Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 2.08Z: „Plus” und „Mal” in GF(2 hoch 3)

{{quiz-Header|Buchseite=Kanalcodierung/Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes}}

[[Datei:P_ID2536__KC_Z_2_8.png|right|frame|$\rm GF(2^3)$:&nbsp; Unvollständige Additions– und Multiplikationstabellen]]
Die Grafik zeigt die Additions&ndash; und Multiplikationstabelle für den endlichen Körper&nbsp; $\rm GF(2^3)$.&nbsp; Die Tabellen sind nicht vollständig.&nbsp; Einige (farblich hervorgehobene) Felder sollen Sie ergänzen.

Die Elemente sind sowohl 
*in der Exponentendarstellung&nbsp; $($mit roter Beschriftung,&nbsp; links und oben$)$&nbsp; als auch 
*in der Koeffizientendarstellung&nbsp; $($graue Schrift,&nbsp; rechts und unten$)$&nbsp; 


angegeben.&nbsp; Aus dieser Zuordnung erkennt man bereits das zugrunde liegende irreduzible Polynom&nbsp; $p(\alpha)$. 

*Additionen&nbsp; $($und Subtraktionen$)$&nbsp; führt man am besten in der Koeffizientendarstellung&nbsp; $($oder mit den damit fest verknüpften Polynomen$)$&nbsp; durch. 

*Für Multiplikationen ist dagegen die Exponentendarstellung günstiger.





Hinweise:
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Definition_und_Eigenschaften_von_Reed%E2%80%93Solomon%E2%80%93Codes| "Definition und Eigenschaften von Reed&ndash;Solomon&ndash;Codes"]].

* Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Erweiterungsk%C3%B6rper| "Erweiterungskörper"]].



===Fragebogen===
<quiz display=simple>
{Für welches Element steht das&nbsp; "$\rm A$"&nbsp; in der Additionstabelle?
|type="()"}
+ $\rm A = 0$,
- $\rm A = 1$,
- $\rm A = \alpha^1$,

{Für welches Element steht das&nbsp; "$\rm B$"&nbsp; in der Additionstabelle?
|type="()"}
- $\rm B = 0$,
- $\rm B = 1$,
+ $\rm B = \alpha^1$.

{Für welches Element steht das&nbsp; "$\rm C$"&nbsp; in der Additionstabelle?
|type="()"}
- $\rm C = \alpha^2$,
- $\rm C = \alpha^3$,
+ $\rm C = \alpha^4$.

{Für welches Element steht das&nbsp; "$\rm D$"&nbsp; in der Additionstabelle?
|type="()"}
+ $\rm D = \alpha^2$,
- $\rm D = \alpha^3$,
- $\rm D = \alpha^4$.

{Welche Zuordnungen gelten in der Multiplikationstabelle?
|type="[]"}
+ $\rm E = \alpha^5$,
+ $\rm F = \alpha^1$,
+ $\rm G = \alpha^6$.

{Welches irreduzible Polynom liegt diesen Tabellen zugrunde?
|type="()"}
- $p(\alpha) = \alpha^2 + \alpha + 1$,
- $p(\alpha) = \alpha^3 + \alpha^2 + 1$,
+ $p(\alpha) = \alpha^3 + \alpha + 1$.
</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Die Addition eines jeden Elements eines Erweiterungskörpers,&nbsp; der auf&nbsp; $\rm GF(2)$&nbsp; basiert,&nbsp; mit sich selbst ergibt stets&nbsp; $0$,&nbsp; wie man anhand der Koeffizientendarstellung leicht erkennt,&nbsp; zum Beispiel:
:$$\alpha^3 + \alpha^3 = (011) + (011) = (000) = 0 
\hspace{0.05cm}.$$

*Das heißt: &nbsp; "$\rm A$"&nbsp; steht für das Nullelement &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.



'''(2)'''&nbsp; "$\rm B$"&nbsp; ist das Ergebnis der Addition von&nbsp; $\alpha^5$&nbsp; und&nbsp; $\alpha^6$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
:$$\alpha^5 + \alpha^6 = (111) + (101) = (010) = \alpha^1 \hspace{0.05cm}.$$

*Man hätte dieses Ergebnis auch einfacher finden können,&nbsp; da in jeder Zeile und Spalte jedes Element genau einmal vorkommt.
 
*Nachdem&nbsp; $\rm A = 0$&nbsp; festliegt,&nbsp; fehlt in der letzten Zeile und der letzten Spalte genau nur noch das Element&nbsp; $\alpha^1$.



'''(3)'''&nbsp; "$\rm C$"&nbsp; ist das Ergebnis der Summe von&nbsp; $\alpha^1$&nbsp; und&nbsp; $\alpha^2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
:$$\alpha^1 + \alpha^2 = (010) + (100) = (110) = \alpha^4 \hspace{0.05cm}.$$



'''(4)'''&nbsp; "$\rm D$"&nbsp; ist das Ergebnis von&nbsp; $\alpha^3$&nbsp; und&nbsp; $\alpha^5$&nbsp; &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
:$$\alpha^3 + \alpha^5 = (011) + (111) = (100) = \alpha^2 
\hspace{0.05cm}.$$



'''(5)'''&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u>&nbsp; sind richtig,&nbsp; wie man aus der Zeile 2&nbsp; ("Multiplikation mit dem Einselelement")&nbsp; erkennt:
[[Datei:P_ID2573__KC_Z_2_8e.png|right|frame|$\rm GF(2^3)$: Vollständige Additions– und Multiplikationstabellen]] 
*Nebenstehend sehen Sie die vollständigen Tabellen für die Addition und die Multiplikation.

*Aufgrund der Gültigkeit von&nbsp; $\alpha^i \cdot \alpha^j = \alpha^{(i+j)\hspace{0.1cm} {\rm mod}\hspace{0.1cm} 7} $&nbsp; ergibt sich bei der Multiplikation eine Symmetrie,&nbsp; die man zur Lösung nutzen könnte.




'''(6)'''&nbsp; Richtig ist hier der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
* Alle Polynome sind zwar irreduzibel.&nbsp; Man benötigt aber für&nbsp; $\rm GF(2^3)$&nbsp; ein Grad&ndash;3&ndash;Polynom. 
*Der dritte Lösungsvorschlag ergibt sich aus der Beziehung
:$$\alpha^3 = \alpha + 1  \hspace{0.3cm}\Rightarrow  \hspace{0.3cm}
p(\alpha) = \alpha^3 + \alpha + 1 = 0 \hspace{0.05cm}.$$
{{ML-Fuß}}




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