Aufgaben:Aufgabe 1.5: SPC (5, 4) und BEC–Modell: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID2385__KC_A_1_5_neu.png|right|frame|Mögliche Codeworte des (5, 4) SPC]]
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[[Datei:P_ID2385__KC_A_1_5_neu.png|right|frame|Codeworte des  $\rm SPC \ (5, 4)$]]
  
 
Für diese Aufgabe wird vorausgesetzt:
 
Für diese Aufgabe wird vorausgesetzt:
  
*Der [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes|Single Parity–check Code]] mit $k = 4$ und $n = 5$ ⇒ SPC (5, 4) fügt zu den Informationsbits $u_{1}, ... , u_{4}$ ein Prüfbit p hinzu, so dass in jedem Codewort <u>''x''</u> eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:
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*Der&nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes|Single Parity–check Code]] mit den Parametern&nbsp; $k = 4$&nbsp; und&nbsp; $n = 5$&nbsp; &nbsp; &nbsp; $\rm SPC \ (5, 4)$&nbsp; fügt zu den Informationsbits&nbsp; $u_{1}$, ... ,&nbsp; $u_{4}$&nbsp; ein Prüfbit&nbsp; $p$&nbsp; hinzu, so dass in jedem Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:
 
:$$x_1  \oplus  x_2  \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.05cm},$$
 
:$$x_1  \oplus  x_2  \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.05cm},$$
 
:$$ u_1  \oplus  u_2  \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p = 0 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$ u_1  \oplus  u_2  \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p = 0 \hspace{0.05cm}.$$
  
*Der [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|Binary Erasure Channel]] (BEC) – mit binären Eingangswerten $x_{i} \in {0, 1}$ und ternärem Ausgang $y_{i} \in$ {0, 1, E} führt mit Wahrscheinlichkeit $\lambda = 0.1$ zu einer Auslöschung (englisch: ''Erasure''), abgekürzt mit „E”. Weiterhin gilt Pr$(y_{i} = x_{i}) = 1 \lambda = 0.9$. Ein echter Übertragungsfehler wird ausgeschlossen:
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*Der&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|Binary Erasure Channel]]&nbsp; (BEC) – mit binären Eingangswerten&nbsp; $x_{i} \in \{0, \ 1\}$&nbsp; und ternärem Ausgang&nbsp; $y_{i} \in \{0, 1, \rm E\}$&nbsp; führt mit Wahrscheinlichkeit&nbsp; $\lambda = 0.1$&nbsp; zu einer Auslöschung (englisch: &nbsp; ''Erasure''), abgekürzt mit&nbsp; $\rm E$.  
:$$ {\rm Pr} [(x_i = 0)\cap (y_i = 1)] = {\rm Pr} [(x_i = 1)\cap (y_i = 0)] = 0\hspace{0.05cm}.$$
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*Weiterhin gilt&nbsp; ${\rm Pr}(y_{i} = x_{i}) = 1 - \lambda = 0.9$. Ein echter Übertragungsfehler wird ausgeschlossen:
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:$$ {\rm Pr} \big[(x_i = 0)\cap (y_i = 1)\big] = {\rm Pr} \big[(x_i = 1)\cap (y_i = 0)\big] = 0\hspace{0.05cm}.$$
  
Der Zusammenhang zwischen dem Informationswort <u>''u''</u> und dem Codewort <u>''x''</u> ist durch die obige Tabelle gegeben. Aus dem Empfangswort <u>''y''</u> wird durch Maximum–Likelihood–Entscheidung der Vektor $\underline{\upsilon}$ der Informationsbits an der Sinke gebildet, der möglichst mit dem Informationswort <u>''u''</u> übereinstimmen sollte. Es gelte die folgende Nomenklatur:
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Der Zusammenhang zwischen dem Informationswort&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und dem Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; ist durch die Tabelle gegeben. Aus dem Empfangswort&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; wird durch Maximum–Likelihood–Entscheidung der Vektor&nbsp; $\underline{v}$&nbsp; der Informationsbits an der Sinke gebildet, der möglichst mit dem Informationswort&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; übereinstimmen sollte.  
:$$\underline{u} \ \in \  \{\underline{u}_0, \underline{u}_1,\hspace{0.15cm} ... \hspace{0.2cm}, \underline{u}_{15}\} \hspace{0.05cm},$$
 
