Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Ergodische Wahrscheinlichkeiten: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
(2 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 2: Zeile 2:
 
{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Markovketten}}
 
{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Markovketten}}
  
[[Datei:P_ID452__Sto_Z_1_6.png|right|frame|Binäre Markovkette mit  $A$  und  $B$]]
+
[[Datei:P_ID452__Sto_Z_1_6.png|right|frame|Markovkette mit  $A$  und  $B$]]
 
Wir betrachten eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen  $A$  und  $B$  und den Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechend dem nebenstehenden Markovdiagramm:
 
Wir betrachten eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen  $A$  und  $B$  und den Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechend dem nebenstehenden Markovdiagramm:
  
Zeile 17: Zeile 17:
  
  
 
+
Hinweise:  
 
 
 
 
 
 
''Hinweise:''
 
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
 
   
 
   
Zeile 41: Zeile 37:
 
${\rm Pr}(B) \ = \ $ { 0.429 3% }
 
${\rm Pr}(B) \ = \ $ { 0.429 3% }
  
{Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis  $B$  auftritt, wenn zwei Takte vorher das Ereignis  $A$  aufgetreten ist?
+
{Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit,  dass das Ereignis  $B$  auftritt,  wenn zwei Takte vorher das Ereignis  $A$  aufgetreten ist?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})\ = \ $ { 0.417 3% }
 
${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})\ = \ $ { 0.417 3% }
  
{Wie groß ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit, dass zwei Takte vorher das Ereignis  $A$  aufgetreten ist, wenn aktuell  $B$  auftritt?
+
{Wie groß ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit,  dass zwei Takte vorher das Ereignis  $A$  aufgetreten ist,  wenn aktuell  $B$  auftritt?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
${\rm Pr}(A_{\nu-2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B_{\nu})\ = \ $ { 0.556 3% }
 
${\rm Pr}(A_{\nu-2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B_{\nu})\ = \ $ { 0.556 3% }
Zeile 53: Zeile 49:
 
$q\ = \ $ { 0. }
 
$q\ = \ $ { 0. }
  
{Wie muss man die Parameter wählen, damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich  ${\rm Pr}(A) = 2/3$  gilt?
+
{Wie muss man die Parameter wählen,  damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich  ${\rm Pr}(A) = 2/3$  gilt?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$p \ = \ $ { 0.667 3% }
 
$p \ = \ $ { 0.667 3% }
Zeile 63: Zeile 59:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''  Gemäß der Angabe gilt   $p = 1 - p$   ⇒   $\underline{p =0.500}$ und $q = (1 - q)/2$,   ⇒   $\underline{q =0.333}$.
+
'''(1)'''  Gemäß der Angabe gilt   $p = 1 - p$   ⇒   $\underline{p =0.500}$  und  $q = (1 - q)/2$,   ⇒   $\underline{q =0.333}$.
  
  
'''(2)'''  Für die Ereigniswahrscheinlichkeit von $A$ gilt:
+
'''(2)'''  Für die Ereigniswahrscheinlichkeit von  $A$  gilt:
 
:$${\rm Pr}(A) = \frac{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)}{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = \frac{1-q}{1-q+1-p} = \frac{2/3}{2/3 + 1/2}= \frac{4}{7}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx0.571}.$$
 
:$${\rm Pr}(A) = \frac{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)}{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = \frac{1-q}{1-q+1-p} = \frac{2/3}{2/3 + 1/2}= \frac{4}{7}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx0.571}.$$
Damit ergibt sich ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.
+
*Damit ergibt sich  ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.
  
  
'''(3)'''  Über den Zeitpunkt $\nu-1$ ist keine Aussage getroffen. Zu diesem Zeitpunkt kann  $A$ oder $B$ aufgetreten sein. Deshalb gilt:
+
 
 +
'''(3)'''  Über den Zeitpunkt  $\nu-1$  ist keine Aussage getroffen. 
 +
*Zu diesem Zeitpunkt kann  $A$  oder  $B$  aufgetreten sein. Deshalb gilt:
 
:$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) = p \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p) +  q \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p)
 
:$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) = p \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p) +  q \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p)
= \frac{5}{12}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$
+
= {5}/{12}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$
  
  
Zeile 80: Zeile 78:
 
= {5}/{9}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$
 
= {5}/{9}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$
 
''Begründung:''
 
''Begründung:''
*Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$ wurde bereits im Unterpunkt '''(3)''' berechnet.
+
*Die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$  wurde bereits im Unterpunkt  '''(3)'''  berechnet.
*Aufgrund der Stationarität gilt ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$ und ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$.  
+
*Aufgrund der Stationarität gilt  ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$  und  ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$.  
*Damit erhält man für die gesuchte Rückschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert 5/9.
+
*Damit erhält man für die gesuchte Rückschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert  $5/9$.
  
