Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Ternäre Markovquelle: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Grafik zeigt eine Markovquelle mit $M = 3$ Zuständen $\rm A$, $\rm B$ und $\rm C$. Für die beiden Parameter dieses Markovprozesses soll gelten:
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Die Grafik zeigt eine Markovquelle mit  $M = 3$  Zuständen  $\rm A$,  $\rm B$  und  $\rm C$.  
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:$$0 \le p \le 0.5 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}0 \le q \le 1 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$0 \le p \le 0.5 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}0 \le q \le 1 \hspace{0.05cm}.$$
 
Aufgrund der Markoveigenschaft dieser Quelle kann die Entropie auf unterschiedliche Weise ermittelt werden:
 
Aufgrund der Markoveigenschaft dieser Quelle kann die Entropie auf unterschiedliche Weise ermittelt werden:
  
*Man berechnet die <i>beiden ersten Entropienäherungen</i> $H_1$ und $H_2$. Dann gilt für die tatsächliche Entropie:
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*Man berechnet die <i>beiden ersten Entropienäherungen</i>&nbsp; $H_1$&nbsp; und&nbsp; $H_2$.&nbsp; Dann gilt für die tatsächliche Entropie:
 
:$$H  = 2 \cdot H_{\rm 2} - H_{\rm 1}  \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$H  = 2 \cdot H_{\rm 2} - H_{\rm 1}  \hspace{0.05cm}.$$
  
*Nach der <i>direkten Berechnungsmethode</i> kann die Entropie aber auch wie folgt berechnet werden (insgesamt 9 Terme):
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*Nach der <i>direkten Berechnungsmethode</i> kann die Entropie aber auch wie folgt geschrieben werden&nbsp; (insgesamt neun Terme):
 
:$$H = p_{\rm AA}  \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm AB}  \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} +  \ \text{...}
 
:$$H = p_{\rm AA}  \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm AB}  \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} +  \ \text{...}
 
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\text{wobei} \ p_{\rm AA} = p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 
\text{wobei} \ p_{\rm AA} = p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 
p_{\rm AB} = p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \hspace{0.05cm}, \ \text{...}$$
 
p_{\rm AB} = p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \hspace{0.05cm}, \ \text{...}$$
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis#Nichtbin.C3.A4re_Markovquellen|Nichtbinäre Markovquellen]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Informationstheorie/Nachrichtenquellen_mit_Gedächtnis#Nichtbin.C3.A4re_Markovquellen|Nichtbinäre Markovquellen]].
 
*Bei allen Entropien ist die Pseudoeinheit &bdquo;bit/Symbol&rdquo; hinzuzufügen.
 
*Bei allen Entropien ist die Pseudoeinheit &bdquo;bit/Symbol&rdquo; hinzuzufügen.
 
   
 
   
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{Für welche Parameter &nbsp;$p$ &nbsp;und&nbsp;  $q$ ergibt sich die maximale Entropie pro Symbol?
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$H_1 = \  \ $ { 1.585 3% } $\ \rm bit/Symbol$
 
$H_1 = \  \ $ { 1.585 3% } $\ \rm bit/Symbol$
  
  
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{Weiterhin gelte &nbsp;$p = 1/4$ &nbsp;und&nbsp;  $q = 1$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich in diesem Fall für die zweite Entropienäherung?
 
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$H_2 = \  \ $ { 1.5425 1% } $\ \rm bit/Symbol$
 
$H_2 = \  \ $ { 1.5425 1% } $\ \rm bit/Symbol$

Version vom 17. Januar 2020, 16:48 Uhr

Ternäre Markovquelle

Die Grafik zeigt eine Markovquelle mit  $M = 3$  Zuständen  $\rm A$,  $\rm B$  und  $\rm C$.