:$$ \underline{v} \ \in \  \{\underline{v}_0, \underline{v}_1, \hspace{0.15cm}... \hspace{0.2cm}, \underline{v}_{15}, \underline{E}\} \hspace{0.05cm}.$$
 
  
Das Ergebnis $\underline{\upsilon} =\underline{\rm E} = {\rm (E, E, E, E)}$ kennzeichnet dabei, dass aufgrund zu vieler Auslöschungen eine Decodierung des Codewortes nicht möglich ist.
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Es gelte die folgende Nomenklatur:
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:$$\underline{u} \ \in \  \{\underline{u}_0, \underline{u}_1,\hspace{0.15cm} \text{...} \hspace{0.2cm}, \underline{u}_{15}\} \hspace{0.05cm},$$
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:$$ \underline{v} \ \in \  \{\underline{v}_0, \underline{v}_1, \hspace{0.15cm}\text{...} \hspace{0.2cm}, \underline{v}_{15}, \underline{\rm E}\} \hspace{0.05cm}.$$
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Das Ergebnis&nbsp; $\underline{v} =\underline{\rm E} = {\rm (E, E, E, E)}$&nbsp; kennzeichnet dabei, dass aufgrund zu vieler Auslöschungen eine Decodierung des Codewortes nicht möglich ist.
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''Hinweise:''
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes|Beispiele binärer Blockcodes]].
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*Bezug genommen wird auch  auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]].
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*Die Prüfbits von&nbsp; $u_{0}$,&nbsp; $u_{4}$&nbsp; und&nbsp; $u_{13}$&nbsp; sollen in der Teilaufgabe '''(1)''' ermittelt werden.
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''Hinweis'':
 
  
Die Aufgabe bezieht sich auf das [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]] und [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes|Beispiele binärer Blockcodes]] des vorliegenden Buches. Die Prüfbits von $u_{0}, u_{4} {\rm und} \ u_{13}$ sollen in der Teilaufgabe (1) ermittelt werden.
 
  
 
===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
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<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
  
{Wie lautet für die folgenden Informationsworte <u>''u''</u> jeweils das Prüfbit ''p''?
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{Wie lautet für die folgenden Informationsworte&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; jeweils das Prüfbit&nbsp; $p$?
 
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$\underline{u} = \underline{u_{0}}:   p$ = { 0 3% }
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$\underline{u} = \underline{u_{0}}\text{:}\hspace{0.4cm}p \ = \ $ { 0. }
$\underline{u} = \underline{u_{4}}:   p$ = { 1 3% }
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$\underline{u} = \underline{u_{4}}\text{:}\hspace{0.4cm}p \ = \ $ { 1 }
$\underline{u} = \underline{u_{13}}:   p$ = { 1 3% }
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$\underline{u} = \underline{u_{13}}\text{:}\hspace{0.25cm}p \ = \ $ { 1 }
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{Es sei&nbsp; $ \underline{y} = (0, 0, 0, 0, {\rm E})$. Welches Informationswort wurde gesendet?
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+ $ \underline{u}_{0}$,
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- $ \underline{u}_{4}$,
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- $ \underline{u}_{13}$.
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{Es sei $ \underline{y} = (0, 0, 0, 0, {\rm E})$. Welches Informationswort wurde gesendet?
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{Es sei&nbsp; $ \underline{y} = (0, {\rm E}, 0, 0, 1)$. Welches Informationswort wurde gesendet?
|type="[]"}
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|type="()"}
+ $ \underline{u}_{0}$
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- $\underline{u}_{0}$,
- $ \underline{u}_{4}$
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+ $\underline{u}_{4}$,
- $ \underline{u}_{13}$
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- $\underline{u}_{13}$.
  
