Aufgaben:Aufgabe 1.8Z: Cosinus-Quadrat-Tiefpass: Unterschied zwischen den Versionen

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'''(1)'''  Aus der ersten Gleichung auf der Angabenseite folgt aufgrund der  $\rm si$–Funktion direkt  $y(t = 0) = 1$  und  $y(t = T) = y(t = 2T) = \text{...} =0$.  
 
'''(1)'''  Aus der ersten Gleichung auf der Angabenseite folgt aufgrund der  $\rm si$–Funktion direkt  $y(t = 0) = 1$  und  $y(t = T) = y(t = 2T) = \text{...} =0$.  
  
Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise
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*Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise
 
:$$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm
 
:$$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm
 
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Mit ${\rm si}(0) = 1$ und ${\rm si}(\pi) = 0$ erhält man so:
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*Mit  ${\rm si}(0) = 1$  und  ${\rm si}(\pi) = 0$  erhält man so:
 
:$$y(t = T/2) =  {\pi}/{4}  \cdot {\rm si}(\pi/2)= {\pi}/{4}  
 
:$$y(t = T/2) =  {\pi}/{4}  \cdot {\rm si}(\pi/2)= {\pi}/{4}  
 
\cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$$
 
\cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$$
  
In analoger Weise ergibt sich für $t = 1.5T$:
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*In analoger Weise ergibt sich für  $t = 1.5T$:
 
:$$y(t = 1.5T) =  {\pi}/{4}  \cdot {\rm si}(3\pi/2)\cdot \left[
 
:$$y(t = 1.5T) =  {\pi}/{4}  \cdot {\rm si}(3\pi/2)\cdot \left[
 
{\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
 
{\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
  
Hierbei ist ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(2\pi) = 0$ berücksichtigt. Auch zu den Zeiten $t/T = 2.5, 3.5,\text{ ... }$ gilt $y(t) = 0$, wie obige Grafik zeigt.
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*Hierbei ist  ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(2\pi) = 0$  berücksichtigt.  
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*Auch zu den Zeiten  $t/T = 2.5, 3.5,\text{ ... }$  gilt  $y(t) = 0$, wie obige Grafik zeigt.
  
  
  
'''(3)'''  Für große Werte von $t$ gilt näherungsweise (wenn man die „1” im Nenner vernachlässigt):
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'''(3)'''  Für große Werte von  $t$  gilt näherungsweise  (wenn man die „1” im Nenner vernachlässigt):
 
:$$y(t)= {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac
 
:$$y(t)= {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac
 
{\cos(\pi \cdot  t / T  )}{1 - (2 \cdot  t/T )^2} \approx  \frac {\sin(\pi \cdot  t / T  )\cdot \cos(\pi \cdot  t / T
 
{\cos(\pi \cdot  t / T  )}{1 - (2 \cdot  t/T )^2} \approx  \frac {\sin(\pi \cdot  t / T  )\cdot \cos(\pi \cdot  t / T
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\cdot  t / T  )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$
 
\cdot  t / T  )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$
  
Hierbei ist berücksichtigt, dass  $\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$  ist. Zum Zeitpunkt  $t = 10.75 T$  gilt dann:
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*Hierbei ist berücksichtigt, dass  $\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$  ist.  
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*Zum Zeitpunkt  $t = 10.75 T$  gilt dann:
 
:$$\sin(2\pi \cdot  t / T  ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1\hspace{0.3cm}  
 
:$$\sin(2\pi \cdot  t / T  ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1\hspace{0.3cm}  
 
\Rightarrow  \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) =    \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3}  \hspace{0.15cm}\underline{= 32
 
\Rightarrow  \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) =    \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3}  \hspace{0.15cm}\underline{= 32
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[[Datei:P_ID872__LZI_Z_1_8_d.png|right|frame|Gesuchter Empfängerfrequenzgang]]
 
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'''(4)'''  Der Empfängerfrequenzgang lautet für $|f \cdot T| \le 1$ :
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'''(4)'''  Der Empfängerfrequenzgang lautet für  $|f \cdot T| \le 1$:
 
:$$H_{\rm E}(f)  = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T
 
:$$H_{\rm E}(f)  = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T
 
  /2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$
 
  /2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$
Dieser Funktionsverlauf ist in der Grafik dargestellt. Für die gesuchten Stützwerte gilt:
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*Dieser Funktionsverlauf ist in der Grafik dargestellt. Für die gesuchten Stützwerte gilt:
 
