Aufgaben:Aufgabe 1.5: SPC (5, 4) und BEC–Modell: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
Zeile 3: Zeile 3:
 
}}
 
}}
  
[[Datei:P_ID2385__KC_A_1_5_neu.png|right|frame|Mögliche Codeworte des (5, 4) SPC]]
+
[[Datei:P_ID2385__KC_A_1_5_neu.png|right|frame|Mögliche Codeworte des $\rm SPC \ (5, 4)$]]
  
 
Für diese Aufgabe wird vorausgesetzt:
 
Für diese Aufgabe wird vorausgesetzt:
  
*Der [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes|Single Parity–check Code]] mit $k = 4$ und $n = 5$ ⇒ SPC (5, 4) fügt zu den Informationsbits $u_{1}, ... , u_{4}$ ein Prüfbit p hinzu, so dass in jedem Codewort <u>''x''</u> eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:
+
*Der [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes#Single_Parity.E2.80.93check_Codes|Single Parity–check Code]] mit den Parametern $k = 4$ und $n = 5$ &nbsp; ⇒ SPC (5, 4) &nbsp; fügt zu den Informationsbits $u_{1}$, ... , $u_{4}$ ein Prüfbit $p$ hinzu, so dass in jedem Codewort $\underline{x}$ eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:
 
:$$x_1  \oplus  x_2  \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.05cm},$$
 
:$$x_1  \oplus  x_2  \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.05cm},$$
 
:$$ u_1  \oplus  u_2  \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p = 0 \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$ u_1  \oplus  u_2  \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p = 0 \hspace{0.05cm}.$$
  
*Der [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|Binary Erasure Channel]] (BEC) – mit binären Eingangswerten $x_{i} \in {0, 1}$ und ternärem Ausgang $y_{i} \in$ {0, 1, E} führt mit Wahrscheinlichkeit $\lambda = 0.1$ zu einer Auslöschung (englisch: ''Erasure''), abgekürzt mit „E”. Weiterhin gilt Pr$(y_{i} = x_{i}) = 1 – \lambda = 0.9$. Ein echter Übertragungsfehler wird ausgeschlossen:
+
*Der [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|Binary Erasure Channel]] (BEC) – mit binären Eingangswerten $x_{i} \in \{0, \ 1\}$ und ternärem Ausgang $y_{i} \in \{0, 1, \rm E\}$ führt mit Wahrscheinlichkeit $\lambda = 0.1$ zu einer Auslöschung (englisch: ''Erasure''), abgekürzt mit $\rm E$.  
 +
*Weiterhin gilt ${\rm Pr}(y_{i} = x_{i}) = 1 – \lambda = 0.9$. Ein echter Übertragungsfehler wird ausgeschlossen:
 
:$$ {\rm Pr} [(x_i = 0)\cap (y_i = 1)] = {\rm Pr} [(x_i = 1)\cap (y_i = 0)] = 0\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$ {\rm Pr} [(x_i = 0)\cap (y_i = 1)] = {\rm Pr} [(x_i = 1)\cap (y_i = 0)] = 0\hspace{0.05cm}.$$
  
Der Zusammenhang zwischen dem Informationswort <u>''u''</u> und dem Codewort <u>''x''</u> ist durch die obige Tabelle gegeben. Aus dem Empfangswort <u>''y''</u> wird durch Maximum–Likelihood–Entscheidung der Vektor $\underline{\upsilon}$ der Informationsbits an der Sinke gebildet, der möglichst mit dem Informationswort <u>''u''</u> übereinstimmen sollte. Es gelte die folgende Nomenklatur:
 
:$$\underline{u} \ \in \  \{\underline{u}_0, \underline{u}_1,\hspace{0.15cm} ... \hspace{0.2cm}, \underline{u}_{15}\} \hspace{0.05cm},$$
 
:$$ \underline{v} \ \in \  \{\underline{v}_0, \underline{v}_1, \hspace{0.15cm}... \hspace{0.2cm}, \underline{v}_{15}, \underline{E}\} \hspace{0.05cm}.$$
 
