Aufgabe 1.7: Systemwirkungsgrade
Der Empfänger eines binären Nachrichtenübertragungssystems mit Symboldauer $T$ besteht aus einem Integrator, der durch die Impulsantwort
- $$_{\rm E}(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1/T \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} \hspace{0.05cm}|t| < T/2 \hspace{0.05cm}, \\ |t| > T/2 \\ \end{array}$$
beschreibbar ist. Danach folgt ein Schwellenwertentscheider mit optimalen Parametern.
Der Sendegrundimpuls $g_{s}(t)$ gemäß der Grafik ist im Allgemeinen trapezförmig und wird durch die Zeit $T_{1}$ parametrisiert. Für $T_{1} = 0$ ergibt sich ein Dreieckimpuls, für $T_{1} = T$ das NRZ–Rechteck. Die absolute Impulsdauer $T_{\rm S}$ ist stets gleich der Symboldauer $T$, also dem Abstand zweier Sendeimpulse.
Das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis (SNR) vor dem Schwellenwertentscheider kann unter der Voraussetzung, dass keine Impulsinterferenzen auftreten, wie folgt berechnet werden:
- $$\rho_d = {g_0^2}/{\sigma_d^2}\hspace{0.05cm}.$$
Hierbei ist $g_{0} = g_{d}(t = 0)$ der Maximalwert des Detektionsgrundimpulses und
- $$\sigma_d^2 = {N_0}/{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|h_{\rm E}(t)|^2 \,{\rm d} t = \frac{N_0}{2 \cdot T}$$
die Rauschleistung nach dem Empfangsfilter bei AWGN–Rauschen an seinem Eingang.
Im Laufe dieser Aufgabe werden folgende Größen verwendet:
- $\rho_{d,\rm max | L}$ ist das maximale SNR unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung.
- $\rho_{d,\rm max | A}$ ist das maximale SNR bei Spitzenwertbegrenzung (Amplitudenbegrenzung).
Mit diesen Definitionen lassen sich die Systemwirkungsgrade angeben:
- $$\eta_{\rm L} = \ \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} L}}}\hspace{0.05cm},$$
- $$\eta_{\rm A} = \ \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A}}} = {1}/{C_{\rm S}^2}\cdot \eta_{\rm L} \hspace{0.05cm}.$$
Hierbei bezeichnet der so genannte Crestfaktor $C_{\rm S}$ das Verhältnis zwischen dem Maximalwert und dem Effektivwert (Wurzel aus der Leistung) des Sendesignals $s(t)$.
Hinweis:
Die Aufgabe gehört zum Themenkomplex von Optimierung der Basisbandübertragungssysteme. Verwenden Sie zur Lösung der Aufgabe folgende Zahlenwerte:
- $$s_0^2 = 10\,{\rm mW},\hspace{0.2cm}T = 3\,{\rm{ \mu s}}, \hspace{0.2cm}N_0 = 3 \cdot 10^{-10}\,{\rm W/Hz}\hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
