Aufgaben:Aufgabe 1.5Z: Ausfallwahrscheinlichkeiten: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
K (Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “)
 
(6 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 2: Zeile 2:
 
{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit}}
 
{{quiz-Header|Buchseite=Stochastische Signaltheorie/Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit}}
  
[[Datei:P_ID87__Sto_Z_1_5.png|right|Funktionsschaltbild des Gerätes]]
+
[[Datei:P_ID87__Sto_Z_1_5.png|right|frame|Geräte–Funktionsschaltbild]]
  
  
Ein Geräteteil ist aus den Bauteilen $B_1, B_2, , B_n$ aufgebaut, wobei die jeweilige Funktionsfähigkeit unabhängig von allen anderen Bauteilen angenommen werden kann.
+
Ein Geräteteil ist aus den Bauteilen  $B_1, \ B_2,\ \text{...} \ , B_n$  aufgebaut,  wobei die jeweilige Funktionsfähigkeit unabhängig von allen anderen Bauteilen angenommen werden kann.
*Das Teil $T_1$ funktioniert nur dann, wenn alle $n$ Bauteile funktionsfähig sind.  
+
*Gehen Sie davon aus,  dass alle Bauteile mit gleicher Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm A}$  ausfallen.
*Gehen Sie davon aus, dass alle Bauteile mit gleicher Wahrscheinlichkeit $p_{\rm A}$ ausfallen.
+
*Das Teil  $T_1$  funktioniert nur dann,  wenn alle  $n$  Bauteile funktionsfähig sind.
  
  
Zur Erhöhung der Zuverlässigkeit werden wichtige Baugruppen häufig dupliziert. Das Gerät $G$ kann somit mengentheoretisch wie folgt beschrieben werden:
+
Zur Erhöhung der Zuverlässigkeit werden wichtige Baugruppen häufig dupliziert.  Das Gerät  $G$  kann somit mengentheoretisch wie folgt beschrieben werden:
$$ G = T_1 \cup T_2.$$
+
:$$ G = T_1 \cup T_2.$$
  
Das heißt: Das Gerät $G$ ist bereits dann einsatzbereit, wenn zumindest eines der beiden baugleichen Teilgeräte ($T_1$ oder $T_2$) funktionsfähig ist.
+
Das heißt:   Das Gerät  $G$  ist bereits dann einsatzbereit, wenn zumindest eines der beiden baugleichen Teilgeräte  $(T_1$  oder  $T_2)$  funktionsfähig ist.
  
  
''Hinweise:''
+
 
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
+
 
 +
 
 +
Hinweise:  
 +
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
 
   
 
   
*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das nachfolgende Lernvideo:
+
*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo 
:[[Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]]
+
::[[Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit_(Lernvideo)|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
  
  
Zeile 26: Zeile 29:
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Die Ausfallwahrscheinlichkeit $p_{\rm G}$ des Gesamtgeräts darf nicht größer sein als 0.04%. Wie groß dürfen dann die Ausfallwahrscheinlichkeiten $p_{\rm T}$ der zwei parallel vorhandenen identischen Geräteteile höchstens sein?
+
{Die Ausfallwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm G}$&nbsp; des Gesamtgeräts darf nicht größer sein als&nbsp; $0.04\%$. <br>Wie groß dürfen dann die Ausfallwahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm T}$&nbsp; der zwei parallel vorhandenen identischen Geräteteile höchstens sein?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$p_\text{T, max} \ = $ { 2 3% } $ \ \%$
+
$p_\text{T, max} \ = \ $ { 2 3% } $ \ \%$
  
{Die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile sei $p_{\rm A} = 0.1$. Jedes Teilgerät bestehe aus $n = 3$ Bauteilen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit $p_{\rm T}$ exakt, dass ein Teilgerät ausfällt.
+
{Die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile sei&nbsp; $\underline{p_{\rm A} = 0.1}$.&nbsp; Jedes Teilgerät bestehe aus&nbsp; $n = 3$&nbsp; Bauteilen. <br>Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm T}$&nbsp; exakt, dass ein Teilgerät ausfällt.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\text{exakt:  }p_{\rm T} \ = $ { 27.1 3% } $ \ \%$
+
$p_{\rm T} \ = \ $ { 27.1 3% } $ \ \%$
  