  
Das Ergebnis $\underline{\upsilon} =\underline{\rm E} = {\rm (E, E, E, E)}$ kennzeichnet dabei, dass aufgrund zu vieler Auslöschungen eine Decodierung des Codewortes nicht möglich ist.
+
Der Zusammenhang zwischen dem Informationswort $\underline{u}$ und dem Codewort $\underline{x}$ ist durch die obige Tabelle gegeben. Aus dem Empfangswort $\underline{y}$ wird durch Maximum–Likelihood–Entscheidung der Vektor $\underline{v}$ der Informationsbits an der Sinke gebildet, der möglichst mit dem Informationswort $\underline{u}$ übereinstimmen sollte.
 +
 
 +
Es gelte die folgende Nomenklatur:
 +
:$$\underline{u} \ \in \  \{\underline{u}_0, \underline{u}_1,\hspace{0.15cm} \text{...} \hspace{0.2cm}, \underline{u}_{15}\} \hspace{0.05cm},$$
 +
:$$ \underline{v} \ \in \  \{\underline{v}_0, \underline{v}_1, \hspace{0.15cm}\text{...} \hspace{0.2cm}, \underline{v}_{15}, \underline{\rm E}\} \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
Das Ergebnis $\underline{v} =\underline{\rm E} = {\rm (E, E, E, E)}$ kennzeichnet dabei, dass aufgrund zu vieler Auslöschungen eine Decodierung des Codewortes nicht möglich ist.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
''Hinweise:''
 +
*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes|Beispiele binärer Blockcodes]].
 +
*Bezug genommen wird auch  auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]].
 +
*Die Prüfbits von $u_{0}$, $u_{4}$ und $u_{13}$ sollen in der Teilaufgabe (1) ermittelt werden.
 +
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
  
''Hinweis'':
 
  
Die Aufgabe bezieht sich auf das [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen]] und [[Kanalcodierung/Beispiele_binärer_Blockcodes|Beispiele binärer Blockcodes]] des vorliegenden Buches. Die Prüfbits von $u_{0}, u_{4} {\rm und} \ u_{13}$ sollen in der Teilaufgabe (1) ermittelt werden.
 
  
 
===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
Zeile 28: Zeile 38:
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
  
{Wie lautet für die folgenden Informationsworte <u>''u''</u> jeweils das Prüfbit ''p''?
+
{Wie lautet für die folgenden Informationsworte $\underline{u}$ jeweils das Prüfbit $p$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\underline{u} = \underline{u_{0}}:   p$ = { 0 3% }
+
$\underline{u} = \underline{u_{0}}\text{:}\hspace{0.4cm}p \ = \ $ { 0. }
$\underline{u} = \underline{u_{4}}:   p$ = { 1 3% }
+
$\underline{u} = \underline{u_{4}}\text{:}\hspace{0.4cm}p \ = \ $ { 1 }
$\underline{u} = \underline{u_{13}}:   p$ = { 1 3% }
+
$\underline{u} = \underline{u_{13}}\text{:}\hspace{0.25cm}p \ = \ $ { 1 }
  
 
{Es sei $ \underline{y} = (0, 0, 0, 0, {\rm E})$. Welches Informationswort wurde gesendet?
 
{Es sei $ \underline{y} = (0, 0, 0, 0, {\rm E})$. Welches Informationswort wurde gesendet?
|type="[]"}
+
|type="()"}
+ $ \underline{u}_{0}$
+
+ $ \underline{u}_{0}$,
- $ \underline{u}_{4}$
+
- $ \underline{u}_{4}$,
- $ \underline{u}_{13}$
+
- $ \underline{u}_{13}$.
 +
 
  
 +
{Es sei $ \underline{y} = (0,  {\rm E}, 0, 0, 1)$. Welches Informationswort wurde gesendet?
 +
|type="()"}
 +
- $\underline{u}_{0}$,
 +
+ $\underline{u}_{4}$,
 +
- $\underline{u}_{13}$.
  
