Aufgabe 1.8: Variable Flankensteilheit

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Trapez–Tiefpass (rot) und Cosinus–Rolloff–Tiefpass (grün)

Zwei Tiefpässe mit variabler Flankensteilheit werden miteinander verglichen. Für Frequenzen  $|f| ≤ f_1$  gilt in beiden Fällen  $H(f) = 1$.  Dagegen werden alle Frequenzen  $|f| ≥ f_2$  vollständig unterdrückt.

Im Bereich  $f_1 ≤ |f| ≤ f_2$  sind die Frequenzgänge durch folgende Gleichungen festgelegt:

  • Trapeztiefpass (TTP):
$$H(f) = \frac{f_2 - |f|}{f_2 - f_1} ,$$
  • Cosinus–Rolloff–Tiefpass (CRTP):
$$H(f) = \cos^2 \left(\frac{|f|- f_1}{f_2 - f_1} \cdot\frac{\pi}{2} \right).$$

Alternative Systemparameter sind für beide Tiefpässe

  • die über das flächengleiche Rechteck definierte äquivalente Bandbreite  $Δf$, sowie
  • der Rolloff–Faktor (im Frequenzbereich):
$$r=\frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1} .$$

In der gesamten Aufgabe gelte  $Δf = 10 \ \rm kHz$  und  $r = 0.2$.

Die Impulsantworten lauten mit der äquivalenten Impulsdauer  $Δt = 1/Δf = 0.1 \ \rm ms$:

$$h_{\rm TTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{\Delta t} )\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \frac{t}{\Delta t} ),$$
$$h_{\rm CRTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{\Delta t} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot r \cdot t / \Delta t )}{1 - (2 \cdot r \cdot t/\Delta t )^2}.$$





Hinweise:


Fragebogen

1

Wie lautet die Gleichung für die äquivalente Bandbreite  $Δf$?  Es gilt

$Δf = f_2 - f_1$,
$Δf = f_1 + f_2$,
$Δf = (f_2 + f_1)/2$.

2

Bestimmen Sie die Tiefpass-Parameter  $f_1$  und  $f_2$  für  $Δf = 10 \ \rm kHz$  und  $r = 0.2$.

$f_1 \ = \ $

$\ \rm kHz$
$f_2 \ = \ $

$\ \rm kHz$

3

Welche Aussagen sind für die Impulsantwort des Trapez–Tiefpasses zutreffend, wenn  $r = 0.2$  vorausgesetzt wird?

$h(t)$  besitzt Nullstellen bei  $±\hspace{0.03cm}n · Δt \ (n = 1, 2, \text{...})$.
$h(t)$  besitzt zusätzliche Nullstellen zu anderen Zeiten.
Mit  $r = 0$  würde  $h(t)$  schneller abklingen.
Mit  $r = 1$  würde  $h(t)$  schneller abklingen.

4

Welche Aussagen treffen für die Impulantwort des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses zu, wenn  $r = 0.2$  vorausgesetzt wird?

$h(t)$  besitzt Nullstellen bei  $±\hspace{0.03cm}n · Δt \ (n = 1, 2, \text{...})$.
$h(t)$  besitzt zusätzliche Nullstellen zu anderen Zeiten.
Mit  $r = 0$  würde  $h(t)$  schneller abklingen.
Mit  $r = 1$  würde  $h(t)$  schneller abklingen.


Musterlösung

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

  • Bei beiden Tiefpässen ist das Integral über  $H(f)$  gleich  $f_1 + f_2$.
  • Wegen  $H(f = 0 = 1)$  stimmt somit der Lösungsvorschlag 2:   $\Delta f = f_1 + f_2.$


(2)  Setzt man die unter  (1)  gefundene Beziehung in die Definitionsgleichung des Rolloff–Faktors ein, so erhält man

$${f_2 - f_1} = r \cdot \Delta f = {2\,\rm kHz}, \hspace{0.5cm} {f_2 + f_1} = {10\,\rm kHz}.$$
  • Durch Addition bzw. Subtraktion beider Gleichungen ergeben sich die so genannten „Eckfrequenzen” zu
$$f_1 \underline{= 4 \ \rm kHz},$$
$$f_2 \underline{= 6 \ \rm kHz}.$$


(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

  • Die erste  $\rm si$–Funktion von  $h_{\rm TTP}(t)$  führt zu Nullstellen im Abstand  $\Delta t$  (siehe auch Gleichung auf der Angabenseite).
  • Die zweite  $\rm si$–Funktion bewirkt Nullstellen bei Vielfachen von  $5 · \Delta t$.
  • Da diese exakt mit den Nullstellen der ersten  $\rm si$–Funktion zusammenfallen, gibt es keine zusätzlichen Nullstellen.
  • Der Sonderfall  $r = 0$  entspricht dem idealen rechteckförmigen Tiefpass mit $\rm si$–förmiger Impulsantwort. Diese klingt extrem langsam ab.
  • Die  $\rm si^2$–förmige Impulsantwort des Dreiecktiefpasses  $($Sonderfall für  $r = 1)$  fällt asymptotisch mit  $1/t^2$, also schneller als mit  $r = 0.2$.


(4)  Richtig sind hier die Vorschläge 1, 2 und 4:

  • Die Impulsantwort  $h_{\rm CRTP}(t)$  des Cosinus-Rolloff-Tiefpasses hat aufgrund der si–Funktion ebenfalls Nullstellen im Abstand  $\Delta t$.
  • Die Cosinusfunktion hat Nullstellen zu folgenden Zeitpunkten:
$${\cos(\pi \cdot r \cdot {t}/{ \Delta t} )} = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}r \cdot {t}/{ \Delta t} = \pm 0.5, \pm 1.5, \pm 2.5, \text{...} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {t}/{ \Delta t} = \pm 2.5, \pm 7.5, \pm 12.5, ... $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {t}/{ \Delta t} = \pm 2.5, \pm 7.5, \pm 12.5, \text{...}. $$
  • Die Nullstelle des Zählers bei  $t / \Delta t = 2.5$  wird allerdings durch den ebenfalls verschwindenden Nenner zunichte gemacht.
  • Die weiteren Nullstellen bei  $7.5, 12.5,\text{...} $  bleiben dagegen bestehen.
  • Auch hier führt  $r = 0$  zum Rechtecktiefpass und damit zur  $\rm si$–förmigen Impulsantwort.
  • Dagegen klingt die Impulsantwort des Cosinus–Quadrat–Tiefpasses  $($Sonderfall für  $r = 1)$  extrem schnell ab.
  • Dieser wird in der  Aufgabe 1.8Z  eingehend untersucht.