Aufgaben:Aufgabe 1.7: Ternäre Markovkette: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten eine Markovkette mit den drei möglichen Ereignissen $A$, $B$ und $C$  
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Wir betrachten eine Markovkette mit den drei möglichen Ereignissen  $A$,  $B$  und  $C$:
 
*Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind der Grafik zu entnehmen.  
 
*Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind der Grafik zu entnehmen.  
*Ein Übergang von $A$ nach $C$ und umgekehrt ist somit nicht möglich:
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*Ein Übergang von  $A$  nach  $C$  und umgekehrt ist somit nicht möglich:
  
 
:$$p_\text{AC} = p_\text{CA} = 0.$$  
 
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Die drei Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Startzeitpunkt $\nu = 0$ sind wie folgt gegeben:
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Die drei Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Startzeitpunkt  $\nu = 0$  sind wie folgt gegeben:
 
   
 
   
 
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
*Insbesondere wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten#Matrix-Vektordarstellung|Matrix-Vektordarstellung]] Bezug genommen.
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*Insbesondere wird auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten#Matrix-Vektordarstellung|Matrix-Vektordarstellung]]  Bezug genommen.
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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{Geben Sie die Übergangsmatrix ${\mathbf{P}}$ und die Übergangswahrscheinlichkeiten $p_\text{AA}$, $p_\text{BB}$ und $p_\text{CC}$ an.
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{Geben Sie die Übergangsmatrix&nbsp; ${\mathbf{P}}$&nbsp; und die Übergangswahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_\text{AA}$,&nbsp; $p_\text{BB}$&nbsp; und&nbsp; $p_\text{CC}$ an.
 
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$p_\text{AA} \ = $ { 0.25 3% }
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$p_\text{AA} \ = \ $ { 0.25 3% }
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{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $\nu = 1$.
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{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu = 1$, insbesondere
 
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${\rm Pr}(A_1) \ = $ { 0.75 3% }
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${\rm Pr}(A_1) \ = \ $ { 0.75 3% }
  
{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt $\nu = 2$.
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{Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu = 2$, insbesondere
 
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${\rm Pr}(A_2) \ = ${ 0.1875 3% }
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${\rm Pr}(A_2) \ = \ ${ 0.1875 3% }
  
{Welche Wahrscheinlichkeiten werden sich sehr lange nach Einschalten der Markovkette einstellen $(ν \rightarrow \infty)$? Wie groß ist insbesondere die ergodische Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A)$?
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{Welche Wahrscheinlichkeiten werden sich sehr lange nach Einschalten der Markovkette einstellen&nbsp; $(ν \rightarrow \infty)$? <br>Wie groß ist insbesondere die ergodische Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(A)$?
 
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${\rm Pr}(A) \ =$ { 0.333 3% }
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${\rm Pr}(A) \ = \ $ { 0.333 3% }
  
  
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:$$p_{\rm BB} = 1 - p_{\rm BA} - p_{\rm BC} \hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm} p_{\rm BB} = 1 - 0.75 -0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0},$$
 
:$$p_{\rm BB} = 1 - p_{\rm BA} - p_{\rm BC} \hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm} p_{\rm BB} = 1 - 0.75 -0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0},$$
 
:$$p_{\rm CC} = 1 - p_{\rm CA} - p_{\rm CB} \hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm} p_{\rm CC} = 1 - 0 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75}.$$
 
:$$p_{\rm CC} = 1 - p_{\rm CA} - p_{\rm CB} \hspace{0.5cm} \Rightarrow  \hspace{0.5cm} p_{\rm CC} = 1 - 0 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75}.$$
Damit lautet die &Uuml;bergangsmatrix:
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*Damit lautet die &Uuml;bergangsmatrix:
 
:$${\mathbf{P}} = \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4 & 0 \\ 3/4 & 0 & 1/4  \\ 0 & 1/4 & 3/4  \end{array} \right] .$$
 
:$${\mathbf{P}} = \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4 & 0 \\ 3/4 & 0 & 1/4  \\ 0 & 1/4 & 3/4  \end{array} \right] .$$
  
  
'''(2)'''&nbsp; Wegen ${\rm Pr}(B_0) = 1$ und $p_\text{BB}  = 0$ kann zum Zeitpunkt $\nu = 1$ das Ereignis $B$ nicht auftreten und das Ereignis $A$ ist sehr viel wahrscheinlicher als das Ereignis $C$:
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'''(2)'''&nbsp; Wegen&nbsp; ${\rm Pr}(B_0) = 1$&nbsp; und&nbsp; $p_\text{BB}  = 0$&nbsp; kann zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu = 1$&nbsp; das Ereignis&nbsp; $B$&nbsp; nicht auftreten und&nbsp; $A$&nbsp; ist sehr viel wahrscheinlicher als&nbsp; $C$:
 
:$$\hspace{0.15cm}\underline {{\rm Pr}(A_1) = 0.75}; \hspace{0.5cm} {\rm Pr}(B_1) = 0; \hspace{0.5cm}{\rm Pr}(C_1) = 0.25.$$
 
:$$\hspace{0.15cm}\underline {{\rm Pr}(A_1) = 0.75}; \hspace{0.5cm} {\rm Pr}(B_1) = 0; \hspace{0.5cm}{\rm Pr}(C_1) = 0.25.$$
Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Anwendung der Vektor-Matrixdarstellung.
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*Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Anwendung der Vektor-Matrixdarstellung.
  