{Es sei $ \underline{y} = (0, 0, 0, 0, {\rm E})$. Welches Informationswort wurde gesendet?
+
{Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmt $\underline{y}$ mit dem Codewort $\underline{x}$ überein?
|type="[]"}
+
|type="{}"}
- $\underline{u}_{0}$
+
$\ {\rm Pr} (\underline{y} = \underline{x}) \ = \ ${ 59.1 3% } $\ \%$
+ $\underline{u}_{4}$
+
 
- $\underline{u}_{13}$
+
{Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmen die beiden Vekoren $\underline{u}$ und $\underline{v}$ überein?
 +
|type="{}"}
 +
$\ {\rm Pr} (\underline{v} = \underline{u}) \ = \ $ { 91.9 3% } $\ \%$
  
{Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmt <u>''y''</u> mit dem Codewort <u>''x''</u> überein?
+
{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen erkannten Fehler?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\ {\rm Pr} (\underline{y} = \underline{x})$ = { 0.591 3% }
+
$\ {\rm Pr} (\underline{\upsilon} = {\rm {\underline{ E}}}) \ = \ $ { 8.1 3% } $\ \%$
$\ {\rm Pr} (\underline{\upsilon} = \underline{u})$ = { 0.919 3% }
 
$\ {\rm Pr} (\underline{\upsilon} = {\rm {\underline{ E}}})$ = { 0.081 3% }
 
  
  

Version vom 11. Dezember 2017, 16:21 Uhr

Mögliche Codeworte des $\rm SPC \ (5, 4)$

Für diese Aufgabe wird vorausgesetzt:

  • Der Single Parity–check Code mit den Parametern $k = 4$ und $n = 5$   ⇒ SPC (5, 4)   fügt zu den Informationsbits $u_{1}$, ... , $u_{4}$ ein Prüfbit $p$ hinzu, so dass in jedem Codewort $\underline{x}$ eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt:
$$x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus x_4 \oplus x_5 = 0 \hspace{0.05cm},$$
$$ u_1 \oplus u_2 \oplus u_3 \oplus u_4 \oplus p = 0 \hspace{0.05cm}.$$
  • Der Binary Erasure Channel (BEC) – mit binären Eingangswerten $x_{i} \in \{0, \ 1\}$ und ternärem Ausgang $y_{i} \in \{0, 1, \rm E\}$ führt mit Wahrscheinlichkeit $\lambda = 0.1$ zu einer Auslöschung (englisch: Erasure), abgekürzt mit $\rm E$.
  • Weiterhin gilt ${\rm Pr}(y_{i} = x_{i}) = 1 – \lambda = 0.9$. Ein echter Übertragungsfehler wird ausgeschlossen:
$$ {\rm Pr} [(x_i = 0)\cap (y_i = 1)] = {\rm Pr} [(x_i = 1)\cap (y_i = 0)] = 0\hspace{0.05cm}.$$


Der Zusammenhang zwischen dem Informationswort $\underline{u}$ und dem Codewort $\underline{x}$ ist durch die obige Tabelle gegeben. Aus dem Empfangswort $\underline{y}$ wird durch Maximum–Likelihood–Entscheidung der Vektor $\underline{v}$ der Informationsbits an der Sinke gebildet, der möglichst mit dem Informationswort $\underline{u}$ übereinstimmen sollte.

Es gelte die folgende Nomenklatur:

$$\underline{u} \ \in \ \{\underline{u}_0, \underline{u}_1,\hspace{0.15cm} \text{...} \hspace{0.2cm}, \underline{u}_{15}\} \hspace{0.05cm},$$
$$ \underline{v} \ \in \ \{\underline{v}_0, \underline{v}_1, \hspace{0.15cm}\text{...} \hspace{0.2cm}, \underline{v}_{15}, \underline{\rm E}\} \hspace{0.05cm}.$$

Das Ergebnis $\underline{v} =\underline{\rm E} = {\rm (E, E, E, E)}$ kennzeichnet dabei, dass aufgrund zu vieler Auslöschungen eine Decodierung des Codewortes nicht möglich ist.


Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel Beispiele binärer Blockcodes.
  • Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen.
  • Die Prüfbits von $u_{0}$, $u_{4}$ und $u_{13}$ sollen in der Teilaufgabe (1) ermittelt werden.
  • Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.


Fragebogen

1

Wie lautet für die folgenden Informationsworte $\underline{u}$ jeweils das Prüfbit $p$?