{Welcher Wert ergibt sich für $p_{\rm A} = 0.01$? In welcher Form kann man $p_{\rm T}$ für kleine Werte von $p_{\rm A}$ annähern?
+
{Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $\underline{p_{\rm A} = 0.01}$?&nbsp; In welcher Form kann man&nbsp; $p_{\rm T}$&nbsp; für kleine Werte von&nbsp; $p_{\rm A}$&nbsp; annähern?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\text{Näherung:  }p_{\rm T} \ = $ { 2.97 3% } $ \ \%$
+
$p_{\rm T} \ = \ $ { 2.97 3% } $ \ \%$
  
{Nun gelte für die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile $p_{\rm A} = 0.4\%$. Wieviele Bauteile kann das Teilgerät höchstens enthalten, wenn $p_{\rm T} ≤ 2\%$ gelten soll?
+
{Nun gelte für die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile&nbsp; $p_{\rm A} = 0.4\%$.&nbsp; Wieviele Bauteile kann das Teilgerät höchstens enthalten,&nbsp; wenn&nbsp; $p_{\rm T} ≤ 2\%$&nbsp; gelten soll?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$n \ = $  { 5 3% }
+
$n \ = \ $  { 5 3% }
  
  
Zeile 47: Zeile 50:
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Da die beiden Teilger&auml;te unabh&auml;ngig voneinander ausfallen, gilt mengentheoretisch:  
+
'''(1)'''&nbsp; Da die beiden Teilger&auml;te unabh&auml;ngig voneinander ausfallen,&nbsp; gilt mengentheoretisch:  
:$$\rm Pr(\it G \rm \hspace{0.1cm}f\ddot{a}llt\hspace{0.1cm}aus) = Pr(\it T_{\rm 1}\rm \hspace{0.1cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.1cm}aus) \cdot Pr(\it T_{\rm 2}\rm \hspace{0.1cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.1cm}aus). $$
+
:$$\rm Pr(\it G \rm \hspace{0.15cm}f\ddot{a}llt\hspace{0.15cm}aus) = Pr(\it T_{\rm 1}\rm \hspace{0.15cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.15cm}aus) \cdot Pr(\it T_{\rm 2}\rm \hspace{0.15cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.15cm}aus). $$
:Da die Teilgeräte $T_1$  und $T_2$ baugleich sind, fallen sie mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $p_{\rm T}$ aus. Daraus folgt:
+
*Da die Teilgeräte&nbsp; $T_1$&nbsp; und&nbsp; $T_2$&nbsp; zudem baugleich sind,&nbsp; fallen sie mit der gleichen Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm T}$&nbsp; aus.&nbsp; Daraus folgt:
 
:$$p_{\rm G} = \it p_{\rm T}^{\rm 2} \hspace{0.5cm} \rm bzw. \hspace{0.5cm} \rm \it p_{\rm T,\hspace{0.1cm}max}= \sqrt{\it p_{\rm G}}  \le \rm\sqrt{0.0004} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\%}.$$
 
:$$p_{\rm G} = \it p_{\rm T}^{\rm 2} \hspace{0.5cm} \rm bzw. \hspace{0.5cm} \rm \it p_{\rm T,\hspace{0.1cm}max}= \sqrt{\it p_{\rm G}}  \le \rm\sqrt{0.0004} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\%}.$$
 +
  
 
'''(2)'''&nbsp; Dieses Ergebnis ist einfacher &uuml;ber das Komplement&auml;rereignis zu bestimmen:  
 
'''(2)'''&nbsp; Dieses Ergebnis ist einfacher &uuml;ber das Komplement&auml;rereignis zu bestimmen:  
 
