Aufgaben:Aufgabe 1.6: Übergangswahrscheinlichkeiten: Unterschied zwischen den Versionen

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Rechts sehen Sie  $20$  Realisierungen einer binären homogenen Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen  $A$  und  $B$:  
 
Rechts sehen Sie  $20$  Realisierungen einer binären homogenen Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen  $A$  und  $B$:  
*Man erkennt bereits aus dieser Darstellung, dass zu Beginn  $(ν = 0)$  das Ereignis  $A$  überwiegt.  
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*Man erkennt bereits aus dieser Darstellung,  dass zu Beginn  $(ν = 0)$  das Ereignis  $A$  überwiegt.  
 
*Zu späteren Zeitpunkten – etwa ab  $ν = 4$  – tritt jedoch etwas häufiger das Ereignis  $B$  auf.
 
*Zu späteren Zeitpunkten – etwa ab  $ν = 4$  – tritt jedoch etwas häufiger das Ereignis  $B$  auf.
  
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:$${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0}) \approx 0.9, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}1}) \approx 0.15, \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) \approx 0.4.$$
 
:$${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0}) \approx 0.9, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}1}) \approx 0.15, \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) \approx 0.4.$$
  
Diese empirischen Zahlenwerte sollen herangezogen werden, um die Parameter (Übergangswahrscheinlichkeiten) der Markovkette (näherungsweise) zu ermitteln.
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Diese empirischen Zahlenwerte sollen herangezogen werden,  um die Parameter  (Übergangswahrscheinlichkeiten)  der Markovkette  (näherungsweise)  zu ermitteln.
  
  
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Hinweise:  
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Markovketten|Markovketten]].
 
   
 
   
*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet  [[Applets:Markovketten|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette 1. Ordnung]]  überprüfen.
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*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven SWF–Applet  [[Applets:Markovketten|Ereigniswahrscheinlichkeiten einer Markovkette erster Ordnung]]  überprüfen.
  
  
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{Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich zu den Zeiten&nbsp; $ν = 0$,&nbsp; $ν = 1$&nbsp; und&nbsp; $ν = 9$, wenn man nur die&nbsp; $20$&nbsp; dargestellten Realisierungen berücksichtigt?
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{Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich zu den Zeiten&nbsp; $ν = 0$,&nbsp; $ν = 1$&nbsp; und&nbsp; $ν = 9$, <br>wenn man nur die&nbsp; $20$&nbsp; dargestellten Realisierungen berücksichtigt?
 
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${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0}) \ = \ $  { 0.85 3% }
 
${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0}) \ = \ $  { 0.85 3% }
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- Die Folge &bdquo;$B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}\text{...}$&rdquo; ist nicht möglich.
 
- Die Folge &bdquo;$B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}\text{...}$&rdquo; ist nicht möglich.
  
{Berechnen Sie alle Übergangswahrscheinlichkeiten der Markovkette. Wie groß sind insbesondere&nbsp; ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)$?
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{Berechnen Sie alle Übergangswahrscheinlichkeiten der Markovkette.&nbsp; Wie groß sind insbesondere&nbsp; ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)$?
 
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${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \ = \ $ { 0.1 3% }
 
${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \ = \ $ { 0.1 3% }
 
${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ = \ $ { 0.4 3% }
 
${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ = \ $ { 0.4 3% }
  
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten zehn Elemente der Folge jeweils&nbsp; $B$&nbsp; sind?
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{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die ersten zehn Elemente der Folge jeweils&nbsp; $B$&nbsp; sind?
 
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${\rm Pr}(B_0, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} , B_9)\ = \ $ { 2.62 3% } $\ \cdot  10^{-5}$
 
${\rm Pr}(B_0, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} , B_9)\ = \ $ { 2.62 3% } $\ \cdot  10^{-5}$
  
  
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sehr lange nach Einschalten der Kette die Zeichenfolge&nbsp; &bdquo;$A\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}A$&rdquo;&nbsp; erzeugt wird?
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{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass sehr lange nach Einschalten der Kette die Zeichenfolge&nbsp; &bdquo;$A\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}A$&rdquo;&nbsp; erzeugt wird?
 
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${\rm Pr}(A\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}A)\ = \ $ { 8.64 3% } $\ \%$
 
${\rm Pr}(A\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}A)\ = \ $ { 8.64 3% } $\ \%$

Version vom 2. Dezember 2021, 15:05 Uhr

$20$  Realisierungen der betrachteten Markovkette

Rechts sehen Sie  $20$  Realisierungen einer binären homogenen Markovkette erster Ordnung mit den Ereignissen  $A$  und  $B$:

  • Man erkennt bereits aus dieser Darstellung,  dass zu Beginn  $(ν = 0)$  das Ereignis  $A$  überwiegt.
  • Zu späteren Zeitpunkten – etwa ab  $ν = 4$  – tritt jedoch etwas häufiger das Ereignis  $B$  auf.