  
'''(3)'''&nbsp; F&uuml;r den Wahrscheinlichkeitsvektor zum Zeitpunkt $\nu = 2$ gilt:
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'''(3)'''&nbsp; F&uuml;r den Wahrscheinlichkeitsvektor zum Zeitpunkt&nbsp; $\nu = 2$&nbsp; gilt:
 
:$${\mathbf{p}^{(\nu = 2)}} = {\mathbf{P}}^{\rm T} \cdot {\mathbf{p}^{(\nu =1 )}}= \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4&  0 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0& 1/4& 3/4  \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 3/4 \\ 0  \\ 1/4  \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3/16 \\ 10/16  \\ 3/16 \end{array} \right] .$$
 
:$${\mathbf{p}^{(\nu = 2)}} = {\mathbf{P}}^{\rm T} \cdot {\mathbf{p}^{(\nu =1 )}}= \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4&  0 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0& 1/4& 3/4  \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 3/4 \\ 0  \\ 1/4  \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3/16 \\ 10/16  \\ 3/16 \end{array} \right] .$$
Damit ist die Ereigniswahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(A_2) = 3/16\hspace{0.15cm}\underline {=  0.1875}$.
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*Damit ist die Ereigniswahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(A_2) = 3/16\hspace{0.15cm}\underline {=  0.1875}$.
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'''(4)'''&nbsp; Zur Lösung dieser Aufgabe sollen verschiedene M&ouml;glichkeiten angegeben werden.  
 
'''(4)'''&nbsp; Zur Lösung dieser Aufgabe sollen verschiedene M&ouml;glichkeiten angegeben werden.  
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:$${\rm Pr}(C) = \hspace{2.8cm} 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B)  \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(C).$$
 
:$${\rm Pr}(C) = \hspace{2.8cm} 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B)  \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(C).$$
 
:Aus der ersten Gleichung erh&auml;lt man ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(A)$, aus der letzten ${\rm Pr}(C) = {\rm Pr}(A)$. Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich $1$ ist, folgt $ {\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(C) = 1/3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx  0.333}$.
 
:Aus der ersten Gleichung erh&auml;lt man ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(A)$, aus der letzten ${\rm Pr}(C) = {\rm Pr}(A)$. Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich $1$ ist, folgt $ {\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(C) = 1/3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx  0.333}$.
*Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Analyse der &Uuml;bergangsmatrix. Da die Summe jeder Spalte gleich $1$ ist (das hei&szlig;t: die Summe einer jeden Zeile der transponierten Matrix ergibt ebenfalls $1$), ist offensichtlich, dass alle Ereigniswahrscheinlichkeiten gleich sein m&uuml;ssen.  
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*Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Analyse der &Uuml;bergangsmatrix.&nbsp; Da die Summe jeder Spalte gleich&nbsp; $1$&nbsp; ist&nbsp; $($das hei&szlig;t: &nbsp; die Summe einer jeden Zeile der transponierten Matrix ergibt ebenfalls $1)$, ist offensichtlich, dass alle Ereigniswahrscheinlichkeiten gleich sein m&uuml;ssen.  
  
*Auch durch kurzes Nachdenken h&auml;tte man das Ergebnis ohne Rechnung vorhersagen k&ouml;nnen. Da bei jedem Ereignis die Zahlenwerte bei den abgehenden Pfeilen (nur zu anderen Ereignissen) mit denen bei den ankommenden gleich sind, ist nicht einzusehen, warum eines der Ereignisse bevorzugt sein sollte.
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*Auch durch kurzes Nachdenken h&auml;tte man das Ergebnis ohne Rechnung vorhersagen k&ouml;nnen.&nbsp; Da bei jedem Ereignis die Zahlenwerte bei den abgehenden Pfeilen&nbsp; (nur zu anderen Ereignissen)&nbsp; mit denen bei den ankommenden gleich sind, ist nicht einzusehen, warum eines der Ereignisse bevorzugt sein sollte.
 
