Die hier nicht angegebenen Werte können bei der Klirrfaktorberechnung  vernachlässigt werden.
+*Das Sinkensignal &nbsp;$v(t)$&nbsp; ergibt sich aus &nbsp;$a(t)$&nbsp; wie folgt:
+:$$v(t) = 2 \cdot \big [a(t ) - A_{\rm 0} \big ] \hspace{0.05cm}.$$
+:Der Faktor&nbsp; $2$&nbsp; korrigiert dabei die Amplitudenminderung durch die Einseitenband–Amplitudenmodulation,&nbsp; während die Subtraktion des Gleichsignalkoeffizienten &nbsp;$A_0$&nbsp; den Einfluss des Hochpasses innerhalb des Hüllkurvendemodulators berücksichtigt.
+Für die Fragen&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(3)'''&nbsp; wird &nbsp;$A_{\rm N} = 2 \ \rm V$, $A_{\rm T} = 1 \ \rm V$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $μ = 1$&nbsp; vorausgesetzt, während ab Frage&nbsp; '''(4)'''&nbsp; für den Parameter &nbsp;$μ = 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  $A_{\rm N} = A_{\rm T} = 1 \ \rm V$&nbsp; gelten soll.
+Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation|Einseitenbandmodulation]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;   [[Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation#Seitenband.E2.80.93zu.E2.80.93Tr.C3.A4ger.E2.80.93Verh.C3.A4ltnis|Seitenband-zu-Träger-Verhältnis]].
+*Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse auch mit der Faustformel, die besagt, dass bei der Hüllkurvendemodulation eines ESB–AM–Signals mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis &nbsp;$μ$&nbsp; der Klirrfaktor &nbsp;$K ≈ μ/4$&nbsp; beträgt.
-Das periodische Signal a(t) kann durch eine Fourierreihe angenähert werden:
-$$a(t ) = A_{\rm 0} + A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t) + A_{\rm 2} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} \cdot t)+ A_{\rm 3} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} \cdot t)\hspace{0.05cm}+...$$
-Die Fourierkoeffizienten wurden mit Hilfe eines Simulationsprogrammes ermittelt. Für $μ = 1$ ergaben sich folgende Werte:
-$$A_{\rm 0} = 1.273\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 1} = 0.849\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = -0.170\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 3} = 0.073\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 4} = 0.040\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
-Entsprechend ergab die Simulation mit $μ = 0.5$:
-$$A_{\rm 0} = 1.064\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 1} = 0.484\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = 0.058\,{\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
-Die hier nicht angegebenen Werte können bei der Berechnung des Klirrfaktors vernachlässigt werden. Das Sinkensignal $υ(t)$ ergibt sich aus $a(t)$ wie folgt:
-$$v(t) = 2 \cdot [a(t ) - A_{\rm 0}] \hspace{0.05cm}.$$
-Der Faktor 2 korrigiert dabei die Amplitudenminderung durch die ESB–AM, während die Subtraktion des Gleichsignalkoeffizienten $A_0$ den Einfluss des Hochpasses innerhalb des Hüllkurvendemodulators berücksichtigt.
-Für die Teilaufgaben a) bis c) wird $A_N = 2 V$, $A_T = 1 V$ und somit $μ = 1$ vorausgesetzt, während ab Frage d) der Parameter $μ = 0.5 (A_N = A_T = 1 V)$ festgelegt ist.
-'''Hinweis:''' Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Einseitenbandmodulation Kapitel 2.4]. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse auch mit der Faustformel, die besagt, dass bei der Hüllkurvendemodulation eines ESB–AM–Signals mit dem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis $μ$ der Klirrfaktor $K ≈ μ/4$ beträgt.
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie den Maximal– und Minimalwert des Sinkensignals für $μ = 1$ an.
+{Geben Sie den Maximalwert und den Minimalwert des Sinkensignals &nbsp;$v(t)$&nbsp; für &nbsp;$μ = 1$&nbsp; an.
 |type="{}"}
-$μ = 1:   υ_{max}$ = { 1.454 3% } $V$
+$v_{\rm max} \ = \ $ { 1.454 3% } $\ \rm V$
-$μ = 1:   υ_{min}$ = { -2.546 3% } $V$
+$v_{\rm min} \ = \ $ { -2.62--2.48 } $\ \rm V$
-{Berechnen Sie den Klirrfaktor für '$μ = 1$.
+{Berechnen Sie den Klirrfaktor für &nbsp;$μ = 1$.
 |type="{}"}
-$μ = 1:   K$ = { 22.3 3%  } $\text{%}$
+$K \ = \ $ { 22.3 3%  } $\ \text{%}$
-{Woran erkennt man die nichtlinearen Verzerrungen im vorliegenden Signal $υ(t)$?