:$$\rm Pr(\it T_{\rm 1}\hspace{0.1cm}\rm funktioniert) = \rm Pr(\it B_{\rm 1} \hspace{0.1cm}\rm funktioniert \cap \it B_{\rm 2} \hspace{0.1cm} \rm funktioniert \cap \it B_{\rm 3}\hspace{0.1cm} \rm funktioniert).$$
 
:$$\rm Pr(\it T_{\rm 1}\hspace{0.1cm}\rm funktioniert) = \rm Pr(\it B_{\rm 1} \hspace{0.1cm}\rm funktioniert \cap \it B_{\rm 2} \hspace{0.1cm} \rm funktioniert \cap \it B_{\rm 3}\hspace{0.1cm} \rm funktioniert).$$
:$$\Rightarrow 1- p_{\rm T}= (1-p_{\rm A})^{3} \hspace{0.3cm}\rm \Rightarrow  \hspace{0.3cm}
+
:$$\Rightarrow 1- p_{\rm T}= (1-p_{\rm A})^{3} \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm}
1-p_{\rm T}=(0.9)^3= 0.729 \hspace{0.3cm}\rm \Rightarrow  \hspace{0.3cm} p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.271 = 27.1\%}.$$
+
1-p_{\rm T}=(0.9)^3= 0.729 \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm} p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.271 = 27.1\%}.$$
 +
 
 +
 
 +
'''(3)'''&nbsp; Mit&nbsp; $p_{\rm A} = 0.01$&nbsp; erh&auml;lt man&nbsp; $p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.97\%}.$
 +
*Allgemein gilt die N&auml;herung:&nbsp; $p_{\rm T} \approx n \cdot p_{\rm A}\; (= 3\%)$.
 +
 
  
'''(3)'''&nbsp; Mit $p_{\rm A} = 0.01$ erh&auml;lt man $p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.97\%}.$ Allgemein gilt die N&auml;herung: $p_{\rm T} \approx n \cdot p_{\rm A}\; (= 3\%)$.
 
  
'''(4)'''&nbsp; Mit der N&auml;herung der letzten Teilaufgabe folgt direkt $\underline{n = 5}$. Bei gr&ouml;&szlig;erem $p_{\rm A}$ m&uuml;sste man wie folgt vorgehen:
+
'''(4)'''&nbsp; Mit der N&auml;herung der letzten Teilaufgabe folgt direkt&nbsp; $\underline{n = 5}$.&nbsp; Bei gr&ouml;&szlig;erem&nbsp; $p_{\rm A}$&nbsp; m&uuml;sste man wie folgt vorgehen:
$$0.996^{\it n}\ge 0.98 \hspace{0.5cm} \rm\Rightarrow \hspace{0.5cm} \it n\le\rm\frac{log(0.98)}{log(0.996)} = 5.0406\hspace{0.15cm}\underline { \approx 5}.$$
+
:$$0.996^{\it n}\ge 0.98 \hspace{0.5cm} \rm\Rightarrow \hspace{0.5cm} \it n\le\rm\frac{log(0.98)}{log(0.996)} = 5.0406\hspace{0.15cm}\underline { \approx 5}.$$
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Aktuelle Version vom 1. Dezember 2021, 13:34 Uhr

Geräte–Funktionsschaltbild


Ein Geräteteil ist aus den Bauteilen  $B_1, \ B_2,\ \text{...} \ , B_n$  aufgebaut,  wobei die jeweilige Funktionsfähigkeit unabhängig von allen anderen Bauteilen angenommen werden kann.

  • Gehen Sie davon aus,  dass alle Bauteile mit gleicher Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm A}$  ausfallen.
  • Das Teil  $T_1$  funktioniert nur dann,  wenn alle  $n$  Bauteile funktionsfähig sind.


