Aufgaben:Aufgabe 1.6Z: Ergodische Wahrscheinlichkeiten: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
Zeile 47: Zeile 47:
 
$q\ = $ { 0. }
 
$q\ = $ { 0. }
  
{Wie müssen die Parameter gewählt werden, damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich ${\rm Pr}(A) = 2/3$ gilt?
+
{Wie muss man die Parameter wählen, damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich ${\rm Pr}(A) = 2/3$ gilt?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
 
$p \ = $ { 0.667 3% }
 
$p \ = $ { 0.667 3% }
Zeile 57: Zeile 57:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Gemäß der Angabe gilt <i>p</i> = 1 - <i>p</i>, also <u><i>p</i> = 1/2</u>, und <i>q</i> = (1 - <i>q</i>)/2. Daraus folgt <u><i>q</i> = 1/3</u>.
+
'''(1)'''&nbsp; Gemäß der Angabe gilt $p = 1 - p$, &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{p =1/2}$, und $q = (1 - q)/2$, &nbsp; &rArr; &nbsp; $\underline{q =1/3}$.
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;F&uuml;r die Ereigniswahrscheinlichkeit von <i>A</i> gilt:
+
 
 +
'''(2)'''&nbsp; F&uuml;r die Ereigniswahrscheinlichkeit von $A$ gilt:
 
:$${\rm Pr}(A) = \frac{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)}{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = \frac{1-q}{1-q+1-p} = \frac{2/3}{2/3 + 1/2}= \frac{4}{7}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx0.571}.$$
 
:$${\rm Pr}(A) = \frac{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)}{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = \frac{1-q}{1-q+1-p} = \frac{2/3}{2/3 + 1/2}= \frac{4}{7}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx0.571}.$$
:Damit ergibt sich Pr(<i>B</i>) = 1 - Pr(<i>A</i>) = 3/7 <u>&asymp; 0.429</u>.
+
Damit ergibt sich ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;&Uuml;ber den Zeitpunkt <i>&nu;</i>-1 ist keine Aussage getroffen. Zu diesem Zeitpunkt kann das Ereignis <i>A</i> oder das Ereignis <i>B</i> aufgetreten sein. Deshalb gilt:
+
 
:$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \\ = p \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p) +  q \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p)
+
'''(3)'''&nbsp; &Uuml;ber den Zeitpunkt $\nu-1$ ist keine Aussage getroffen. Zu diesem Zeitpunkt kann $A$ oder $B$ aufgetreten sein. Deshalb gilt:
 +
:$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) p \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p) +  q \hspace{0.1cm}  \cdot \hspace{0.1cm}  (1-p)
 
= \frac{5}{12}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$
 
= \frac{5}{12}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Nach dem Satz von Bayes gilt:
+
 
 +
'''(4)'''&nbsp; Nach dem Satz von Bayes gilt:
 
:$${\rm Pr}(A_{\nu -2} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B_{\nu}) = \frac{{\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu -2} ) }{{\rm Pr}(B_{\nu}) } =  \frac{5/12 \cdot 4/7 }{3/7 }
 
:$${\rm Pr}(A_{\nu -2} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B_{\nu}) = \frac{{\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu -2} ) }{{\rm Pr}(B_{\nu}) } =  \frac{5/12 \cdot 4/7 }{3/7 }
= \frac{5}{9}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$
+
= {5}/{9}  \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$
:Die Wahrscheinlichkeit Pr(<i>B<sub>&nu;</sub></i> | <i>A<sub>&nu;</sub></i><sub>-2</sub>) = 5/12 wurde bereits im Unterpunkt 3) berechnet. Aufgrund der Stationarit&auml;t gilt Pr(<i>A<sub>&nu;</sub></i><sub>-2</sub>) = Pr(<i>A</i>) = 4/7 und Pr(<i>B<sub>&nu;</sub></i>) = Pr(<i>B</i>) = 3/7. Damit erh&auml;lt man f&uuml;r die gesuchte R&uuml;ckschlusswahrscheinlichkeit den Wert 5/9.
+
Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$ wurde bereits im Unterpunkt (3) berechnet. Aufgrund der Stationarit&auml;t gilt ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$ und ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$. Damit erh&auml;lt man f&uuml;r die gesuchte R&uuml;ckschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert 5/9.
:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Entsprechend Punkt b) gilt mit <i>p</i> = 1/2 für die Wahrscheinlichkeit von <i>A</i> allgemein:
+
 
 +
'''(5)'''&nbsp; Entsprechend der Teilaufgabe (2) gilt mit ${p =1/2}$ für die Wahrscheinlichkeit von $A$ allgemein:
 
:$${\rm Pr}(A) = \frac{1-q}{1.5 -q}.$$
 
:$${\rm Pr}(A) = \frac{1-q}{1.5 -q}.$$
:Aus Pr(<i>A</i>) = 2/3 folgt somit <u><i>q</i> = 0</u>.
+
Aus $ {\rm Pr}(A) = 2/3$ folgt somit $\underline{q =0}$.
:<b>6.</b>&nbsp;&nbsp;Im Fall der statistischen Unabh&auml;ngigkeit muss beispielsweise gelten:
+
 
