Aufgaben:Aufgabe 1.5Z: Ausfallwahrscheinlichkeiten: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein Geräteteil ist aus den Bauteilen $B_1, B_2, , B_n$ aufgebaut, wobei die jeweilige Funktionsfähigkeit unabhängig von allen anderen Bauteilen angenommen werden kann.
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Ein Geräteteil ist aus den Bauteilen  $B_1, \ B_2,\ \text{...} \ , B_n$  aufgebaut, wobei die jeweilige Funktionsfähigkeit unabhängig von allen anderen Bauteilen angenommen werden kann.
*Gehen Sie davon aus, dass alle Bauteile mit gleicher Wahrscheinlichkeit $p_{\rm A}$ ausfallen.  
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*Gehen Sie davon aus, dass alle Bauteile mit gleicher Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm A}$  ausfallen.  
*Das Teil $T_1$ funktioniert nur dann, wenn alle $n$ Bauteile funktionsfähig sind.
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*Das Teil  $T_1$  funktioniert nur dann, wenn alle  $n$  Bauteile funktionsfähig sind.
  
  
Zur Erhöhung der Zuverlässigkeit werden wichtige Baugruppen häufig dupliziert. Das Gerät $G$ kann somit mengentheoretisch wie folgt beschrieben werden:
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Zur Erhöhung der Zuverlässigkeit werden wichtige Baugruppen häufig dupliziert. Das Gerät  $G$  kann somit mengentheoretisch wie folgt beschrieben werden:
$$ G = T_1 \cup T_2.$$
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:$$ G = T_1 \cup T_2.$$
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Das heißt:   Das Gerät  $G$  ist bereits dann einsatzbereit, wenn zumindest eines der beiden baugleichen Teilgeräte  $(T_1$  oder  $T_2)$  funktionsfähig ist.
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Das heißt:   Das Gerät $G$ ist bereits dann einsatzbereit, wenn zumindest eines der beiden baugleichen Teilgeräte ($T_1$ oder $T_2$) funktionsfähig ist.
 
  
  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abhängigkeit_und_Unabhängigkeit|Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit]].
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*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo
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*Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo 
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{Die Ausfallwahrscheinlichkeit $p_{\rm G}$ des Gesamtgeräts darf nicht größer sein als $0.04\%$. <br>Wie groß dürfen dann die Ausfallwahrscheinlichkeiten $p_{\rm T}$ der zwei parallel vorhandenen identischen Geräteteile höchstens sein?
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{Die Ausfallwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm G}$&nbsp; des Gesamtgeräts darf nicht größer sein als&nbsp; $0.04\%$. <br>Wie groß dürfen dann die Ausfallwahrscheinlichkeiten&nbsp; $p_{\rm T}$&nbsp; der zwei parallel vorhandenen identischen Geräteteile höchstens sein?
 
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$p_\text{T, max} \ = \ $ { 2 3% } $ \ \%$
 
$p_\text{T, max} \ = \ $ { 2 3% } $ \ \%$
  
{Die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile sei $\underline{p_{\rm A} = 0.1}$. Jedes Teilgerät bestehe aus $n = 3$ Bauteilen. <br>Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit $p_{\rm T}$ exakt, dass ein Teilgerät ausfällt.
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{Die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile sei&nbsp; $\underline{p_{\rm A} = 0.1}$.&nbsp; Jedes Teilgerät bestehe aus&nbsp; $n = 3$&nbsp; Bauteilen. <br>Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm T}$&nbsp; exakt, dass ein Teilgerät ausfällt.
 
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$p_{\rm T} \ = \ $ { 27.1 3% } $ \ \%$
 
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{Welcher Wert ergibt sich für $\underline{p_{\rm A} = 0.01}$? In welcher Form kann man $p_{\rm T}$ für kleine Werte von $p_{\rm A}$ annähern?
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{Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $\underline{p_{\rm A} = 0.01}$?&nbsp; In welcher Form kann man&nbsp; $p_{\rm T}$&nbsp; für kleine Werte von&nbsp; $p_{\rm A}$&nbsp; annähern?
 
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$p_{\rm T} \ = \ $ { 2.97 3% } $ \ \%$
 
$p_{\rm T} \ = \ $ { 2.97 3% } $ \ \%$
  
{Nun gelte für die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile $p_{\rm A} = 0.4\%$. Wieviele Bauteile kann das Teilgerät höchstens enthalten, wenn $p_{\rm T} ≤ 2\%$ gelten soll?
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{Nun gelte für die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile&nbsp; $p_{\rm A} = 0.4\%$.&nbsp; Wieviele Bauteile kann das Teilgerät höchstens enthalten, wenn&nbsp; $p_{\rm T} ≤ 2\%$&nbsp; gelten soll?
 