:$$H_{\rm E}(f = 0)  = \frac{\cos^2(0)}{{\rm si}(0)} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1},$$
 
:$$H_{\rm E}(f = 0)  = \frac{\cos^2(0)}{{\rm si}(0)} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1},$$
 
:$$H_{\rm E}(f = {0.5}/T  \hspace{-0.15cm}  =  \hspace{-0.15cm} \frac{\cos^2(\pi/4)}{{\rm si}(\pi/2)}= (\sqrt{2} / 2)^2 \cdot \frac{\pi}{2}   
 
:$$H_{\rm E}(f = {0.5}/T  \hspace{-0.15cm}  =  \hspace{-0.15cm} \frac{\cos^2(\pi/4)}{{\rm si}(\pi/2)}= (\sqrt{2} / 2)^2 \cdot \frac{\pi}{2}   
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:$$H_{\rm E}(f = {1}/{T})  = \frac{\cos^2(\pi/2)}{{\rm si}(\pi)} = "0/0"\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
 
:$$H_{\rm E}(f = {1}/{T})  = \frac{\cos^2(\pi/2)}{{\rm si}(\pi)} = "0/0"\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
  
Bei diesem Ergebnis ist berücksichtigt, dass im gesamten Frequenzbereich $H_{\rm S}(f) \ge  H(f) $ gilt. Eigentlich müsste der zuletzt berechnete Wert durch einen Grenzübergang mathematisch-exakt bestimmt werden.
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Bei diesem Ergebnis ist berücksichtigt, dass im gesamten Frequenzbereich  $H_{\rm S}(f) \ge  H(f) $  gilt. Eigentlich müsste der zuletzt berechnete Wert durch einen Grenzübergang mathematisch-exakt bestimmt werden. Das haben wir auch gemacht, nur nicht in dieser Musterlösung.
 
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Version vom 24. Oktober 2019, 17:52 Uhr

Zum Cosinus–Quadrat–Tiefpass

Bei der Untersuchung von Digitalsystemen geht man häufig von einem diracförmigen Eingangssignal  $x(t) = T \cdot \delta(t)$  aus, so dass  $X(f) = T$  gilt.

Das Ausgangsspektrum  $Y(f)$  ist dann formgleich mit dem Gesamtfrequenzgang von Sende– und Empfangsfilter:

$$H(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f).$$

Dieser Frequenzgang wird häufig als  $\cos^2$-förmig angenommen (siehe Grafik):

  • Für  $f \cdot T \ge 1$  ist  $H(f) = 0$.
  • Im inneren Bereich gilt  $H(f) = \cos^2(f \cdot T \cdot {\pi}/{ 2} ) .$


Anzumerken ist, dass die äquivalente Bandbreite  $\Delta f = 1/{\Delta t}$  ist. Damit erhält man für die äquivalente  ${\Delta t}$  der Impulsantwort ebenfalls  $T$  und und es gilt:

$$y(t) = T \cdot h(t) = {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2}.$$

Zu beachten ist, dass das Ausgangssignal  $y(t)$  im Gegensatz zur Impulsantwort  $h(t)$  ohne Einheit ist. Durch Anwendung trigonomischer Umformungen kann dieses Signal auch wie folgt dargestellt werden:

$$y(t) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \big[ {\rm si}\big(\pi \cdot \left({t}/{T}+ 0.5 \right) \big)+ {\rm si}\big(\pi \cdot \left({t}/{T}- 0.5 \right) \big)\big].$$

Wählen Sie bei den folgenden Aufgaben die jeweils einfacher handhabbare Gleichung aus.

Für die Teilaufgabe  (3)  soll vorausgesetzt werden, dass das Signal  $s(t)$  in der Mitte zwischen den beiden Frequenzgängen  $H_{\rm S}(f)$  und  $H_{\rm S}(f)$  ein Rechteckimpuls ist. Demzufolge muss gelten:

$$H_{\rm E}(f) = {\rm si }(\pi f T ) .$$





Hinweise:



Fragebogen

1

Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten  $t = 0$  und  $t = T$.