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{Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmt&nbsp; $\underline{y}$&nbsp; mit dem Codewort&nbsp; $\underline{x}$&nbsp; überein?
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$\ {\rm Pr} (\underline{y} = \underline{x}) \ = \ ${ 59.1 3% } $\ \%$
  
{Es sei $ \underline{y} = (0, 0, 0, 0, {\rm E})$. Welches Informationswort wurde gesendet?
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{Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmen die beiden Vekoren&nbsp; $\underline{u}$&nbsp; und&nbsp; $\underline{v}$&nbsp; überein?
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+
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- $\underline{u}_{0}$
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$\ {\rm Pr} (\underline{v} = \underline{u}) \ = \ $ { 91.9 3% } $\ \%$
+ $\underline{u}_{4}$
 
- $\underline{u}_{13}$
 
  
{Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmt <u>''y''</u> mit dem Codewort <u>''x''</u> überein?
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{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen erkannten Fehler?
 
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$\ {\rm Pr} (\underline{y} = \underline{x})$ = { 0.591 3% }
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$\ {\rm Pr} (\underline{\upsilon} = {\rm {\underline{ E}}}) \ = \ $ { 8.1 3% } $\ \%$
$\ {\rm Pr} (\underline{\upsilon} = \underline{u})$ = { 0.919 3% }
 
$\ {\rm Pr} (\underline{\upsilon} = {\rm {\underline{ E}}})$ = { 0.081 3% }
 
  
  
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'''(1)'''&nbsp; Das Prüfbit ''p'' wird beim ''Single Parity–check'' Code so bestimmt, dass die Summe aller Einsen im Codewort $\underline{x} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{4}, p)$ geradzahlig ist. Beispielsweise erhält man:
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'''(1)'''&nbsp; Das Prüfbit $p$ wird beim ''Single Parity–check'' Code so bestimmt, dass die Summe aller Einsen im Codewort $\underline{x} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{4}, p)$ geradzahlig ist. <br>Beispielsweise erhält man:
:$$\underline{u}_0 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0} \hspace{0.05cm},\\ \underline{u}_4 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_4 = (0, 1, 0, 0, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm},\\ \underline{u}_{13} \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (1, 1, 0, 1) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} \underline{x}_{13} = (1, 1, 0, 1, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm}.$$
+
:$$\underline{u}_0 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0} \hspace{0.05cm},$$
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:$$ \underline{u}_4 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_4 = (0, 1, 0, 0, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm},$$
 +
:$$\underline{u}_{13} \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (1, 1, 0, 1) \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} \underline{x}_{13} = (1, 1, 0, 1, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm}.$$
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 +
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 1</u>:
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*Aufgrund der Tatsache, dass die Anzahl der Einsen geradzahlig sein muss, ist das ausgelöschte Prüfbit $p = 0$. Gesendet wurde also $\underline{u}_{0}$.
  
'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der Tatsache, dass die Anzahl der Einsen geradzahlig sein muss, ist das ausgelöschte Prüfbit $p = 0$. Gesendet wurde also $\underline{u}_{0}$ ⇒ <u>Antwort 1</u>.
 
  
  
'''(3)'''&nbsp; Nach gleichen Überlegungen wie in der letzten Teilaufgabe kommt man für $\underline{y} = (0,
+
'''(3)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Antwort 2</u>:
  {\rm E}, 0, 0, 1)$ zum Ergebnis $\underline{x} = \underline{x}_{4} = (0, 1, 0, 0, 1) ⇒ \underline{u}_{4} = (0, 1, 0, 0)$ ⇒ <u>Antwort 2</u>.
+
*Nach gleichen Überlegungen wie in der letzten Teilaufgabe kommt man für $\underline{y} = (0,
 +
  {\rm E}, 0, 0, 1)$ zum Ergebnis  
 +
:$$\underline{x} = \underline{x}_{4} = (0, 1, 0, 0, 1) ⇒ \underline{u}_{4} = (0, 1, 0, 0).$$
  
