Aufgaben:Aufgabe 1.8Z: Cosinus-Quadrat-Tiefpass: Unterschied zwischen den Versionen

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{Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten $t = T/2$ und  $t = 1.5 T$.
 
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$y(t = T/2)  \ = \ $  { 0.5 1% }
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$y(t = 0.5 T)  \ = \ $  { 0.5 1% }
 
$y(t = 1.5 T)  \ = \ $  { 0. }
 
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'''(1)'''  Aus der ersten Gleichung auf der Angabenseite folgt aufgrund der si–Funktion direkt $y(t = 0) = 1$ und $y(t = T) = y(t = 2T) = ... =0$. Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise
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'''(1)'''  Aus der ersten Gleichung auf der Angabenseite folgt aufgrund der $\rm si$–Funktion direkt $y(t = 0) = 1$ und $y(t = T) = y(t = 2T) = \text{...} =0$.  
$$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm
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Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise
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:$$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm
 
si}(\pi/2)+ {\rm si}(-\pi/2)\right]   
 
si}(\pi/2)+ {\rm si}(-\pi/2)\right]   
 
{\pi}/{2} \cdot {\rm si}(\pi/2) = {\pi}/{2} \cdot
 
{\pi}/{2} \cdot {\rm si}(\pi/2) = {\pi}/{2} \cdot
 
\frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2}  \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$
 
\frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2}  \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$
$$y(t = T) \hspace{0.15cm}=\hspace{0.15cm}{\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi)\cdot \left[ {\rm
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:$$y(t = T) \hspace{0.15cm}=\hspace{0.15cm}{\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi)\cdot \left[ {\rm
 
si}(3\pi/2)+ {\rm si}(\pi/2)\right]  \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
 
si}(3\pi/2)+ {\rm si}(\pi/2)\right]  \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
  
  
 
'''(2)'''  Zur Berechnung dieser Signalwerte ist die zweite Darstellung besser geeignet:
 
'''(2)'''  Zur Berechnung dieser Signalwerte ist die zweite Darstellung besser geeignet:
$$y(t = T/2) =  {\pi}/{4}  \cdot {\rm si}(\pi/2)\cdot \left[ {\rm
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si}(\pi)+ {\rm si}(0)\right].$$
 
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Mit si(0) = 1 und si(π) = 0 erhält man so:
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Mit ${\rm si}(0) = 1$ und ${\rm si}(\pi) = 0$ erhält man so:
$$y(t = T/2) =  {\pi}/{4}  \cdot {\rm si}(\pi/2)= {\pi}/{4}  
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:$$y(t = T/2) =  {\pi}/{4}  \cdot {\rm si}(\pi/2)= {\pi}/{4}  
 
\cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$$
 
\cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$$
  
In analoger Weise ergibt sich für <i>t</i> = 1.5<i>T</i>:
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In analoger Weise ergibt sich für $t = 1.5T$:
 
:$$y(t = 1.5T) =  {\pi}/{4}  \cdot {\rm si}(3\pi/2)\cdot \left[
 
:$$y(t = 1.5T) =  {\pi}/{4}  \cdot {\rm si}(3\pi/2)\cdot \left[
 
{\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
 
{\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
  
Hierbei ist ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(\pi) = 0$ berücksichtigt. Zu den Zeitpunkten $t/T = 2.5, 3.5, ... $ gilt ebenfalls $y(t) = 0$, wie die folgende Grafik zeigt.
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Hierbei ist ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(2\pi) = 0$ berücksichtigt. Auch zuu den Zeiten $t/T = 2.5, 3.5,\text{ ... }$ gilt $y(t) = 0$, wie nebenstehende Grafik zeigt.
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Hierbei ist berücksichtigt, dass $\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$ ist. Zum Zeitpunkt $t = 10.75 T$ gilt dann:
 
Hierbei ist berücksichtigt, dass $\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$ ist. Zum Zeitpunkt $t = 10.75 T$ gilt dann:
:$$\sin(2\pi \cdot  t / T  ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1.$$
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:$$\sin(2\pi \cdot  t / T  ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1\hspace{0.3cm}
:$$\Rightarrow  \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) =    \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3}  \hspace{0.15cm}\underline{= 32}
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\Rightarrow  \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) =    \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3}  \hspace{0.15cm}\underline{= 32
\cdot 10^{-6}.$$
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\cdot 10^{-6}}.$$
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'''(4)'''&nbsp; Der Empfängerfrequenzgang lautet für$|f \cdot T| \le 1$ :
 
'''(4)'''&nbsp; Der Empfängerfrequenzgang lautet für$|f \cdot T| \le 1$ :
$$H_{\rm E}(f)  = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T
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:$$H_{\rm E}(f)  = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T
 