$y(t = 0) \ = \ $

$y(t = T) \ = \ $

2

Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten  $t = 0.5 T$  und  $t = 1.5 T$.

$y(t = 0.5 T) \ = \ $

$y(t = 1.5 T) \ = \ $

3

Berechnen Sie  $y(t)$  für große  $t$-Werte. Geeignete Näherungen sind erlaubt und erwünscht.  Wie groß ist der Signalwert bei  $t = 10.75 T$?

$y(t = 10.75 T) \ = \ $

$ \ \cdot \ 10^{-6}$

4

Geben Sie den erforderlichen Empfängerfrequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  für  $H_{\rm S}(f)= {\rm si}(πfT)$  an.  Welche Werte ergeben sich für die angegebenen Frequenzen?

$H_{\rm E}(f=0) \ = \ $

$H_{\rm E}(f=0.5/T) \ = \ $

$H_{\rm E}(f=1/T) \ = \ $


Musterlösung

(1)  Aus der ersten Gleichung auf der Angabenseite folgt aufgrund der  $\rm si$–Funktion direkt  $y(t = 0) = 1$  und  $y(t = T) = y(t = 2T) = \text{...} =0$.

  • Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise
$$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm si}(\pi/2)+ {\rm si}(-\pi/2)\right] {\pi}/{2} \cdot {\rm si}(\pi/2) = {\pi}/{2} \cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$
$$y(t = T) \hspace{0.15cm}=\hspace{0.15cm}{\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi)\cdot \left[ {\rm si}(3\pi/2)+ {\rm si}(\pi/2)\right] \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$


Ausgangssignal des Cosinus–Quadrat–Tiefpasses

(2)  Zur Berechnung dieser Signalwerte ist die zweite Darstellung besser geeignet:

$$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)\cdot \big[ {\rm si}(\pi)+ {\rm si}(0)\big].$$
  • Mit  ${\rm si}(0) = 1$  und  ${\rm si}(\pi) = 0$  erhält man so:
$$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)= {\pi}/{4} \cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$$
  • In analoger Weise ergibt sich für  $t = 1.5T$:
$$y(t = 1.5T) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(3\pi/2)\cdot \left[ {\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
  • Hierbei ist  ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(2\pi) = 0$  berücksichtigt.
  • Auch zu den Zeiten  $t/T = 2.5, 3.5,\text{ ... }$  gilt  $y(t) = 0$, wie obige Grafik zeigt.


(3)  Für große Werte von  $t$  gilt näherungsweise  (wenn man die „1” im Nenner vernachlässigt):

$$y(t)= {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2} \approx \frac {\sin(\pi \cdot t / T )\cdot \cos(\pi \cdot t / T )}{ - (\pi \cdot t/T )(2 \cdot t/T )^2} = - \frac {\sin(2\pi \cdot t / T )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$
  • Hierbei ist berücksichtigt, dass  $\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$  ist.
  • Zum Zeitpunkt  $t = 10.75 T$  gilt dann:
$$\sin(2\pi \cdot t / T ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) = \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3} \hspace{0.15cm}\underline{= 32 \cdot 10^{-6}}.$$


Gesuchter Empfängerfrequenzgang

(4)  Der Empfängerfrequenzgang lautet für  $|f \cdot T| \le 1$:

$$H_{\rm E}(f) = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T /2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$
  • Dieser Funktionsverlauf ist in der Grafik dargestellt. Für die gesuchten Stützwerte gilt:
$$H_{\rm E}(f = 0) = \frac{\cos^2(0)}{{\rm si}(0)} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1},$$
$$H_{\rm E}(f = {0.5}/T \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{\cos^2(\pi/4)}{{\rm si}(\pi/2)}= (\sqrt{2} / 2)^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \hspace{-0.15cm} \frac{\pi}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.785},$$
$$H_{\rm E}(f = {1}/{T}) = \frac{\cos^2(\pi/2)}{{\rm si}(\pi)} = "0/0"\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

Bei diesem Ergebnis ist berücksichtigt, dass im gesamten Frequenzbereich  $H_{\rm S}(f) \ge H(f) $  gilt. Eigentlich müsste der zuletzt berechnete Wert durch einen Grenzübergang mathematisch-exakt bestimmt werden. Das haben wir auch gemacht, nur nicht in dieser Musterlösung.