  
'''(4)'''&nbsp; Das Ereignis $&bdquo;\underline{y} = \underline{x}&rdquo;$ tritt nur dann auf, wenn durch den BEC–Kanal keines der $n = 5$ Codebits ausgelöscht wird:
+
'''(4)'''&nbsp; Das Ereignis $\underline{y} = \underline{x}$ tritt nur dann auf, wenn durch den BEC–Kanal keines der $n = 5$ Codebits ausgelöscht wird:
:$${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) = (1 - \lambda)^5 = 0.9^5 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.591} \hspace{0.05cm}.$$
+
:$${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) = (1 - \lambda)^5 = 0.9^5 \hspace{0.15cm} \underline{= 59.1\%} \hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(5)'''&nbsp; Das Ereignis $&bdquo;\upsilon = u&rdquo;$ tritt dann auf, wenn alle Codebits richtig übertragen werden Pr($\underline{y} = \underline{x}$), aber auch dann, wenn nur ein Codebit ausgelöscht wird. Entsprechend der Binominalverteilung gibt es hierfür 5 Möglichkeiten:
+
'''(5)'''&nbsp; Das Ereignis $v = u$ tritt dann auf,  
:$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) + 5 \cdot (1 - \lambda)^4 \cdot \lambda = $$
+
*wenn alle Codebits richtig übertragen werden &nbsp; &rArr; &nbsp;  ${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x})$,  
:$$\hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} 0.591 + 5 \cdot 0.656^4 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.919} \hspace{0.05cm}.$$
+
*aber auch dann, wenn nur ein Codebit ausgelöscht wird. Entsprechend der Binominalverteilung gibt es hierfür 5 Möglichkeiten:
 +
:$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) + 5 \cdot (1 - \lambda)^4 \cdot \lambda = 0.591 + 5 \cdot 0.656^4 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm} \underline{= 91.9 \%} \hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(6)'''&nbsp; Aufgrund des BEC–Modells ist die Verfälschung eines Codewortes <u>''x''</u> per se ausgeschlossen, da keines der Bit von 0 → 1 bzw. von 1 → 0 verfälscht werden kann. Vielmehr gilt:
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'''(6)'''&nbsp; Aufgrund des BEC–Modells ist die Verfälschung eines Codewortes $\underline{x}$ per se ausgeschlossen, da keines der Bit von $0 → 1$ bzw. von $1 → 0$ verfälscht werden kann. Vielmehr gilt:
:$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) + {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 - {\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{0.15cm} \underline{= 0.081} \hspace{0.05cm}.$$
+
:$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) + {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 - {\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{0.15cm} \underline{= 8.1\%} \hspace{0.05cm}.$$
  
 
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Aktuelle Version vom 7. Mai 2019, 13:28 Uhr

Codeworte des  $\rm SPC \ (5, 4)$

Für diese Aufgabe wird vorausgesetzt:

  • Der  Single Parity–check Code mit den Parametern  $k = 4$  und  $n = 5$    ⇒   $\rm SPC \ (5, 4)$  fügt zu den Informationsbits  $u_{1}$, ... ,  $u_{4}$  ein Prüfbit  $p$  hinzu, so dass in jedem Codewort  $\underline{x}$  eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:
$$x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.05cm},$$
$$ u_1 \oplus u_2 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p = 0 \hspace{0.05cm}.$$
  • Der  Binary Erasure Channel  (BEC) – mit binären Eingangswerten  $x_{i} \in \{0, \ 1\}$  und ternärem Ausgang  $y_{i} \in \{0, 1, \rm E\}$  führt mit Wahrscheinlichkeit  $\lambda = 0.1$  zu einer Auslöschung (englisch:   Erasure), abgekürzt mit  $\rm E$.
  • Weiterhin gilt  ${\rm Pr}(y_{i} = x_{i}) = 1 - \lambda = 0.9$. Ein echter Übertragungsfehler wird ausgeschlossen:
$$ {\rm Pr} \big[(x_i = 0)\cap (y_i = 1)\big] = {\rm Pr} \big[(x_i = 1)\cap (y_i = 0)\big] = 0\hspace{0.05cm}.$$

Der Zusammenhang zwischen dem Informationswort  $\underline{u}$  und dem Codewort  $\underline{x}$  ist durch die Tabelle gegeben. Aus dem Empfangswort  $\underline{y}$  wird durch Maximum–Likelihood–Entscheidung der Vektor  $\underline{v}$  der Informationsbits an der Sinke gebildet, der möglichst mit dem Informationswort  $\underline{u}$  übereinstimmen sollte.

Es gelte die folgende Nomenklatur:

$$\underline{u} \ \in \ \{\underline{u}_0, \underline{u}_1,\hspace{0.15cm} \text{...} \hspace{0.2cm}, \underline{u}_{15}\} \hspace{0.05cm},$$
$$ \underline{v} \ \in \ \{\underline{v}_0, \underline{v}_1, \hspace{0.15cm}\text{...} \hspace{0.2cm}, \underline{v}_{15}, \underline{\rm E}\} \hspace{0.05cm}.$$

Das Ergebnis  $\underline{v} =\underline{\rm E} = {\rm (E, E, E, E)}$  kennzeichnet dabei, dass aufgrund zu vieler Auslöschungen eine Decodierung des Codewortes nicht möglich ist.