 +
'''(6)'''&nbsp; Im Fall der statistischen Unabh&auml;ngigkeit muss beispielsweise gelten:
 
:$${{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = {{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)} = {{\rm Pr}(A)}.$$
 
:$${{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = {{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)} = {{\rm Pr}(A)}.$$
:Daraus folgt <i>p</i> = 1 - <u><i>q</i> = 2/3</u> und dementsprechend <u><i>q</i> = 1/3</u>.
+
Daraus folgt $p = {\rm Pr}(A)  \hspace{0.15cm}\underline {= 2/3}$  und dementsprechend $q = 1-p  \hspace{0.15cm}\underline {= 1/3}$.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Version vom 23. Februar 2017, 16:43 Uhr

Binäre Markovkette

Wir betrachten eine homogene stationäre Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen $A$ und $B$ und den Übergangswahrscheinlichkeiten entsprechend dem nebenstehenden Markovdiagramm:

Für die Teilaufgaben (1) bis (4) wird vorausgesetzt:

  • Nach dem Ereignis $A$ folgen $A$ und $B$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
  • Nach $B$ ist das Ereignis $A$ doppelt so wahrscheinlich wie $B$.


Ab Teilaufgabe (5) sind $p$ und $q$ als freie Parameter zu verstehen, während die Ereigniswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(A) = 2/3$ und ${\rm Pr}(B) = 1/3$ fest vorgegeben sind.

Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Markovketten.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
  • Sie können Ihre Ergebnisse mit dem nachfolgenden Berechnungstool überprüfen:
Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung


Fragebogen

1

Wie groß sind die Übergangswahrscheinlichkeiten $p$ und $q$?

$p \ = $

$q \ = $

2

Berechnen Sie die ergodischen Wahrscheinlichkeiten.

${\rm Pr}(A) \ = $

${\rm Pr}(B) \ = $

3

Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $B$ auftritt, wenn zwei Takte vorher das Ereignis $A$ aufgetreten ist?

${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})\ = $

4

Wie groß ist die Rückschlusswahrscheinlichkeit, dass zwei Takte vorher das Ereignis $A$ aufgetreten ist, wenn aktuell $B$ auftritt?

${\rm Pr}(A_{\nu-2}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B_{\nu})\ = $

5

Es gelte nun $p = 1/2$ und ${\rm Pr}(A) = 2/3$. Welcher Wert ergibt sich für $q$?

$q\ = $

6

Wie muss man die Parameter wählen, damit die Folgenelemente der Markovkette statistisch unabhängig sind und zusätzlich ${\rm Pr}(A) = 2/3$ gilt?

$p \ = $

$q \ = $


Musterlösung

(1)  Gemäß der Angabe gilt $p = 1 - p$,   ⇒   $\underline{p =1/2}$, und $q = (1 - q)/2$,   ⇒   $\underline{q =1/3}$.

(2)  Für die Ereigniswahrscheinlichkeit von $A$ gilt:

$${\rm Pr}(A) = \frac{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)}{{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = \frac{1-q}{1-q+1-p} = \frac{2/3}{2/3 + 1/2}= \frac{4}{7} \hspace{0.15cm}\underline {\approx0.571}.$$

Damit ergibt sich ${\rm Pr}(B)= 1 - {\rm Pr}(A) = 3/7 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.429}$.

(3)  Über den Zeitpunkt $\nu-1$ ist keine Aussage getroffen. Zu diesem Zeitpunkt kann $A$ oder $B$ aufgetreten sein. Deshalb gilt:

$${\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.15cm} +\hspace{0.15cm} {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) p \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p) + q \hspace{0.1cm} \cdot \hspace{0.1cm} (1-p) = \frac{5}{12} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.417}.$$

(4)  Nach dem Satz von Bayes gilt:

$${\rm Pr}(A_{\nu -2} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B_{\nu}) = \frac{{\rm Pr}(B_{\nu} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A_{\nu -2}) \cdot {\rm Pr}(A_{\nu -2} ) }{{\rm Pr}(B_{\nu}) } = \frac{5/12 \cdot 4/7 }{3/7 } = {5}/{9} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.556}.$$

Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(B_{\nu}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A_{\nu-2})= 5/12$ wurde bereits im Unterpunkt (3) berechnet. Aufgrund der Stationarität gilt ${\rm Pr}(A_{\nu-2})= {\rm Pr}(A) = 4/7$ und ${\rm Pr}(B_{\nu})= {\rm Pr}(B) = 3/7$. Damit erhält man für die gesuchte Rückschlusswahrscheinlichkeit nach obiger Gleichung den Wert 5/9.

(5)  Entsprechend der Teilaufgabe (2) gilt mit ${p =1/2}$ für die Wahrscheinlichkeit von $A$ allgemein:

$${\rm Pr}(A) = \frac{1-q}{1.5 -q}.$$

Aus $ {\rm Pr}(A) = 2/3$ folgt somit $\underline{q =0}$.

(6)  Im Fall der statistischen Unabhängigkeit muss beispielsweise gelten:

$${{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)} = {{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)} = {{\rm Pr}(A)}.$$

Daraus folgt $p = {\rm Pr}(A) \hspace{0.15cm}\underline {= 2/3}$ und dementsprechend $q = 1-p \hspace{0.15cm}\underline {= 1/3}$.