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$n \ = \ $  { 5 3% }
 
$n \ = \ $  { 5 3% }
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'''(1)'''&nbsp; Da die beiden Teilger&auml;te unabh&auml;ngig voneinander ausfallen, gilt mengentheoretisch:  
 
'''(1)'''&nbsp; Da die beiden Teilger&auml;te unabh&auml;ngig voneinander ausfallen, gilt mengentheoretisch:  
 
:$$\rm Pr(\it G \rm \hspace{0.1cm}f\ddot{a}llt\hspace{0.1cm}aus) = Pr(\it T_{\rm 1}\rm \hspace{0.1cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.1cm}aus) \cdot Pr(\it T_{\rm 2}\rm \hspace{0.1cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.1cm}aus). $$
 
:$$\rm Pr(\it G \rm \hspace{0.1cm}f\ddot{a}llt\hspace{0.1cm}aus) = Pr(\it T_{\rm 1}\rm \hspace{0.1cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.1cm}aus) \cdot Pr(\it T_{\rm 2}\rm \hspace{0.1cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.1cm}aus). $$
Da die Teilgeräte $T_1$  und $T_2$ zudem baugleich sind, fallen sie mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $p_{\rm T}$ aus. Daraus folgt:
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*Da die Teilgeräte&nbsp; $T_1$&nbsp; und&nbsp; $T_2$&nbsp; zudem baugleich sind, fallen sie mit der gleichen Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm T}$&nbsp; aus. Daraus folgt:
 
:$$p_{\rm G} = \it p_{\rm T}^{\rm 2} \hspace{0.5cm} \rm bzw. \hspace{0.5cm} \rm \it p_{\rm T,\hspace{0.1cm}max}= \sqrt{\it p_{\rm G}}  \le \rm\sqrt{0.0004} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\%}.$$
 
:$$p_{\rm G} = \it p_{\rm T}^{\rm 2} \hspace{0.5cm} \rm bzw. \hspace{0.5cm} \rm \it p_{\rm T,\hspace{0.1cm}max}= \sqrt{\it p_{\rm G}}  \le \rm\sqrt{0.0004} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\%}.$$
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'''(3)'''&nbsp; Mit $p_{\rm A} = 0.01$ erh&auml;lt man $p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.97\%}.$ Allgemein gilt die N&auml;herung: $p_{\rm T} \approx n \cdot p_{\rm A}\; (= 3\%)$.
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'''(3)'''&nbsp; Mit&nbsp; $p_{\rm A} = 0.01$&nbsp; erh&auml;lt man&nbsp; $p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.97\%}.$  
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*Allgemein gilt die N&auml;herung:&nbsp; $p_{\rm T} \approx n \cdot p_{\rm A}\; (= 3\%)$.
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'''(4)'''&nbsp; Mit der N&auml;herung der letzten Teilaufgabe folgt direkt $\underline{n = 5}$. Bei gr&ouml;&szlig;erem $p_{\rm A}$ m&uuml;sste man wie folgt vorgehen:
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'''(4)'''&nbsp; Mit der N&auml;herung der letzten Teilaufgabe folgt direkt&nbsp; $\underline{n = 5}$.  
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*Bei gr&ouml;&szlig;erem&nbsp; $p_{\rm A}$&nbsp; m&uuml;sste man wie folgt vorgehen:
 
:$$0.996^{\it n}\ge 0.98 \hspace{0.5cm} \rm\Rightarrow \hspace{0.5cm} \it n\le\rm\frac{log(0.98)}{log(0.996)} = 5.0406\hspace{0.15cm}\underline { \approx 5}.$$
 
:$$0.996^{\it n}\ge 0.98 \hspace{0.5cm} \rm\Rightarrow \hspace{0.5cm} \it n\le\rm\frac{log(0.98)}{log(0.996)} = 5.0406\hspace{0.15cm}\underline { \approx 5}.$$
 
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Aktuelle Version vom 9. November 2019, 17:41 Uhr

Geräte–Funktionsschaltbild


Ein Geräteteil ist aus den Bauteilen  $B_1, \ B_2,\ \text{...} \ , B_n$  aufgebaut, wobei die jeweilige Funktionsfähigkeit unabhängig von allen anderen Bauteilen angenommen werden kann.

