Aufgaben:Aufgabe 1.5Z: SPC (5, 4) vs. RC (5, 1): Unterschied zwischen den Versionen

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Zwischen dem ''Single Parity–check Code'' und dem ''Repetition Code'' gleicher Codelänge ''n'' besteht eine gewisse Verwandtschaft. Wie im Kapitel [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer
 
Zwischen dem ''Single Parity–check Code'' und dem ''Repetition Code'' gleicher Codelänge ''n'' besteht eine gewisse Verwandtschaft. Wie im Kapitel [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes|Allgemeine Beschreibung linearer
  Blockcodes]] noch gezeigt werden wird, handelt es sich um so genannte '''duale Codes'''.
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  Blockcodes]] noch gezeigt werden wird, handelt es sich um so genannte $\color{red}{\rm duale \ Codes}$.
  
 
*Der [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes|Single Parity–check Code]] mit $k = 4$ und $n = 5$ ⇒ SPC (5, 4) fügt zu den vier Informationsbits $u_{1}, ... , u_{4}$ ein Prüfbit ''p'' hinzu, so dass in jedem Codewort <u>''x''</u> eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:
 
*Der [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes|Single Parity–check Code]] mit $k = 4$ und $n = 5$ ⇒ SPC (5, 4) fügt zu den vier Informationsbits $u_{1}, ... , u_{4}$ ein Prüfbit ''p'' hinzu, so dass in jedem Codewort <u>''x''</u> eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:

Version vom 1. Dezember 2017, 14:03 Uhr

Single Parity–check Code und Wiederholungscode mit n = 5

Zwischen dem Single Parity–check Code und dem Repetition Code gleicher Codelänge n besteht eine gewisse Verwandtschaft. Wie im Kapitel Allgemeine Beschreibung linearer Blockcodes noch gezeigt werden wird, handelt es sich um so genannte $\color{red}{\rm duale \ Codes}$.

  • Der Single Parity–check Code mit $k = 4$ und $n = 5$ ⇒ SPC (5, 4) fügt zu den vier Informationsbits $u_{1}, ... , u_{4}$ ein Prüfbit p hinzu, so dass in jedem Codewort x eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:
$$x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} u_1 \oplus u_2 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p = 0 \hspace{0.05cm}.$$
  • Ein jeder Wiederholungscode(englisch: Repetition Code) ist durch den Codeparameter $k = 1$ charakterisiert. Beim RC (5, 1) lauten die beiden Codeworte (0, 0, 0, 0, 0) und (1, 1, 1, 1, 1).

Die Grafik zeigt die Grundstruktur dieser beiden Codes, die in dieser Aufgabe miteinander verglichen werden sollen.

Hinweis :

Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Beispiele binärer Blockcodes des vorliegenden Buches.

Fragebogen

1

Wie unterscheiden sich SPC (5, 4) und RC (5, 1) hinsichtlich Codeumfang?

$\ {\rm SPC} (5, 4): |C|$ =

$\ {\rm SPC} (5, 4): |C|$ =

2

Welche der folgenden Codeworte sind beim SPC (5, 4) möglich?

(0, 0, 0, 0, 0),
(0, 0, 1, 0, 0),
(1, 1, 0, 1, 1),
(1, 1, 1, 1, 1).

3

Welche der folgenden Codeworte sind beim RC (5, 1) möglich?

(0, 0, 0, 0, 0),
(0, 0, 1, 0, 0),
(1, 1, 0, 1, 1),
(1, 1, 1, 1, 1).

4

Wieviele Codefolgen (N) müssen in die ML–Entscheidung einbezogen werden?

$\ {\rm SPC} (5, 4): N$ =

$\ {\rm RC} (5, 1): N$=

5

Wie groß ist die minimale Distanz beider Codes?

$\ {\rm SPC} (5, 4): d_{\rm min} $ =

$\ {\rm RC} (5, 1): d_{\rm min} $ =

6

Bis zu wievielen Bitfehlern (e) funktioniert die Fehlererkennung?

$\ {\rm SPC} (5, 4): e$ =

$\ {\rm RC} (5, 1): e$ =

7

Bis zu wievielen Bitfehlern (t) funktioniert die Fehlerkorrektur?

$\ {\rm SPC} (5, 4): t$ =

$\ {\rm RC} (5, 1): t$ =


Musterlösung

(1)  Der Codeumfang gibt die Anzahl der möglichen Codeworte an. Es gilt $|C| = 2^k$, so dass es beim hier betrachteten Single Parity–check Code 16 Codeworte gibt ($k = 4$) und beim Wiederholungscode nur zwei Codeworte ($k = 1$).

(2)  Bei jedem Single Parity–check Code ist die Anzahl der Einsen geradzahlig ⇒ Antwort 1 und 3.

(3)  Bei einem jeden Wiederholungscode gibt es (unabhängig von n) nur zwei Codeworte, die beide hier angegeben sind ⇒ Antwort 1 und 4.

(4)  Aufgrund von Bitfehlern kann es für den Empfangsvektor y stets $N = 2^n \underline{= 32}$ unterschiedliche Bitkombinationen geben, die alle in die ML–Entscheidung einbezogen werden müssen. Dies gilt sowohl für den SPC (5, 4) als auch für den RC (5, 1).


(5)  Beim SPC (5, 4) beträgt die Hamming–Distanz zwischen zwei beliebigen Codeworten mindestens $d_{\rm min} \underline{= 2}$. Dagegen sind beim RC (5, 1) alle Bit der beiden Codeworte unterschiedlich ⇒ $d_{\rm min} \underline{= 5}$.

(6)  Eine Fehlererkennung ist möglich, so lange nicht mehr als $e = d_{\rm min} – 1$ Bitfehler in einem Codewort auftreten. Mit dem Ergebnis aus 5) erhält man $\underline{e = 1}$ (SPC) bzw. $\underline{e = 4}$ (RC).

(7)  Allgemein gilt für die Anzahl der korrigierbaren Fehler:

$$t = \left\lfloor \frac{d_{\rm min}-1}{2} \right\rfloor \hspace{0.05cm}.$$

Bei jedem Single Parity–check Code ist ($d_{\rm min} – 1)/2 = 0.5 ⇒ \underline{t = 0}$. Dagegen können mit dem RC (5, 1) ⇒ $d_{\rm min} = 5$ bis zu $\underline{t = 2}$ Fehler korrigiert werden.