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Aktuelle Version vom 12. November 2019, 14:12 Uhr

Ternäre Markovkette

Wir betrachten eine Markovkette mit den drei möglichen Ereignissen  $A$,  $B$  und  $C$:

  • Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind der Grafik zu entnehmen.
  • Ein Übergang von  $A$  nach  $C$  und umgekehrt ist somit nicht möglich:
$$p_\text{AC} = p_\text{CA} = 0.$$

Die drei Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Startzeitpunkt  $\nu = 0$  sind wie folgt gegeben:

$${\rm Pr}(A_0) = 0,$$
$${\rm Pr}(B_0) = 1,$$
$${\rm Pr}(C_0) = 0.$$




Hinweise:


Fragebogen

1

Geben Sie die Übergangsmatrix  ${\mathbf{P}}$  und die Übergangswahrscheinlichkeiten  $p_\text{AA}$,  $p_\text{BB}$  und  $p_\text{CC}$ an.

$p_\text{AA} \ = \ $

$p_\text{BB} \ = \ $

$p_\text{CC} \ = \ $

2

Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt  $\nu = 1$, insbesondere

${\rm Pr}(A_1) \ = \ $

3

Berechnen Sie die Ereigniswahrscheinlichkeiten zum Zeitpunkt  $\nu = 2$, insbesondere

${\rm Pr}(A_2) \ = \ $

4

Welche Wahrscheinlichkeiten werden sich sehr lange nach Einschalten der Markovkette einstellen  $(ν \rightarrow \infty)$?
Wie groß ist insbesondere die ergodische Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(A)$?

${\rm Pr}(A) \ = \ $


Musterlösung

(1)  Allgemein bzw. in diesem Sonderfall muss gelten:

$$p_{\rm AA} = 1 - p_{\rm AB} - p_{\rm AC} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} p_{\rm AA} = 1 - 0.75 -0 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25},$$
$$p_{\rm BB} = 1 - p_{\rm BA} - p_{\rm BC} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} p_{\rm BB} = 1 - 0.75 -0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0},$$
$$p_{\rm CC} = 1 - p_{\rm CA} - p_{\rm CB} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} p_{\rm CC} = 1 - 0 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.75}.$$
  • Damit lautet die Übergangsmatrix:
$${\mathbf{P}} = \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4 & 0 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0 & 1/4 & 3/4 \end{array} \right] .$$


(2)  Wegen  ${\rm Pr}(B_0) = 1$  und  $p_\text{BB} = 0$  kann zum Zeitpunkt  $\nu = 1$  das Ereignis  $B$  nicht auftreten und  $A$  ist sehr viel wahrscheinlicher als  $C$:

$$\hspace{0.15cm}\underline {{\rm Pr}(A_1) = 0.75}; \hspace{0.5cm} {\rm Pr}(B_1) = 0; \hspace{0.5cm}{\rm Pr}(C_1) = 0.25.$$
  • Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Anwendung der Vektor-Matrixdarstellung.


(3)  Für den Wahrscheinlichkeitsvektor zum Zeitpunkt  $\nu = 2$  gilt:

$${\mathbf{p}^{(\nu = 2)}} = {\mathbf{P}}^{\rm T} \cdot {\mathbf{p}^{(\nu =1 )}}= \left[ \begin{array}{ccc} 1/4 & 3/4& 0 \\ 3/4 & 0 & 1/4 \\ 0& 1/4& 3/4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 3/4 \\ 0 \\ 1/4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 3/16 \\ 10/16 \\ 3/16 \end{array} \right] .$$
  • Damit ist die Ereigniswahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(A_2) = 3/16\hspace{0.15cm}\underline {= 0.1875}$.


(4)  Zur Lösung dieser Aufgabe sollen verschiedene Möglichkeiten angegeben werden.

  • Zum einen das Lösen eines Gleichungssystems mit drei Unbekannten:
$${\rm Pr}(A) = 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B),$$
$${\rm Pr}(B) = 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(A) \hspace{2.8cm} + \hspace{0.1cm} 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(C),$$
$${\rm Pr}(C) = \hspace{2.8cm} 1/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(B) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 3/4 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} {\rm Pr}(C).$$
Aus der ersten Gleichung erhält man ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(A)$, aus der letzten ${\rm Pr}(C) = {\rm Pr}(A)$. Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich $1$ ist, folgt $ {\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(C) = 1/3 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.333}$.
  • Zum gleichen Ergebnis kommt man durch Analyse der Übergangsmatrix.  Da die Summe jeder Spalte gleich  $1$  ist  $($das heißt:   die Summe einer jeden Zeile der transponierten Matrix ergibt ebenfalls $1)$, ist offensichtlich, dass alle Ereigniswahrscheinlichkeiten gleich sein müssen.
  • Auch durch kurzes Nachdenken hätte man das Ergebnis ohne Rechnung vorhersagen können.  Da bei jedem Ereignis die Zahlenwerte bei den abgehenden Pfeilen  (nur zu anderen Ereignissen)  mit denen bei den ankommenden gleich sind, ist nicht einzusehen, warum eines der Ereignisse bevorzugt sein sollte.