  /2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$
 
  /2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$
 
Dieser Funktionsverlauf ist in der Grafik dargestellt. Für die gesuchten Stützwerte gilt:
 
Dieser Funktionsverlauf ist in der Grafik dargestellt. Für die gesuchten Stützwerte gilt:
$$H_{\rm E}(f = 0)  = \frac{\cos^2(0)}{{\rm si}(0)} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1},$$
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:$$H_{\rm E}(f = 0)  = \frac{\cos^2(0)}{{\rm si}(0)} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1},$$
$$H_{\rm E}(f = {0.5}/T  \hspace{-0.15cm}  =  \hspace{-0.15cm} \frac{\cos^2(\pi/4)}{{\rm si}(\pi/2)}= (\sqrt{2} / 2)^2 \cdot \frac{\pi}{2}   
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:$$H_{\rm E}(f = {0.5}/T  \hspace{-0.15cm}  =  \hspace{-0.15cm} \frac{\cos^2(\pi/4)}{{\rm si}(\pi/2)}= (\sqrt{2} / 2)^2 \cdot \frac{\pi}{2}   
 
  =  \hspace{-0.15cm} \frac{\pi}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.785},$$
 
  =  \hspace{-0.15cm} \frac{\pi}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.785},$$
$$H_{\rm E}(f = {1}/{T})  = \frac{\cos^2(\pi/2)}{{\rm si}(\pi)} = "0/0"\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
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:$$H_{\rm E}(f = {1}/{T})  = \frac{\cos^2(\pi/2)}{{\rm si}(\pi)} = "0/0"\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
  
 
Bei diesem Ergebnis ist berücksichtigt, dass im gesamten Frequenzbereich $H_{\rm S}(f) \ge  H(f) $ gilt. Eigentlich müsste der zuletzt berechnete Wert durch einen Grenzübergang mathematisch-exakt bestimmt werden.
 
Bei diesem Ergebnis ist berücksichtigt, dass im gesamten Frequenzbereich $H_{\rm S}(f) \ge  H(f) $ gilt. Eigentlich müsste der zuletzt berechnete Wert durch einen Grenzübergang mathematisch-exakt bestimmt werden.

Version vom 16. Februar 2018, 17:49 Uhr

Zum Cosinus–Quadrat–Tiefpass

Bei der Untersuchung von Digitalsystemen geht man häufig von einem diracförmigen Eingangssignal $x(t) = T \cdot \delta(t)$ aus, so dass $X(f) = T$ gilt. Das Ausgangsspektrum $Y(f)$ ist dann formgleich mit dem Gesamtfrequenzgang von Sende– und Empfangsfilter:

$$H(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f).$$

Dieser wird häufig als $\cos^2$-förmig angenommen (siehe Grafik):

  • Für $f \cdot T \ge 1$ ist $H(f) = 0$.
  • Im inneren Bereich gilt $H(f) = \cos^2(f \cdot T \cdot {\pi}/{ 2} ) .$


Anzumerken ist, dass die äquivalente Bandbreite $\Delta f = 1/{\Delta t}$ ist. Damit erhält man für die äquivalente ${\Delta t}$ der Impulsantwort ebenfalls $T$ und und es gilt:

$$y(t) = T \cdot h(t) = {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2}.$$

Zu beachten ist, dass das Ausgangssignal $y(t)$ im Gegensatz zur Impulsantwort $h(t)$ ohne Einheit ist. Durch Anwendung trigonomischer Umformungen kann dieses Signal auch wie folgt dargestellt werden:

$$y(t) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \left[ {\rm si}\left(\pi \cdot \left({t}/{T}+ 0.5 \right) \right)+ {\rm si}\left(\pi \cdot \left({t}/{T}- 0.5 \right) \right)\right].$$

Wählen Sie bei den folgenden Aufgaben die jeweils einfacher handhabbare Gleichung aus.

Für die Teilaufgabe (3) soll vorausgesetzt werden, dass das Signal $s(t)$ in der Mitte zwischen den beiden Frequenzgängen $H_{\rm S}(f)$ und $H_{\rm S}(f)$ ein Rechteckimpuls ist. Demzufolge muss gelten:

$$H_{\rm E}(f) = {\rm si }(\pi f T ) .$$



Hinweise:



Fragebogen

1

Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten $t = 0$ und $t = T$.

$y(t = 0) \ = \ $

$y(t = T) \ = \ $

2

Berechnen Sie das Ausgangssignal zu den Zeitpunkten $t = T/2$ und $t = 1.5 T$.

$y(t = 0.5 T) \ = \ $

$y(t = 1.5 T) \ = \ $

3

Berechnen Sie $y(t)$ für große $t$-Werte. Geeignete Näherungen sind erlaubt und erwünscht. Wie groß ist der Signalwert bei $t = 10.75 T$?