Für die beiden Parameter dieses Markovprozesses soll gelten:

$$0 \le p \le 0.5 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}0 \le q \le 1 \hspace{0.05cm}.$$

Aufgrund der Markoveigenschaft dieser Quelle kann die Entropie auf unterschiedliche Weise ermittelt werden:

  • Man berechnet die beiden ersten Entropienäherungen  $H_1$  und  $H_2$.  Dann gilt für die tatsächliche Entropie:
$$H = 2 \cdot H_{\rm 2} - H_{\rm 1} \hspace{0.05cm}.$$
  • Nach der direkten Berechnungsmethode kann die Entropie aber auch wie folgt geschrieben werden  (insgesamt neun Terme):
$$H = p_{\rm AA} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm AB} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + \ \text{...} \hspace{0.05cm}, \ \text{wobei} \ p_{\rm AA} = p_{\rm A} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} p_{\rm AB} = p_{\rm A} \cdot p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \hspace{0.05cm}, \ \text{...}$$





Hinweise:


Fragebogen

1

Für welche Parameter  $p$  und  $q$  ergibt sich die maximale Entropie pro Symbol?

$p \ = \ $

$q\ = \ $

$H_\text{max} \ = \ $

$\ \rm bit/Symbol$

2

Es sei  $p = 1/4$  und  $q = 1$.  Welcher Wert ergibt sich in diesem Fall für die erste Entropienäherung?

$H_1 = \ \ $

$\ \rm bit/Symbol$

3

Weiterhin gelte  $p = 1/4$  und  $q = 1$.  Welcher Wert ergibt sich in diesem Fall für die zweite Entropienäherung?

$H_2 = \ \ $

$\ \rm bit/Symbol$

4

Wie groß ist die tatsächliche Quellenentropie mit  $p = 1/4$  und  $q = 1$?

$H = \ \ $

$\ \rm bit/Symbol$

5

Wie groß ist die tatsächliche Quellenentropie mit  $p = 1/2$  und  $q = 0$?

$H = \ \ $

$\ \rm bit/Symbol$


Musterlösung

(1)  Die maximale Entropie ergibt sich dann, wenn die Symbole $\rm A$, $\rm B$ und $\rm C$ gleichwahrscheinlich und die Symbole innerhalb der Folge statistisch voneinander unabhängig sind. Dann muss gelten:

Übergangsdiagramm für $p = 1/4$, $q = 1$
  • $p_{\rm A} = p_{\rm A|A} = p_{\rm A|B} = p_{\rm A|C} = 1/3$,
  • $p_{\rm B} = p_{\rm B|A} = p_{\rm B|B} = p_{\rm B|C} = 1/3$,
  • $p_{\rm C} = p_{\rm C|A} = p_{\rm C|B} = p_{\rm C|C} = 1/3$.


Daraus lassen sich die gesuchten Werte bestimmen:

  • Beispielsweise erhält man aus $p_{\rm C|C} = 1/3$ den Wert  $p \hspace{0.15cm}\underline{= 1/3}$.
  • Berücksichtigt man noch die Beziehung  $p_{\rm A|A} = p \cdot q$, so folgt  $q \hspace{0.15cm}\underline{= 1}$.
  • Damit ergibt sich die maximale Entropie  $H_\text{max} ={\rm log_2} \ 3\hspace{0.15cm}\underline{= 1.585\ \rm bit/Symbol}$.


(2)  Mit den Parameterwerten Übergangsdiagramm für $p = 1/4$  und  $q = 1$ ergibt sich das nebenstehende Übergangsdiagramm, das folgende Symmetrien aufweist:

  • $p_{\rm A|A} = p_{\rm B|B} = p_{\rm C|C} = 1/4$ (rot markiert),
  • $p_{\rm A|B} = p_{\rm B|C} = p_{\rm C|A} = 1/2$ (grün markiert),
  • $p_{\rm A|C} = p_{\rm B|A} = p_{\rm C|CB} = 1/4$ (blau markiert).