Hinweise:



Fragebogen

1

Wie lautet für die folgenden Informationsworte  $\underline{u}$  jeweils das Prüfbit  $p$?

$\underline{u} = \underline{u_{0}}\text{:}\hspace{0.4cm}p \ = \ $

$\underline{u} = \underline{u_{4}}\text{:}\hspace{0.4cm}p \ = \ $

$\underline{u} = \underline{u_{13}}\text{:}\hspace{0.25cm}p \ = \ $

2

Es sei  $ \underline{y} = (0, 0, 0, 0, {\rm E})$. Welches Informationswort wurde gesendet?

$ \underline{u}_{0}$,
$ \underline{u}_{4}$,
$ \underline{u}_{13}$.

3

Es sei  $ \underline{y} = (0, {\rm E}, 0, 0, 1)$. Welches Informationswort wurde gesendet?

$\underline{u}_{0}$,
$\underline{u}_{4}$,
$\underline{u}_{13}$.

4

Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmt  $\underline{y}$  mit dem Codewort  $\underline{x}$  überein?

$\ {\rm Pr} (\underline{y} = \underline{x}) \ = \ $

$\ \%$

5

Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmen die beiden Vekoren  $\underline{u}$  und  $\underline{v}$  überein?

$\ {\rm Pr} (\underline{v} = \underline{u}) \ = \ $

$\ \%$

6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen erkannten Fehler?

$\ {\rm Pr} (\underline{\upsilon} = {\rm {\underline{ E}}}) \ = \ $

$\ \%$


Musterlösung

(1)  Das Prüfbit $p$ wird beim Single Parity–check Code so bestimmt, dass die Summe aller Einsen im Codewort $\underline{x} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{4}, p)$ geradzahlig ist.
Beispielsweise erhält man:

$$\underline{u}_0 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0} \hspace{0.05cm},$$
$$ \underline{u}_4 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_4 = (0, 1, 0, 0, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm},$$
$$\underline{u}_{13} \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (1, 1, 0, 1) \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} \underline{x}_{13} = (1, 1, 0, 1, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Richtig ist die Antwort 1:

  • Aufgrund der Tatsache, dass die Anzahl der Einsen geradzahlig sein muss, ist das ausgelöschte Prüfbit $p = 0$. Gesendet wurde also $\underline{u}_{0}$.


(3)  Richtig ist die Antwort 2:

  • Nach gleichen Überlegungen wie in der letzten Teilaufgabe kommt man für $\underline{y} = (0, {\rm E}, 0, 0, 1)$ zum Ergebnis
$$\underline{x} = \underline{x}_{4} = (0, 1, 0, 0, 1) ⇒ \underline{u}_{4} = (0, 1, 0, 0).$$


(4)  Das Ereignis $\underline{y} = \underline{x}$ tritt nur dann auf, wenn durch den BEC–Kanal keines der $n = 5$ Codebits ausgelöscht wird:

$${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) = (1 - \lambda)^5 = 0.9^5 \hspace{0.15cm} \underline{= 59.1\%} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Das Ereignis $v = u$ tritt dann auf,

  • wenn alle Codebits richtig übertragen werden   ⇒   ${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x})$,
  • aber auch dann, wenn nur ein Codebit ausgelöscht wird. Entsprechend der Binominalverteilung gibt es hierfür 5 Möglichkeiten:
$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) + 5 \cdot (1 - \lambda)^4 \cdot \lambda = 0.591 + 5 \cdot 0.656^4 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm} \underline{= 91.9 \%} \hspace{0.05cm}.$$


(6)  Aufgrund des BEC–Modells ist die Verfälschung eines Codewortes $\underline{x}$ per se ausgeschlossen, da keines der Bit von $0 → 1$ bzw. von $1 → 0$ verfälscht werden kann. Vielmehr gilt:

$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) + {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 - {\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{0.15cm} \underline{= 8.1\%} \hspace{0.05cm}.$$