$y(t = 10.75 T) \ = \ $

$ \ \cdot \ 10^{-6}$

4

Geben Sie den erforderlichen Empfängerfrequenzgang $H_{\rm E}(f)$ für $H_{\rm S}(f)= {\rm si}(πfT)$ an. Welche Werte ergeben sich für die angegebenen Frequenzen?

$H_{\rm E}(f=0) \ = \ $

$H_{\rm E}(f=0.5/T) \ = \ $

$H_{\rm E}(f=1/T) \ = \ $


Musterlösung

(1)  Aus der ersten Gleichung auf der Angabenseite folgt aufgrund der $\rm si$–Funktion direkt $y(t = 0) = 1$ und $y(t = T) = y(t = 2T) = \text{...} =0$. Auch aus der zweiten Gleichung erhält man diese Ergebnisse, beispielsweise

$$y(t = 0) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(0)\cdot \left[ {\rm si}(\pi/2)+ {\rm si}(-\pi/2)\right] {\pi}/{2} \cdot {\rm si}(\pi/2) = {\pi}/{2} \cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1},$$
$$y(t = T) \hspace{0.15cm}=\hspace{0.15cm}{\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi)\cdot \left[ {\rm si}(3\pi/2)+ {\rm si}(\pi/2)\right] \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$


(2)  Zur Berechnung dieser Signalwerte ist die zweite Darstellung besser geeignet:

Ausgangssignal des Cosinus–Quadrat–Tiefpasses
$$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)\cdot \left[ {\rm si}(\pi)+ {\rm si}(0)\right].$$

Mit ${\rm si}(0) = 1$ und ${\rm si}(\pi) = 0$ erhält man so:

$$y(t = T/2) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(\pi/2)= {\pi}/{4} \cdot \frac{{\rm sin}(\pi/2)}{\pi/2} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.5}.$$

In analoger Weise ergibt sich für $t = 1.5T$:

$$y(t = 1.5T) = {\pi}/{4} \cdot {\rm si}(3\pi/2)\cdot \left[ {\rm si}(2\pi)+ {\rm si}(\pi)\right] \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$

Hierbei ist ${\rm si}(\pi) = {\rm si}(2\pi) = 0$ berücksichtigt. Auch zuu den Zeiten $t/T = 2.5, 3.5,\text{ ... }$ gilt $y(t) = 0$, wie nebenstehende Grafik zeigt.


(3)  Für große Werte von $t$ gilt näherungsweise (wenn man die „1” im Nenner vernachlässigt):

$$y(t)= {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot t / T )}{1 - (2 \cdot t/T )^2} \approx \frac {\sin(\pi \cdot t / T )\cdot \cos(\pi \cdot t / T )}{ - (\pi \cdot t/T )(2 \cdot t/T )^2} = - \frac {\sin(2\pi \cdot t / T )}{ 8 \pi \cdot( t/T )^3}.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass $\sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)/2$ ist. Zum Zeitpunkt $t = 10.75 T$ gilt dann:

$$\sin(2\pi \cdot t / T ) = \sin (21.5\pi)= \sin (1.5\pi) = -1\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y(t = 10.75 T) = \frac {1 }{ 8 \pi \cdot( 10.75 )^3} \hspace{0.15cm}\underline{= 32 \cdot 10^{-6}}.$$


Gesuchter Empfängerfrequenzgang

(4)  Der Empfängerfrequenzgang lautet für$|f \cdot T| \le 1$ :

$$H_{\rm E}(f) = \frac{H(f)}{H_{\rm S}(f)}= \frac{\cos^2(\pi f T /2)}{{\rm si}(\pi fT)}.$$

Dieser Funktionsverlauf ist in der Grafik dargestellt. Für die gesuchten Stützwerte gilt:

$$H_{\rm E}(f = 0) = \frac{\cos^2(0)}{{\rm si}(0)} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1},$$
$$H_{\rm E}(f = {0.5}/T \hspace{-0.15cm} = \hspace{-0.15cm} \frac{\cos^2(\pi/4)}{{\rm si}(\pi/2)}= (\sqrt{2} / 2)^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \hspace{-0.15cm} \frac{\pi}{4}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.785},$$
$$H_{\rm E}(f = {1}/{T}) = \frac{\cos^2(\pi/2)}{{\rm si}(\pi)} = "0/0"\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

Bei diesem Ergebnis ist berücksichtigt, dass im gesamten Frequenzbereich $H_{\rm S}(f) \ge H(f) $ gilt. Eigentlich müsste der zuletzt berechnete Wert durch einen Grenzübergang mathematisch-exakt bestimmt werden.