Es ist offensichtlich, dass die Symbolwahrscheinlichkeiten alle gleich sind:

$$p_{\rm A} = p_{\rm B} = p_{\rm C} = 1/3 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_1 = {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 3 \hspace{0.15cm} \underline {= 1.585 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Für die zweite Entropienäherung benötigt man $3^2 = 9$ Verbundwahrscheinlichkeiten. Mit dem Ergebnis aus (2) erhält man hierfür:

$$p_{\rm AA} = p_{\rm BB}= p_{\rm CC}= p_{\rm AC}=p_{\rm BA}=p_{\rm CB}=1/12 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} p_{\rm AB} = p_{\rm BC}=p_{\rm CA}=1/6$$
$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} H_2 = \frac{1}{2} \cdot \left [ 6 \cdot \frac{1}{12} \cdot {\rm ld}\hspace{0.1cm} 12 + 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 6 \right ] = \frac{1}{4} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 4 + \frac{1}{4} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 3 + \frac{1}{4} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 2 + \frac{1}{4} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 3 = \frac{3}{4} + \frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm} 3}{2} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.5425 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Aufgrund der Markoveigenschaft der Quelle gilt

$$H = 2 \cdot H_2 - H_1 = \big [ {3}/{2} + {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 3 \big ] - {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 3\hspace{0.15cm} \underline {= 1.5 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$

Zum gleichen Ergebnis würde man mit folgender Rechnung kommen:

$$H= p_{\rm AA} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm AB} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm B\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + ... \hspace{0.1cm}= 6 \cdot \frac{1}{12} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 4 + 3 \cdot \frac{1}{16} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} 2 \hspace{0.15cm} \underline {= 1.5 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$
Übergangsdiagramm für $p = 1/4$, $q = 0$

(5)  Aus dem nebenstehendenm Übergangsdiagramm mit den aktuellen Parametern erkennt man, dass bei Stationarität $p_{\rm B} = 0$ gelten wird, da $\rm B$ höchstens zum Starzeitpunkt einmal auftreten kann.

  • Es liegt also eine binäre Markovkette mit den Symbolen $\rm A$ und $\rm C$ vor.
  • Die Symbolwahrscheinlichkeiten ergeben sich zu:
$$p_{\rm A} = 0.5 \cdot p_{\rm C} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{\rm A} + p_{\rm C} = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm A} = 1/3 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{\rm C} = 2/3\hspace{0.05cm}. $$
  • Damit erhält man folgende Wahrscheinlichkeiten:
$$p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} \hspace{0.1cm} = \hspace{0.1cm}0\hspace{0.7cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm AA} = 0 \hspace{0.05cm},$$
$$ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} =1/2\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm CA} = p_{\rm C} \cdot p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} = 2/3 \cdot 1/2 = 1/3 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm log_2}\hspace{0.1cm}(1/p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} )= 1\hspace{0.05cm},$$
$$ p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} =1\hspace{0.7cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm AC} = p_{\rm A} \cdot p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} = 1/3 \cdot 1 = 1/3 \hspace{0.05cm},\hspace{0.61cm}{\rm log_2}\hspace{0.1cm}(1/p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A} )= 0\hspace{0.05cm},$$
$$ p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} =1/2\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm CC} = p_{\rm C} \cdot p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} = 2/3 \cdot 1/2 = 1/3\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm log_2}\hspace{0.1cm}(1/p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C} )= 1 $$
$$\Rightarrow \hspace{0.25cm} H = p_{\rm AA} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} +p_{\rm CA} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm A\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C}}+ p_{\rm AC} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}A}} + p_{\rm CC} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}\frac {1}{ p_{\rm C\hspace{0.01cm}|\hspace{0.01cm}C}}= 0 + 1/3 \cdot 1 + 1/3 \cdot 0 + 1/3 \cdot 1 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.667 \,{\rm bit/Symbol}} \hspace{0.05cm}.$$