+{Woran erkennt man die nichtlinearen Verzerrungen im vorliegenden Signal &nbsp;$v(t)$?
 |type="[]"}
 + Die untere Cosinushalbwelle ist spitzförmiger als die obere.
-- Der Gleichsignalanteil $Ε[υ(t)] = 0$.
+- Der Gleichsignalanteil &nbsp;${\rm Ε}\big[v(t)\big ] = 0$.
-{Geben Sie den Maximal– und Minimalwert des Sinkensignals für $μ = 0.5$ an.
+{Geben Sie den Maximalwert und den Minimalwert des Sinkensignals &nbsp;$v(t)$&nbsp; für &nbsp;$μ = 0.5$&nbsp; an.
 |type="{}"}
-$μ = 0.5:   υ_ {max}$ = { 0.872 3% } $V$
+$v_{\rm max} \ = \ $ { 0.872 3% } $\ \rm V$
-$μ = 0.5:   υ_ {min}$ = { -2.128 3% } $V$
+$v_{\rm min} \ = \ $ { -2.19--2.07 } $\ \rm V$
-{Berechnen Sie den Klirrfaktor für $μ = 0.5$.
+{Berechnen Sie den Klirrfaktor für &nbsp;$μ = 0.5$.
 |type="{}"}
-$μ = 0.5:   K$ = { 12 3% } $\text{%}$
+$K \ = \ $ { 12 3% } $\ \text{%}$
-{Geben Sie eine obere Schranke für den Klirrfaktor bei ZSB–AM (m = 0.5) und HKD an, wenn ein Seitenband durch den Kanal gedämpft wird.
+{Wie lautet die obere Schranke &nbsp;$K_{\rm max}$&nbsp; für den Klirrfaktor bei ZSB–AM mit &nbsp;$m = 0.5$&nbsp; und Hüllkurvendemodulation, <br>wenn ein Seitenband durch den Kanal vollständig ausgelöscht wird.
 |type="{}"}
-$μ = 0.5:   K_{max}$ = { 6.25 3% } $\text{%}$
+$K_{\rm max} \ = \ ${ 6.25 3% } $\ \text{%}$
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''Der Maximalwert $a_{max} = 2 V$ und der Minimalwert $a_{min} = 0$ können aus der Grafik abgelesen oder über die angegebene Gleichung berechnet werden:
+'''(1)'''&nbsp; Der Maximalwert&nbsp; $a_{\rm max} = 2\ \rm  V$&nbsp; und der Minimalwert&nbsp; $a_{\rm min} = 0$&nbsp; können aus der Grafik abgelesen oder über die angegebene Gleichung berechnet werden:
-$$ a_{\rm max}  =  A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 + 2 \mu}= A_{\rm T} \cdot (1+ \mu) = 2\,{\rm V} \hspace{0.05cm},$$
+:$$ a_{\rm max}  =  A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 + 2 \mu}= A_{\rm T} \cdot (1+ \mu) = 2\,{\rm V} \hspace{0.05cm},$$
-$$a_{\rm min}  =  A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 - 2 \mu}= A_{\rm T} \cdot (1- \mu) = 0 \hspace{0.05cm}.$$
+:$$a_{\rm min}  =  A_{\rm T} \cdot \sqrt{1+ \mu^2 - 2 \mu}= A_{\rm T} \cdot (1- \mu) = 0 \hspace{0.05cm}.$$
-Für die Extremwerte des Sinkensignals folgt daraus:
+*Für die beiden Extremwerte des Sinkensignals folgt daraus:
-$$ v_{\rm max}  = 2 \cdot [a_{\rm max} - A_{\rm 0}] = 2 \cdot [2\,{\rm V} - 1.273\,{\rm V}] \hspace{0.15cm}\underline {=1.454\,{\rm V}}\hspace{0.05cm},$$
+:$$ v_{\rm max}  = 2 \cdot [a_{\rm max} - A_{\rm 0}] = 2 \cdot [2\,{\rm V} - 1.273\,{\rm V}] \hspace{0.15cm}\underline {=1.454\,{\rm V}}\hspace{0.05cm},$$
-$$ v_{\rm min}  =  -2 \cdot A_{\rm 0} \hspace{0.15cm}\underline {= -2.546\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$ v_{\rm min}  =  -2 \cdot A_{\rm 0} \hspace{0.15cm}\underline {= -2.546\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
+'''(2)'''&nbsp; Unter Vernachlässigung der Fourierkoeffizienten&nbsp; $A_5$,&nbsp; $A_6$,&nbsp; usw. erhält man:
+:$$K = \frac{\sqrt{A_2^2 + A_3^2+ A_4^2 }}{A_1}= \frac{\sqrt{0.170^2 + 0.073^2 + 0.040^2 }{\,\rm V}}{0.849\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 22.3 \%}.$$
+*Die Näherung&nbsp; $K ≈ μ/4$&nbsp; liefert hier den Wert&nbsp; $25\%$.