Durch Mittelung über Millionen von Realisierungen wurden einige Ereigniswahrscheinlichkeiten numerisch ermittelt:

$${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0}) \approx 0.9, \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}1}) \approx 0.15, \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) \approx 0.4.$$

Diese empirischen Zahlenwerte sollen herangezogen werden,  um die Parameter  (Übergangswahrscheinlichkeiten)  der Markovkette  (näherungsweise)  zu ermitteln.




Hinweise:


Fragebogen

1

Welche Wahrscheinlichkeiten ergeben sich zu den Zeiten  $ν = 0$,  $ν = 1$  und  $ν = 9$,
wenn man nur die  $20$  dargestellten Realisierungen berücksichtigt?

${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}0}) \ = \ $

${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}1}) \ = \ $

${\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} = \hspace{0.05cm}9}) \ = \ $

2

Welche der Aussagen sind aufgrund der Musterfolgen zutreffend?

Nach  $A$  ist  $B$  wahrscheinlicher als  $A$.
Sowohl nach  $A$  als auch nach  $B$  kann wieder  $A$  oder  $B$  folgen.
Die Folge „$B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}\text{...}$” ist nicht möglich.

3

Berechnen Sie alle Übergangswahrscheinlichkeiten der Markovkette.  Wie groß sind insbesondere  ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$  und  ${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B)$?

${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) \ = \ $

${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ = \ $

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,  dass die ersten zehn Elemente der Folge jeweils  $B$  sind?

${\rm Pr}(B_0, \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} , B_9)\ = \ $

$\ \cdot 10^{-5}$

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,  dass sehr lange nach Einschalten der Kette die Zeichenfolge  „$A\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}A$”  erzeugt wird?

${\rm Pr}(A\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}A)\ = \ $

$\ \%$


Musterlösung

(1)  Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind:

$${\rm Pr}(A_{\nu=0}) = 17/20 \;\underline{= 0.85}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(A_{\nu=1}) = 2/20 \;\underline{= 0.10}, \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(A_{\nu=9}) = 8/20 \;\underline{= 0.40}.$$


(2)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

  • Nach  $A$  folgt  $B$  sehr viel häufiger als  $A$, das heißt, es wird sicher  ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A) > {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}A)$  sein.
  • Alle vier Übergänge zwischen den zwei Ereignissen  $A$  und  $B$  sind möglich.  Daraus folgt, dass alle vier Übergangswahrscheinlichkeiten ungleich Null sein werden.
  • Wegen  ${\rm Pr}(B_\text{v=0}) \ne 0$  und  ${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}B) \ne 0$  kann natürlich auch die Folge  „$B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm}B\hspace{-0.05cm}-\hspace{0.15cm}...$”  erzeugt werden, auch wenn diese bei den zwanzig hier ausgegebenen Markovketten nicht dabei ist.


(3)  Bei einer Markovkette erster Ordnung gilt mit den Abkürzungen  ${\rm Pr}(A_0) = {\rm Pr}(A_{\nu=0})$  und  ${\rm Pr}(A_1) = {\rm Pr}(A_{\nu=1})$:

$${\rm Pr}(A_1) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(A_0) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot {\rm Pr}(B_0).$$
  • Die ergodischen Wahrscheinlichkeiten sind  ${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(A_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) = 0.4$  und  ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(B_{\nu \hspace{0.05cm} > \hspace{0.05cm}4}) = 0.6$.  Zwischen diesen besteht folgender Zusammenhang:
$${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(A) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot {\rm Pr}(B).$$
  • Mit den angegebenen Zahlenwerten erhält man aus diesen letzten beiden Gleichungen:
$$0.15 = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot 0.90 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot 0.10 ,$$
$$0.40 = {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \cdot 0.40 \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} B) \cdot 0.60 .$$
  • Multipliziert man die erste Gleichung mit  $6$  und subtrahiert davon die zweite, so ergibt sich:
$$0.5 = 5 \cdot {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1}.$$
  • Setzt man dieses Ergebnis in eine der oberen Gleichungen ein, so erhält man  $ {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 0.6$. Die weiteren Wahrscheinlichkeiten sind:
$${\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) = 1 - {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) = 0.9, \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = 1 - {\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B)\ \underline{= 0.4}.$$


(4)  Dieser Fall ist nur dann möglich, wenn die Markovkette mit  $B$  beginnt und danach neunmal ein Übergang von  $B$  nach  $B$  stattfindet:

$${\rm Pr}(B_0,\hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}, B_{9}) = {\rm Pr}(B_0) \cdot {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)^9 = {\rm 0.1} \cdot {\rm 0.4}^9 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.62 \cdot 10^{-5}}. $$


(5)  Hier muss von der ergodischen Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(A)$  ausgegangen werden und man erhält:

$${\rm Pr}(A_{\nu}, \hspace{0.05cm}B_{\nu +1}, \hspace{0.05cm}B_{\nu +2},\hspace{0.05cm} A_{\nu +3}) = {\rm Pr}(A) \hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}{\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} A) \hspace{0.01cm}\cdot\hspace{0.01cm} {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)\hspace{0.01cm}\cdot \hspace{0.01cm}{\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} B)\hspace{0.15cm}\underline {\approx 8.64 \% }.$$