  
'''(5)'''  Entsprechend der Teilaufgabe '''(2)''' gilt mit ${p =1/2}$ für die Wahrscheinlichkeit von $A$ allgemein:
+
'''(5)'''  Entsprechend der Teilaufgabe  '''(2)'''  gilt mit  ${p =1/2}$  für die Wahrscheinlichkeit von  $A$  allgemein:
 
:$${\rm Pr}(A) = \frac{1-q}{1.5 -q}.$$
 
:$${\rm Pr}(A) = \frac{1-q}{1.5 -q}.$$
Aus $ {\rm Pr}(A) = 2/3$ folgt somit $\underline{q =0}$.
+
*Aus  $ {\rm Pr}(A) = 2/3$  folgt somit  $\underline{q =0}$.
 +
 
  
  
 
'''(6)'''  Im Fall der statistischen Unabhängigkeit muss beispielsweise gelten:
 
'''(6)'''  Im Fall der statistischen Unabhängigkeit muss beispielsweise gelten:
 
:$${{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = {{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)} = {{\rm Pr}(A)}.$$
 
:$${{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = {{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)} = {{\rm Pr}(A)}.$$
Daraus folgt  $p = {\rm Pr}(A)  \hspace{0.15cm}\underline {= 2/3}$   und dementsprechend  $q = 1-p  \hspace{0.15cm}\underline {= 1/3}$.
+
*Daraus folgt  $p = {\rm Pr}(A)  \hspace{0.15cm}\underline {= 2/3}$   und dementsprechend  $q = 1-p  \hspace{0.15cm}\underline {= 1/3}$.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Aktuelle Version vom 2. Dezember 2021, 15:21 Uhr

Markovkette mit  $A$  und  $B$

Wir betrachten eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen  $A$  und  $B$  und den Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechend dem nebenstehenden Markovdiagramm:

Für die Teilaufgaben  (1)  bis  (4)  wird vorausgesetzt:

  • Nach dem Ereignis  $A$  folgen  $A$  und  $B$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
  • Nach  $B$  ist das Ereignis  $A$  doppelt so wahrscheinlich wie  $B$.


Ab Teilaufgabe  (5)  sind  $p$  und  $q$  als freie Parameter zu verstehen, während die Ereigniswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(A) = 2/3$  und  ${\rm Pr}(B) = 1/3$  fest vorgegeben sind.



Hinweise:


Fragebogen

1

Wie groß sind die Übergangswahrscheinlichkeiten  $p$  und  $q$?

$p \ = \ $

$q \ = \ $

2

Berechnen Sie die ergodischen Wahrscheinlichkeiten.

${\rm Pr}(A) \ = \ $

${\rm Pr}(B) \ = \ $

3

Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit,  dass das Ereignis  $B$  auftritt,  wenn zwei Takte vorher das Ereignis  $A$  aufgetreten ist?

${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})\ = \ $

4

Wie groß ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit,  dass zwei Takte vorher das Ereignis  $A$  aufgetreten ist,  wenn aktuell  $B$  auftritt?

${\rm Pr}(A_{\nu-2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B_{\nu})\ = \ $

5

Es gelte nun  $p = 1/2$  und  ${\rm Pr}(A) = 2/3$.  Welcher Wert ergibt sich für  $q$?

$q\ = \ $

6

Wie muss man die Parameter wählen,  damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich  ${\rm Pr}(A) = 2/3$  gilt?

$p \ = \ $

$q \ = \ $


Musterlösung

(1)  Gemäß der Angabe gilt   $p = 1 - p$   ⇒   $\underline{p =0.500}$  und  $q = (1 - q)/2$,   ⇒   $\underline{q =0.333}$.


(2)  Für die Ereigniswahrscheinlichkeit von  $A$  gilt:

$${\rm Pr}(A) = \frac{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)}{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = \frac{1-q}{1-q+1-p} = \frac{2/3}{2/3 + 1/2}= \frac{4}{7} \hspace{0.15cm}\underline {\approx0.571}.$$
  • Damit ergibt sich  ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.


(3)  Über den Zeitpunkt  $\nu-1$  ist keine Aussage getroffen. 

  • Zu diesem Zeitpunkt kann  $A$  oder  $B$  aufgetreten sein. Deshalb gilt:
$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) = p \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p) + q \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p) = {5}/{12} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$


(4)  Nach dem Satz von Bayes gilt:

$${\rm Pr}(A_{\nu -2} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B_{\nu}) = \frac{{\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu -2} ) }{{\rm Pr}(B_{\nu}) } = \frac{5/12 \cdot 4/7 }{3/7 } = {5}/{9} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$

Begründung:

  • Die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$  wurde bereits im Unterpunkt  (3)  berechnet.
  • Aufgrund der Stationarität gilt  ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$  und  ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$.
  • Damit erhält man für die gesuchte Rückschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert  $5/9$.


(5)  Entsprechend der Teilaufgabe  (2)  gilt mit  ${p =1/2}$  für die Wahrscheinlichkeit von  $A$  allgemein:

$${\rm Pr}(A) = \frac{1-q}{1.5 -q}.$$
  • Aus  $ {\rm Pr}(A) = 2/3$  folgt somit  $\underline{q =0}$.


(6)  Im Fall der statistischen Unabhängigkeit muss beispielsweise gelten:

$${{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = {{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)} = {{\rm Pr}(A)}.$$
  • Daraus folgt  $p = {\rm Pr}(A) \hspace{0.15cm}\underline {= 2/3}$  und dementsprechend  $q = 1-p \hspace{0.15cm}\underline {= 1/3}$.