+'''(3)'''&nbsp; Nur der <u>erste Lösungsvorschlag</u> ist richtig.
+*Aufgrund des Hochpasses innerhalb des Hüllkurvendemodulators wäre der Gleichsignalanteil auch dann Null, wenn keine Verzerrungen vorlägen.
+'''(4)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; gilt hier:
+:$$v_{\rm max}  =  2 \cdot [a_{\rm max} - A_{\rm 0}] = 2 \cdot [1.5\,{\rm V} - 1.064\,{\rm V}] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.872\,{\rm V}}\hspace{0.05cm},$$
+:$$ v_{\rm min}  =  -2 \cdot A_{\rm 0} \hspace{0.15cm}\underline {= -2.128\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''2.''' Unter Vernachlässigung der Fourierkoeffizienten $A_5$, $A_6$, usw. erhält man:
-$$K = \frac{\sqrt{A_2^2 + A_3^2+ A_4^2 }}{A_1}= \frac{\sqrt{0.170^2 + 0.073^2 + 0.040^2 }{\,\rm V}}{0.849\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 22.3 \%}.$$
-Die Näherung $K ≈ μ/4$ liefert hier den Wert $25%$.
+'''(5)'''&nbsp; Bei kleinerem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis ergibt sich auch ein kleinerer Klirrfaktor:
+:$$K = \frac{0.058{\,\rm V}}{0.484\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 12 \%}.$$
+*Die einfache Näherung&nbsp; $K ≈ μ/4$&nbsp; ergibt hier&nbsp; $12.5\%$.
+*Daraus kann geschlossen werden,&nbsp; dass die angegebene Faustformel bei kleinerem&nbsp; $μ$&nbsp; genauer ist.
-'''3.''' Nur der erste Lösungsvorschlag ist richtig. Aufgrund des Hochpasses innerhalb des HKD wäre der Gleichsignalanteil auch dann 0, wenn keine Verzerrungen vorlägen.
-'''4.''' Analog zur Teilaufgabe a) gilt hier:
-$$v_{\rm max}  =  2 \cdot [a_{\rm max} - A_{\rm 0}] = 2 \cdot [1.5\,{\rm V} - 1.064\,{\rm V}] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.872\,{\rm V}}\hspace{0.05cm},$$
-$$ v_{\rm min}  =  -2 \cdot A_{\rm 0} \hspace{0.15cm}\underline {= -2.128\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
-'''5.''' Bei kleinerem Seitenband–zu–Träger–Verhältnis ergibt sich auch ein kleinerer Klirrfaktor:
-$$K = \frac{0.058{\,\rm V}}{0.484\,{\rm V}}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 12 \%}.$$
-Die Näherung $K ≈ μ/4$ ergibt hier $12.5%$. Daraus kann geschlossen werden, dass die angegebene Faustformel bei kleinerem $μ$ genauer ist.
+'''(6)'''&nbsp; Der Klirrfaktor ist dann am größten, wenn eines der Seitenbänder völlig abgeschnitten wird.&nbsp;
+*Da aber der Hüllkurvendemodulator keinerlei Kenntnis davon hat, ob
+#eine ESB–AM, oder
+#eine durch den Kanal extrem beeinträchtigte ZSB–AM
-'''6.'''Der Klirrfaktor ist dann am größten, wenn eines der Seitenbänder völlig abgeschnitten wird. Da aber der Hüllkurvendemodulator keinerlei Kenntnis davon hat, ob eine ESB–AM oder eine durch $H_K(f)$ beeinträchtigte ZSB–AM vorliegt, gibt $K_{max} ≈ μ/4$ gleichzeitig eine obere Schranke für die ZSB–AM an.
+:vorliegt,&nbsp; gibt&nbsp; $K_{\rm max} ≈ μ/4$&nbsp; gleichzeitig eine obere Schranke für die ZSB–AM an.
-Ein Vergleich der Parameter $m = A_N/A_T$ und $μ = A_N/(2A_T)$ führt zum Ergebnis:
+*Ein Vergleich der Parameter&nbsp; $m = A_{\rm N}/A_{\rm T}$&nbsp; und&nbsp; $μ = A_{\rm N}/(2A_{\rm T})$&nbsp; führt zum Ergebnis:
-$$K_{\rm max} = \frac{\mu}{4} = \frac{m}{8} \hspace{0.15cm}\underline {=6.25 \%}.$$
+:$$K_{\rm max} = \frac{\mu}{4} = \frac{m}{8} \hspace{0.15cm}\underline {=6.25 \%}.$$
 {{ML-Fuß}}