Aufgabe 1.8: Variable Flankensteilheit

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Trapeztiefpass und Cosinus–Rolloff–Tiefpass (Aufgabe A1.8)

Zwei Tiefpässe mit variabler Flankensteilheit sollen miteinander verglichen werden. Für Frequenzen $|f| ≤ f_1$ gilt in beiden Fällen $H(f) =$ 1. Dagegen werden alle Frequenzen $|f| ≥ f_2$ vollständig unterdrückt.

Im mittleren Bereich $f_1 ≤ |f| ≤ f_2$ sind die Frequenzgänge durch die nachfolgenden Gleichungen festgelegt:

  • Trapeztiefpass (TTP):

$$H(f) = \frac{f_2 - |f|}{f_2 - f_1} ,$$

  • Cosinus–Rolloff–Tiefpass (CRTP):

$$H(f) = \cos^2 \left(\frac{|f|- f_1}{f_2 - f_1} \cdot\frac{\pi}{2} \right).$$


Alternative Systemparameter sind für beide Tiefpässe die über das flächengleiche Rechteck definierte äquivalente Bandbreite $Δf$ sowie der Rolloff–Faktor (im Frequenzbereich): $$r=\frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1} .$$ In der gesamten Aufgabe gelte $Δf =$ 10 kHz und $r =$ 0.2. Die Impulsantworten lauten mit der äquivalenten Impulsdauer $Δt = 1/Δf =$ 0.1 ms: $$h_{\rm TTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{\Delta t} )\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \frac{t}{\Delta t} ),$$ $$h_{\rm CRTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{\Delta t} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot r \cdot t / \Delta t )}{1 - (2 \cdot r \cdot t/\Delta t )^2}.$$


Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 1.3. Sie können Ihre Ergebnisse mit folgendem Interaktionsmodul überprüfen:


Fragebogen

1

Wie lautet die Gleichung für die äquivalente Bandbreite $Δf$?

Es gilt $Δf = f_2 – f_1$.
Es gilt $Δf = f_1 + f_2$.
Es gilt $Δf = (f_2 + f_1)/2$.

2

Bestimmen Sie die Tiefpass-Parameter $f_1$ und $f_2$ für $Δf =$ 10 kHz und $r =$ 0.2.

$f_1 =$

kHz
$f_2 =$

kHz

3

Welche Aussagen sind für die Impulsantwort des Trapeztiefpasses zutreffend, wenn $r =$ 0.2 vorausgesetzt wird?

$h(t)$ besitzt Nullstellen bei $±n · Δt (n = 1, 2, ...)$.
$h(t)$ besitzt zusätzliche Nullstellen zu anderen Zeiten.
Mit $r = 0$ würde $h(t)$ schneller abklingen.
Mit $r = 1$ würde $h(t)$ schneller abklingen.

4

Welche Aussagen treffen für die Impulantwort des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses zu, wenn $r =$ 0.2 vorausgesetzt wird?

$h(t)$ besitzt Nullstellen bei $±n · Δt (n = 1, 2, ...)$.
$h(t)$ besitzt zusätzliche Nullstellen zu anderen Zeiten.
Mit $r = 0$ würde $h(t)$ schneller abklingen.
Mit $r = 1$ würde $h(t)$ schneller abklingen.


Musterlösung

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)