$\underline{u} = \underline{u_{0}}\text{:}\hspace{0.4cm}p \ = \ $

$\underline{u} = \underline{u_{4}}\text{:}\hspace{0.4cm}p \ = \ $

$\underline{u} = \underline{u_{13}}\text{:}\hspace{0.25cm}p \ = \ $

2

Es sei $ \underline{y} = (0, 0, 0, 0, {\rm E})$. Welches Informationswort wurde gesendet?

$ \underline{u}_{0}$,
$ \underline{u}_{4}$,
$ \underline{u}_{13}$.

3

Es sei $ \underline{y} = (0, {\rm E}, 0, 0, 1)$. Welches Informationswort wurde gesendet?

$\underline{u}_{0}$,
$\underline{u}_{4}$,
$\underline{u}_{13}$.

4

Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmt $\underline{y}$ mit dem Codewort $\underline{x}$ überein?

$\ {\rm Pr} (\underline{y} = \underline{x}) \ = \ $

$\ \%$

5

Mit welcher Wahrscheinlichkeit stimmen die beiden Vekoren $\underline{u}$ und $\underline{v}$ überein?

$\ {\rm Pr} (\underline{v} = \underline{u}) \ = \ $

$\ \%$

6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen erkannten Fehler?

$\ {\rm Pr} (\underline{\upsilon} = {\rm {\underline{ E}}}) \ = \ $

$\ \%$


Musterlösung

(1)  Das Prüfbit p wird beim Single Parity–check Code so bestimmt, dass die Summe aller Einsen im Codewort $\underline{x} = (u_{1}, u_{2}, ... , u_{4}, p)$ geradzahlig ist. Beispielsweise erhält man:

$$\underline{u}_0 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 0, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_0 = (0, 0, 0, 0, 0)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0} \hspace{0.05cm},\\ \underline{u}_4 \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (0, 1, 0, 0) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{x}_4 = (0, 1, 0, 0, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm},\\ \underline{u}_{13} \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} (1, 1, 0, 1) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} \underline{x}_{13} = (1, 1, 0, 1, 1)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 1} \hspace{0.05cm}.$$


(2)  Aufgrund der Tatsache, dass die Anzahl der Einsen geradzahlig sein muss, ist das ausgelöschte Prüfbit $p = 0$. Gesendet wurde also $\underline{u}_{0}$ ⇒ Antwort 1.


(3)  Nach gleichen Überlegungen wie in der letzten Teilaufgabe kommt man für $\underline{y} = (0, {\rm E}, 0, 0, 1)$ zum Ergebnis $\underline{x} = \underline{x}_{4} = (0, 1, 0, 0, 1) ⇒ \underline{u}_{4} = (0, 1, 0, 0)$ ⇒ Antwort 2.


(4)  Das Ereignis $„\underline{y} = \underline{x}”$ tritt nur dann auf, wenn durch den BEC–Kanal keines der $n = 5$ Codebits ausgelöscht wird:

$${\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) = (1 - \lambda)^5 = 0.9^5 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.591} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Das Ereignis $„\upsilon = u”$ tritt dann auf, wenn alle Codebits richtig übertragen werden ⇒ Pr($\underline{y} = \underline{x}$), aber auch dann, wenn nur ein Codebit ausgelöscht wird. Entsprechend der Binominalverteilung gibt es hierfür 5 Möglichkeiten:

$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\underline{y} = \underline{x}) + 5 \cdot (1 - \lambda)^4 \cdot \lambda = $$
$$\hspace{-0.1cm}\ = \ \hspace{-0.1cm} 0.591 + 5 \cdot 0.656^4 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm} \underline{= 0.919} \hspace{0.05cm}.$$


(6)  Aufgrund des BEC–Modells ist die Verfälschung eines Codewortes x per se ausgeschlossen, da keines der Bit von 0 → 1 bzw. von 1 → 0 verfälscht werden kann. Vielmehr gilt:

$${\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) + {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr}(\underline{v} = {\rm\underline{ E}}) = 1 - {\rm Pr}(\underline{v} = \underline{u}) \hspace{0.15cm} \underline{= 0.081} \hspace{0.05cm}.$$