  • Gehen Sie davon aus, dass alle Bauteile mit gleicher Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm A}$  ausfallen.
  • Das Teil  $T_1$  funktioniert nur dann, wenn alle  $n$  Bauteile funktionsfähig sind.


Zur Erhöhung der Zuverlässigkeit werden wichtige Baugruppen häufig dupliziert. Das Gerät  $G$  kann somit mengentheoretisch wie folgt beschrieben werden:

$$ G = T_1 \cup T_2.$$

Das heißt:   Das Gerät  $G$  ist bereits dann einsatzbereit, wenn zumindest eines der beiden baugleichen Teilgeräte  $(T_1$  oder  $T_2)$  funktionsfähig ist.




Hinweise:

  • Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo 
Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.


Fragebogen

1

Die Ausfallwahrscheinlichkeit  $p_{\rm G}$  des Gesamtgeräts darf nicht größer sein als  $0.04\%$.
Wie groß dürfen dann die Ausfallwahrscheinlichkeiten  $p_{\rm T}$  der zwei parallel vorhandenen identischen Geräteteile höchstens sein?

$p_\text{T, max} \ = \ $

$ \ \%$

2

Die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile sei  $\underline{p_{\rm A} = 0.1}$.  Jedes Teilgerät bestehe aus  $n = 3$  Bauteilen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm T}$  exakt, dass ein Teilgerät ausfällt.

$p_{\rm T} \ = \ $

$ \ \%$

3

Welcher Wert ergibt sich für  $\underline{p_{\rm A} = 0.01}$?  In welcher Form kann man  $p_{\rm T}$  für kleine Werte von  $p_{\rm A}$  annähern?

$p_{\rm T} \ = \ $

$ \ \%$

4

Nun gelte für die Ausfallwahrscheinlichkeit aller Bauteile  $p_{\rm A} = 0.4\%$.  Wieviele Bauteile kann das Teilgerät höchstens enthalten, wenn  $p_{\rm T} ≤ 2\%$  gelten soll?

$n \ = \ $


Musterlösung

(1)  Da die beiden Teilgeräte unabhängig voneinander ausfallen, gilt mengentheoretisch:

$$\rm Pr(\it G \rm \hspace{0.1cm}f\ddot{a}llt\hspace{0.1cm}aus) = Pr(\it T_{\rm 1}\rm \hspace{0.1cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.1cm}aus) \cdot Pr(\it T_{\rm 2}\rm \hspace{0.1cm} f\ddot{a}llt \hspace{0.1cm}aus). $$
  • Da die Teilgeräte  $T_1$  und  $T_2$  zudem baugleich sind, fallen sie mit der gleichen Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm T}$  aus. Daraus folgt:
$$p_{\rm G} = \it p_{\rm T}^{\rm 2} \hspace{0.5cm} \rm bzw. \hspace{0.5cm} \rm \it p_{\rm T,\hspace{0.1cm}max}= \sqrt{\it p_{\rm G}} \le \rm\sqrt{0.0004} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\%}.$$


(2)  Dieses Ergebnis ist einfacher über das Komplementärereignis zu bestimmen:

$$\rm Pr(\it T_{\rm 1}\hspace{0.1cm}\rm funktioniert) = \rm Pr(\it B_{\rm 1} \hspace{0.1cm}\rm funktioniert \cap \it B_{\rm 2} \hspace{0.1cm} \rm funktioniert \cap \it B_{\rm 3}\hspace{0.1cm} \rm funktioniert).$$
$$\Rightarrow 1- p_{\rm T}= (1-p_{\rm A})^{3} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 1-p_{\rm T}=(0.9)^3= 0.729 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 0.271 = 27.1\%}.$$


(3)  Mit  $p_{\rm A} = 0.01$  erhält man  $p_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline {= 2.97\%}.$

  • Allgemein gilt die Näherung:  $p_{\rm T} \approx n \cdot p_{\rm A}\; (= 3\%)$.



(4)  Mit der Näherung der letzten Teilaufgabe folgt direkt  $\underline{n = 5}$.

  • Bei größerem  $p_{\rm A}$  müsste man wie folgt vorgehen:
$$0.996^{\it n}\ge 0.98 \hspace{0.5cm} \rm\Rightarrow \hspace{0.5cm} \it n\le\rm\frac{log(0.98)}{log(0.996)} = 5.0406\hspace{0.15cm}\underline { \approx 5}.$$