Zur Erhöhung der Zuverlässigkeit werden wichtige Baugruppen häufig dupliziert.  Das Gerät  $G$  kann somit mengentheoretisch wie folgt beschrieben werden:

$$ G = T_1 \cup T_2.$$

Das heißt:   Das Gerät  $G$  ist bereits dann einsatzbereit, wenn zumindest eines der beiden baugleichen Teilgeräte  $(T_1$  oder  $T_2)$  funktionsfähig ist.



Hinweise:

  • Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo 
Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.


Fragebogen

1

Die Ausfallwahrscheinlichkeit  $p_{\rm G}$  des Gesamtgeräts darf nicht größer sein als  $0.04\%$.
Wie groß dürfen dann die Ausfallwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm T}$  der zwei parallel vorhandenen identischen Geräteteile höchstens sein?

$p_\text{T, max} \ = \ $

$ \ \%$

2

Die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile sei  $\underline{p_{\rm A} = 0.1}$.  Jedes Teilgerät bestehe aus  $n = 3$  Bauteilen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm T}$  exakt, dass ein Teilgerät ausfällt.

$p_{\rm T} \ = \ $

$ \ \%$

3

Welcher Wert ergibt sich für  $\underline{p_{\rm A} = 0.01}$?  In welcher Form kann man  $p_{\rm T}$  für kleine Werte von  $p_{\rm A}$  annähern?

$p_{\rm T} \ = \ $

$ \ \%$

4

Nun gelte für die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile  $p_{\rm A} = 0.4\%$.  Wieviele Bauteile kann das Teilgerät höchstens enthalten,  wenn  $p_{\rm T} ≤ 2\%$  gelten soll?

$n \ = \ $


Musterlösung

(1)  Da die beiden Teilgeräte unabhängig voneinander ausfallen,  gilt mengentheoretisch:

$$\rm Pr(\it G \rm \hspace{0.15cm}f\ddot{a}llt\hspace{0.15cm}aus) = Pr(\it T_{\rm 1}\rm \hspace{0.15cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.15cm}aus) \cdot Pr(\it T_{\rm 2}\rm \hspace{0.15cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.15cm}aus). $$
  • Da die Teilgeräte  $T_1$  und  $T_2$  zudem baugleich sind,  fallen sie mit der gleichen Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm T}$  aus.  Daraus folgt:
$$p_{\rm G} = \it p_{\rm T}^{\rm 2} \hspace{0.5cm} \rm bzw. \hspace{0.5cm} \rm \it p_{\rm T,\hspace{0.1cm}max}= \sqrt{\it p_{\rm G}} \le \rm\sqrt{0.0004} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\%}.$$


(2)  Dieses Ergebnis ist einfacher über das Komplementärereignis zu bestimmen:

$$\rm Pr(\it T_{\rm 1}\hspace{0.1cm}\rm funktioniert) = \rm Pr(\it B_{\rm 1} \hspace{0.1cm}\rm funktioniert \cap \it B_{\rm 2} \hspace{0.1cm} \rm funktioniert \cap \it B_{\rm 3}\hspace{0.1cm} \rm funktioniert).$$
$$\Rightarrow 1- p_{\rm T}= (1-p_{\rm A})^{3} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 1-p_{\rm T}=(0.9)^3= 0.729 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.271 = 27.1\%}.$$


(3)  Mit  $p_{\rm A} = 0.01$  erhält man  $p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.97\%}.$

  • Allgemein gilt die Näherung:  $p_{\rm T} \approx n \cdot p_{\rm A}\; (= 3\%)$.


(4)  Mit der Näherung der letzten Teilaufgabe folgt direkt  $\underline{n = 5}$.  Bei größerem  $p_{\rm A}$  müsste man wie folgt vorgehen:

$$0.996^{\it n}\ge 0.98 \hspace{0.5cm} \rm\Rightarrow \hspace{0.5cm} \it n\le\rm\frac{log(0.98)}{log(0.996)} = 5.0406\hspace{0.15cm}\underline { \approx 5}.$$